Занятие 8 Скалярные и векторные поля 1 Скалярные поля и их основные характеристики



Скачать 442.57 Kb.
Дата11.11.2016
Размер442.57 Kb.
Практическое занятие 8 Скалярные и векторные поля
8.1 Скалярные поля и их основные характеристики

8.2 Векторные поля и их основные характеристики

8.3 Потенциальное и соленоидальное векторные поля
8.1 Скалярные поля и их основные характеристики

Стационарным скалярным полем называется пространство (или его часть – область ), в каждой точке которого определена скалярная функция

. (8.1)

Функция независимо от ее физического смысла называется потенциалом скалярного поля.

Скалярными полями являются:

– поле температур тела;

– поле плотности заряда на поверхности или в среде,

– поле плотности масс тела.

Основными характеристиками скалярного поля являются: поверхности (линии) уровня, производная по направлению и градиент.

Поверхностью уровня скалярного поля называется множество точек, в каждой из которых его потенциал сохраняет постоянное значение.

В пространстве уравнение поверхности уровня (эквипотенциальной поверхности) записывается в виде



, (8.2)

где постоянная величина принимает такие значения, при которых равенство (8.2) имеет геометрический смысл.

В пространстве рассматривают линии уровня, уравнения которых имеют вид

. (8.3)

Пусть в области задано скалярное поле . Рассмотрим точку и какое-либо фиксированное направление, определяемое единичным вектором . Через точку проведем прямую , параллельную вектору, и выберем на ней точку (рисунок 8. 1).



Рисунок 8. 1 – Изменение потенциального поля

в направлении
Производной по направлению вектора функции в точке называется предел (если он существует) отношения приращения функции к величине перемещения при :

. (8.4)

Величина характеризует скорость изменения скалярного поля в точке по выбранному направлению. Если , то скалярное поле в точке возрастает, в противном случае – убывает.

В пространстве вектор имеет координаты

=,

где , , – направляющие косинусы (рисунок 8.2).

Тогда производная по направлению выражается через декартовы координаты:

. (8.5)

Рисунок 8. 2 – Единичный вектор

в пространстве
Градиентом скалярного поля называется вектор , проекциями которого на оси , , являются соответствующие частные производные функции :

. (8.6)

Из равенства (8.5) следует, что



. (8.7)

Из формулы (8.7) следует, что величина достигает наибольшего значения при =1. Поэтому направление градиента является направлением наибыстрейшего возрастания скалярного поля в точке.

Поскольку

, (8.8)

то модуль градиента равен наибольшей скорости возрастания потенциала скалярного поля в точке.


8.2 Векторные поля и их основные характеристики

Стационарным векторным полем называется пространство (или его часть – область ), в каждой точке которого определена векторная функция

.

В пространстве векторная функция , , определяется проекциями , , вектора соответственно на координатные оси :



. (8.9)

Будем считать, что , , являются непрерывно дифференцируемыми функциями координат точки . Тогда векторная функция называется непрерывно дифференцируемой в области .

Векторными полями являются:

– электрическое поле системы электрических зарядов, характеризующееся в каждой точке вектором напряженности;

– магнитное поле, создаваемое электрическим током и характеризующееся в каждой точке вектором магнитной индукции;

– поле тяготения, создаваемое системой масс, характеризующееся в каждой точке вектором силы тяготения;

– поле скоростей потока жидкостей, описываемое в каждой точке вектором скорости.

Основными характеристиками векторного поля являются: векторные линии, поток, дивергенция, циркуляция и вихрь.

Векторные линии. Векторной (силовой) линией векторного поля называется линия, для которой в каждой ее точке вектор направлен по касательной к данной линии.

Векторными линиями в движущейся жидкости являются линии скоростей, в электростатическом поле – силовые линии, в магнитном поле – линии, соединяющие северный и южный полюсы, в поле – линии, ортогональные к эквипотенциальным поверхностям скалярного поля .

Пусть векторная линия задана уравнением

.

Тогда вектор в каждой точке направлен по касательной к линии и потому коллинеарен вектору . Следовательно, координаты векторов и пропорциональны:



. (8.10)

Система дифференциальных уравнений (8.10) определяет векторные линии поля . Общий интеграл системы (8.10) имеет вид



С геометрической точки зрения данная система задает два семейства поверхностей, которые в совокупности определяют искомые векторные линии.

Если в некоторой области для системы уравнений (8.10) выполнены условия теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши, то через каждую точку проходит единственная векторная линия

Поток векторного поля. Пусть векторное поле в некоторой области и – двусторонняя гладкая незамкнутая ориентированная поверхность.



