Задания в 12. Прикладные задачи. Осуществление практических расчетов по формулам



Скачать 145.25 Kb.
Дата09.11.2016
Размер145.25 Kb.
Задания В 12.

Прикладные задачи. Осуществление практических расчетов по формулам.

  1. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону m(t)=m⋅ 2, где m(мг) — начальная масса изотопа, t (мин.) — время, прошедшее от начального момента, T (мин.) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа m=50 мг. Период его полураспада T=5 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 12,5 мг?

  2. Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела P прямо пропорциональна площади его поверхности S и четвёртой степени температуры T:P=σST, где σ=5,7⋅10 - постоянная, площадь измеряется в квадратных метрах, температура — в градусах Кельвина, а мощность — в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь S=м, а излучаемая ею мощность P не менее 1,14⋅10 Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Ответ дайте в градусах Кельвина.

  3. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой η=⋅100, где — температура нагревателя (в градусах Кельвина), — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя КПД этого двигателя будет не меньше 50%, если температура холодильника =275 К. Ответ дайте в градусах Кельвина.

  4. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f=40 см. Расстояние d от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 40 до 60 см, а расстояние d от линзы до экрана — в пределах от 200 до 240 см. Изображение на экране будет четким, если соблюдается соотношение . Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.

  5. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Коля бросает небольшие камешки в колодец, измеряя время их падения, и рассчитывает расстояние до воды по формуле h=5t, где h – расстояние в метрах, t – время падения в секундах. До дождя камушки падали 1,6 с. На сколько поднялся уровень воды после дождя, если измеряемое время уменьшилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

  6. Траектория полёта камня, выпущенного под острым углом к горизонту из камнеметательной машины, описывается формулой y=ax+bx, где a=,b= – постоянные параметры, x(м) — смещение камня по горизонтали, y(м) — высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от стены высотой 9 метров нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее, чем 1 метр от верха стены? Толщиной стены можно пренебречь.

  7. Выехав из города со скоростью ν=53 км/ч, мотоциклист начинает разгоняться с постоянным ускорением a=8км/ч. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением S=vt+, где t(ч) – время, прошедшее с момента выезда мотоциклиста из города. Через сколько минут мотоциклист доберется от границы города до автозаправочной станции, расположенной в 42 км от города?

  8. Для поддержания балкона планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление P (в паскалях), оказываемое балконом и колонной на опору, определяется по формуле , где m=6000 кг — общая масса балкона и колонны, D — диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения g=10м/с, а π=3, определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть превышать 500000 Па. Ответ выразите в метрах.

  9. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону , где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана,

H=20м — начальная высота столба воды, k= — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте g=10м/с). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объема воды?

  1. Для одного из предприятий-монополистов зависимость объёма спроса на продукцию q (единиц в месяц) от её цены p (тыс. руб.) задаётся формулой: q=255−15p. Определите максимальный уровень цены p (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r=q⋅p составит не менее 990 тыс. руб.

  2. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камней в колодец и рассчитывая расстояние до воды по формуле . До дождя время падения камней составляло 0,8 с. На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше, чем на 0,2 с? (Ответ выразите в метрах).

  3. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону , где t —время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H=5м — начальная высота столба воды, k=— отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте g=10м/с). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объема воды?

  4. При температуре 0C рельс имеет длину =20 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону , где

α=1,2⋅10(∘C)— коэффициент теплового расширения, t— температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

  1. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой η=⋅100%, где T— температура нагревателя (в градусах Кельвина), T— температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя T КПД этого двигателя будет не меньше 75%, если температура холодильника T=280К? Ответ дайте в градусах Кельвина.

  2. Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры: P=σST, где σ=5,7⋅10 — постоянная, площадь S измеряется в квадратных метрах, температура T— в градусах Кельвина, а мощность P — в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь S=м, а излучаемая ею мощность P не менее 1,5625⋅10Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Ответ дайте в градусах Кельвина.

  3. В боковой стенке высокого цилиндрического бака на уровне дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону H(t)=at+bt+H, где H=4м – начальный уровень воды, a=м/мин, и b=м/мин – постоянные, t – время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение, какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

  4. Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий υ=2 моля воздуха при давлении p=2 атмосферы, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением A=αυTlog(Дж), где α=11,5 – постоянная, T=300 K – температура воздуха, p(атм) – начальное давление, а p (атм) — конечное давление воздуха в колоколе. До какого наибольшего давления p можно сжать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха совершается работа не более чем 6900 Дж? Ответ приведите в атмосферах.

  5. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 374 МГц. Батискаф спускается со скоростью v=cметров в секунду, где c=1500 м/с — скорость звука в воде, (МГц) — частота испускаемых импульсов, (МГц) — частота отраженного от дна сигнала, регистрируемая приемником. Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала , если скорость погружения батискафа не должна превышать 4 м/с.

  6. Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h метров над землей, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле , где R=6400 (км) – радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 8 км? Ответ дайте в метрах.

  7. Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объем и давление связаны соотношением pV=const, где p (атмосфер) — давление в газе, V (литров) — объем газа. Изначально объем газа равен 134,4 л, а его давление равно одной атмосфере. Поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объема можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.