Потоком векторного поля через ориентированную поверхность называется число, равное значению поверхностного интеграла 2-го рода:

. (8.11)

Поток зависит от выбора стороны поверхности (направления вектора ) и обладает всеми свойствами поверхностного интеграла 2-го рода.

Поток векторного поля через замкнутую поверхность равен сумме потоков по внешней и внутренней сторонам этой поверхности:

.

Термин «поток» для введенной скалярной характеристики векторного поля употребляется независимо от физического смысла . В частности, он определяет поле линейных скоростей стационарно движущейся несжимаемой жидкости через область , ограниченную поверхностью . Если , то жидкости вытекает больше, чем поступает, следовательно, внутри области имеются источники. Если , то внутри области имеются стоки, так как вытекает меньше жидкости, чем поступает.

Дивергенция векторного поля. Дивергенцией (расходимостью) векторного поля в точке называется скалярная функция, равная

. (8.12)

Дивергенция характеризует мощность находящегося в точке источника при или стока при . Если , то в точке нет ни источника, ни стока.



Теорема 1 (Остроградского - Гаусса) Если векторная функция непрерывно дифференцируема в области , ограниченной замкнутой поверхностью , то поток векторного поля через поверхность в направлении внешней нормали равен тройному интегралу по области от дивергенции этого векторного поля:

. (8.13)

Данная теорема является аналитическим выражением теоремы Остроградского - Гаусса в векторной форме.

Циркуляция векторного поля и ее физический смысл. Рассмотрим область , ориентированную линию и векторное поле , определенное на . И пусть – единичный вектор касательной к дуге .

Циркуляцией векторного поля вдоль замкнутой ориентированной кривой называется число, равное значению криволинейного интеграла 1-го рода:

. (8.14)

Циркуляция обладает всеми свойствами криволинейного интеграла 1-го рода.

Поместим в поток круглую пластинку с лопастями, расположенными по ее ободу – окружности (рисунок 8. 5).

Рисунок 8. 3 – Физический смысл циркуляции


Абсолютная величина циркуляции определяет угловую скорость вращения пластинки вокруг оси, проходящей через центр окружности . Знак циркуляции показывает, в какую сторону осуществляется вращение относительно ориентации линии .

Ротор векторного поля. Локальной векторной характеристикой векторного поля, связанной с его вращательной способностью, является ротор (вихрь).



Ротором (вихрем) векторного поля в точке называется векторная функция

(8.15)

Символическая форма записи имеет вид:



. (8.16)

Теорема 2 (Стокса) Циркуляция непрерывно дифференцируемого векторного поля по замкнутому положительно-ориентированному контуру равна потоку ротора этого поля через любую гладкую поверхность , опирающуюся на :

. (8.17)
8.3 Потенциальное и соленоидальное векторные поля

Потенциальное векторное поле. Векторное поле называется потенциальным (безвихревым), если существует такая непрерывно дифференцируемая скалярная функция , что



. (8.18)

Функция называется в этом случае потенциалом векторного поля .

Потенциальное поле является наиболее простым среди векторных полей, так как оно определяется одной скалярной функцией независимо от размерности пространства, в котором задано векторное поле.

Например, в пространстве для потенциального векторного поля



,

выполняется равенство



. (8.19)

Свойства потенциальных векторных полей:

– если векторное поле , потенциально, то его потенциал определяется с точностью до постоянного слагаемого;

– если векторное поле задано в односвязной области , то необходимым и достаточным условием его потенциальности является обращение в нуль ротора поля в любой точке :



. (8.20)

Примером потенциального поля является поле тяготения.

Соленоидальное векторное поле. Векторное поле называется соленоидальным (трубчатым), если в любой точке дивергенция равна 0:

. (8.21)

Свойства соленоидальных полей:

– соленоидальные поля не содержат ни источников, ни стоков;

– из формулы Остроградского – Гаусса следует, что если векторное поле соленоидальное, то поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю;

– (принцип сохранения интенсивности векторной трубки) потоки соленоидального векторного поля через различные сечения векторной трубки равны между собой;

– в соленоидальном векторном поле векторные линии не могут ни начинаться, ни оканчиваться внутри поля. Они либо замкнуты, либо начинаются и оканчиваются на границе поля, либо имеют бесконечные ветви (в случае неограниченного поля);

– в односвязной области в случае соленоидального векторного поля поток вектора через любую поверхность , опирающуюся на замкнутый контур , зависит не от вида этой поверхности, а только от самого контура .

Примером соленоидального поля является магнитное поле, создаваемое током в проводнике.

Гармоническое поле. Векторное поле называется гармоническим (лапласовым), если оно является как потенциальным, так и соленоидальным.

Гармоническое векторное поле описывается скалярной функцией , которая является решением уравнения Лапласа:



. (8.22)

Уравнение (8.22) получается из равенств (8.20) и (8.21). Функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической функцией.


Вопросы для самоконтроля
1 Какое поле называется скалярным? Приведите примеры скалярных полей.

2 Что называется поверхностью уровня скалярного поля?

3 Что называется производной по направлению?

4 Что называется градиентом скалярного поля?

5 Какое поле называется стационарным векторным полем? Приведите примеры стационарных векторных полей.

6 Дайте определение векторной линии.

7 Что называется потоком векторного поля? В чем состоит его физический смысл?

8 Что называется дивергенцией векторного поля? В чем состоит физический смысл дивергенции?

9 Сформулируйте теорему Остроградского - Гаусса в векторной форме.

10 Что называется циркуляцией векторного поля и в чем состоит ее физический смысл?

11 Что называется ротором векторного поля?

12 Сформулируйте теорему Стокса в векторной форме.

13 Какое поле называется потенциальным? Перечислите свойства потенциальных полей.

14 Какое поле называется соленоидальным? Перечислите свойства соленоидальных полей.

15 Какое поле называется гармоническим?

Решение типовых примеров
1 Найти линии и поверхности уровня скалярных полей:

а) ;

б) .

Решение. а) функция, задающая потенциал поля, зависит от двух переменных. Следовательно, уравнения линий уровня поля имеют вид . С геометрической точки зрения, это множество парабол (рисунок 8. 4, а), определенное на всей плоскости ;

Рисунок 8.4 – Линии (а) и поверхности (б) уровня

к типовому примеру 1

б) заданный потенциал определяет скалярное поле во всем пространстве . Уравнения эквипотенциальных поверхностей имеют вид , . С геометрической точки зрения, это множество круговых цилиндров (рисунок 8. 4, б).

2 Найти производную скалярного поля в точке по направлению вектора , где .

Решение. Найдем направляющие косинусы вектора , длина которого . Имеем

, , .

Вычислим значения частных производных функции в точке :



, , .

По формуле (8.5) получаем



.

3 Найти градиент поля в точке и наибольшую скорость изменения потенциала в этой точке.

Решение. Определим значения частных производных функции в заданной точке:

;

;

.

Тогда по формулам (8.6) и (8.8) имеем



;

.

4 Найти векторные линии магнитного поля бесконечного проводника, по которому проходит ток силой .

Решение. Выберем направление оси , совпадающее с направлением тока . В этом случае вектор напряженности магнитного поля , где – вектор тока; – радиус-вектор точки ; – расстояние от оси проводника до точки . Найдем :

,

.

Система дифференциальных уравнений векторных линий (8.10) имеет вид



.

Отсюда


и

где . Таким образом, векторными линиями магнитного поля бесконечного проводника являются окружности с центрами на оси .



5 Вычислить поток вектора через внешнюю сторону поверхности , представляющую собой часть параболоида , отсеченного плоскостью (рисунок 8. 5).

Решение. Рассмотрим функцию .

Рисунок 8. 5 – Поверхность к типовому примеру 5


Единичный нормальный вектор к внешней стороне поверхности равен

,

так как (см. практическое занятие 6).

Тогда по формуле (8.11) поток равен

=





.

6 Найти дивергенцию векторного поля

в точках , ,.



Решение. Заданное поле определено на всем пространстве . Найдем частные производные от функций

, ;

являющихся координатами вектора , и их значения в точках , и :



,

,

, ,

, ,

, .

Тогда


,

,

.

Таким образом, данное поле в точке имеет сток, в точке – источник, а в точке нет ни источника, ни стока.



7 Используя теорему Остроградского - Гаусса, вычислить поток векторного поля

через внешнюю сторону поверхности , расположенную над плоскостью .



Решение. Для того чтобы можно было применить теорему Остроградского - Гаусса, «замкнем» снизу данную поверхность частью плоскости , ограниченной окружностью .

Пусть – пространственная область, ограниченная замкнутой кусочно-гладкой поверхностью , состоящей из параболоида вращения и круга на плоскости (рисунок 8. 6).



Рисунок 8. 6 – Поверхность к типовому примеру 7

Дивергенция по формуле (8.12) равна:

.

На основании формулы Остроградского - Гаусса (8.13) поток через замкнутую поверхность равен нулю.

С другой стороны, обозначим через и потоки через поверхности параболоида () и круга () соответственно. По свойству аддитивности поверхностного интеграла 2-го рода получим

.

Следовательно, искомый поток



.