  8. Плоский замкнутый контур площадью S=1,25 м находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой определяется формулой ξ=aScosγ В, где γ — острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, a=8⋅10Тл/с — постоянная, S м— площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле. При каком минимальном угле γ ЭДС индукции не будет превышать 5⋅10 В? Ответ дайте в градусах.

  9. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U=Ucos(ωt+ϕ), где t — время в секундах, амплитуда U=2 В, частота ω=120 в секунду, фаза ϕ=−90. Датчик настроен так, что если напряжение в нем не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Сколько процентов времени на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

  10. Трактор тащит сани с силой F=90 кН, направленной под острым углом α к горизонту. При скорости трактора v=6 м/с мощность равна N=Fvcosα кВт. При каком максимальном угле α эта мощность будет не менее

  1. т? Ответ дайте в градусах.

  1. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R=52 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление Rэтого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R Ом и R Ом их общее сопротивление измеряется по закону R Ом, а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 36 Ом. Ответ выразите в Омах.

  2. Мяч бросили под углом к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча задаётся законом t= с. При каком наименьшем значении угла α время полёта будет не меньше 2,9 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью =29 м/с? Считайте, что ускорение свободного падения g=10 м/с. Ответ дайте в градусах.

  3. Вращающаяся катушка является деталью некоторого прибора. Она состоит из трех однородных цилиндров с общей осью: центрального массой M=14 кг и радиуса R=7 см, и двух боковых с массами m=6 кг и с радиусами R+h. Момент инерции катушки относительно оси вращения выражается формулой (кг⋅см). При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения 1069 кг⋅см? Ответ выразите в сантиметрах.

  4. Опорные башмаки шагающего экскаватора массой m=2200 тонн представляют собой две пустотелые балки длиной l=16 метров и шириной s метров каждая. Давление экскаватора на почву задается законом кПа, g=10м/с — ускорение свободного падения. Определите наименьшую возможную ширину s опорных балок, если известно, что давление p не должно превышать 275 кПа. Ответ выразите в метрах.

  5. Уравнение процесса, в котором участвует газ, задается законом pV=c, где p — давление в газе в Па, V — объём газа в кубических метрах, α — положительная константа, c — константа. При каком наименьшем значении константы α увеличение в 9 раз объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее, чем в 27 раз?

  6. Скейтбордист прыгает на стоящую, на рельсах платформу, со скоростью v=5 м/с под острым углом к рельсам. От толчка платформа начинает двигаться со скоростью u⋅v⋅cosα(м/с), где m=70 кг — масса скейтбордиста со скейтом, а M=280 кг — масса платформы. Под каким максимальным углом α нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,5 м/с? Ответ дайте в градусах.

  7. Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землей, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле l= км, где R=6400 км — радиус Земли. Человек, стоящий на берегу, видит горизонт на расстоянии 32 км. К берегу ведет лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии как минимум 40 километров?

Задания В 13.

Составление уравнений и неравенств по условию задач. Их решение.

  1. В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

  2. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 15 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 90 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 54 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

  3. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 50 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 5 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

  4. Виноград содержит 90% влаги, а изюм – 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 82 килограммов изюма?

  5. Теплоход плывет из города А в расположенный на расстоянии 384 км ниже по течению реки город В. Простояв 8 часов в городе В, он возвращается обратно. На весь путь теплоход затрачивает 48 часов.

Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

  1. Паша набирает 600 символов на 30 секунд быстрее, чем Даша — 450 символов. Паша за минуту печатает на 90 символов больше, чем Даша. Сколько символов набирает Паша за 1 минуту?

  2. Десять сырков дешевле 1 кг сыра на 5%. На сколько процентов двенадцать сырков дороже 1 кг сыра?

  3. Лодка в 8:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 20:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки равна 4 км/ч.

  4. Заказ на 156 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

  5. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 18 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 108 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 63 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

  6. Моторная лодка в 11:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 21:00. Определите (в км/час) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.

  7. Для организации пляжа на грузовике перевозится 611 тонн песка из карьера. В первый день грузовик перевез 5 тонн песка. Ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн, грузовик перевез весь песок за 13 дней. Определите, сколько тонн песка было перевезено за девятый день.

  8. Имеются два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 72% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 78% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

  9. Смешали некоторое количество 13-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 17–процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

  10. Заказ на 132 детали первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

  11. Заказ на 224 детали первый рабочий выполняет на 2 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 2 детали больше?

  12. Моторная лодка прошла против течения реки 63 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

  13. К резервуару объёмом 220 литров ведут две трубы, первая пропускает на 9 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар она заполняет на 9 минут дольше, чем вторая труба?

  14. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 72 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 6 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 6 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

  15. Теплоход, двигающийся в неподвижной воде со скоростью 18 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения реки равна 4 км/ч, стоянка длится 7 часов, а в исходный пункт теплоход прибывает через 43 часа после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?

  16. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 190 метров, второй — 110 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 300 метров. Через 9 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 900 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

  17. Один мастер может выполнить заказ за 28 часов, а другой — за 21 час. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

  18. Из города A в город B, расстояние между которыми равно