Так как на поверхности и , то



,

.

Тогда поток через внешнюю сторону поверхности , расположенную над плоскостью равен



.

8 Найти циркуляцию векторного поля

вдоль линии , являющейся пересечением цилиндра и плоскости .



Решение. Линия представляет собой эллипс. Параметрические уравнения можно получить с учетом того, что все точки проектируются на плоскость в окружность , параметрические уравнения которой есть

, , ,

и те же точки линии лежат на плоскости .

Следовательно, параметрические уравнения имеют вид:

, , ,

где .

Тогда

, , .

Согласно формуле (8.14), циркуляция равна





.

9 Найти ротор векторного поля

в произвольной точке.



Решение. Заданное поле определено и непрерывно-дифференцируемо на всем пространстве . Для координатных функций

, ,

по формуле (8.16) имеем





.

10 Вычислить с помощью формулы Стокса циркуляцию векторного поля по линии , являющейся пересечением поверхностей и .

Решение. Линия представляет собой окружность радиусом с центром в точке , лежащую в плоскости (рисунок 8. 7).

Рисунок 8. 7 – Поверхность к типовому примеру 10


Параметрические уравнения линии имеют вид

, , , .

Для вычисления циркуляции по формуле Стокса выберем какую-нибудь поверхность , «натянутую» на . Возьмем в качестве круг, границей которого является окружность . Согласно выбранной ориентации контура, нормалью к кругу является единичный вектор оси .

По формуле (8.16) ротор равен

.

Тогда по формуле Стокса (8.17) циркуляция равна



.

11 Проверить, является ли потенциальным векторное поле

.

Решение. По формуле (8.16) ротор равен



.

Следовательно, заданное поле потенциально.



12 Проверить, являются ли соленоидальными следующие поля:

а) ;

б) .

Решение. а) имеем

.

Значит, поле соленоидально;

б) имеем

.

Значит, поле не является соленоидальным.


Задания для аудиторной работы
1 Найти линии и поверхности уровня скалярных полей:

а) ; в) ;

б) ; г) .

2 Найти производную в точке по заданному направлению скалярных полей:

а) , , ;

б) , , .

3 Найти градиент и его модуль скалярных полей:

а) ; б) .



4 Найти векторные линии векторных полей:

а) ; б) .



5 Найти поток векторного поля

через сторону треугольника , вырезанного из плоскости координатными плоскостями.



6 Найти поток векторного поля через поверхность части параболоида , отсекаемой от него плоскостью (нормаль внешняя).

7 Вычислить поток для векторных полей и положительно ориентированных замкнутых поверхностей :

а) ,



 = ;

б) ,



 =  .

8 Найти поток векторного поля

через поверхность цилиндра, заключенную между плоскостями и (нормаль внешняя).



9 Найти дивергенцию векторных полей:

а) ;

б) .

10 Найти ротор векторных полей:

а) ;

б) .

11 Вычислить циркуляцию векторного поля

по контуру треугольника с вершинами , , по определению и с помощью формулы Стокса.



12 Вычислить циркуляцию векторного поля

вдоль линии, состоящей из части винтовой линии , , от точки до точки и прямолинейного отрезка по определению и с помощью формулы Стокса.



13 Выяснить, являются ли соленоидальными и потенциальными векторные поля:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

В случае потенциальности найти потенциал.


Задания для домашней работы
1 Найти линии и поверхности уровня скалярных полей:

а) ; в) ;

б) ; г) .

2 Найти производную в точке по заданному направлению скалярных полей:

а) , , ;

б) , , .

3 Найти градиент и его модуль скалярных полей:

а) ;

б) .

4 Найти векторные линии векторных полей:

а) ;

б) .

5 Найти поток векторного поля через нижнюю сторону треугольника с вершинами , , .

6 Найти поток векторного поля через внутреннюю часть поверхности , отсеченной плоскостью .

7 Найти дивергенцию векторных полей:

а) ;

б) .

8 Найти поток векторного поля через верхнюю сторону круга, вырезаемого конусом на плоскости .

9 Найти поток векторного поля по внешней стороне части сферы , расположенной в первом октанте.

10 Найти поток векторных полей:

а) через внешнюю сторону замкнутой поверхности  =   ;

б) через внешнюю сторону замкнутой поверхности

 =  .

11 Найти ротор векторных полей

а) ;

б)

.

12 Вычислить по определению и с помощью формулы Стокса циркуляцию векторных полей:

а) по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости с координатными плоскостями;

б) по контуру  =  .

13 Выяснить, являются ли соленоидальными и потенциальными векторные поля:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

В случае потенциальности найти потенциал.






База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница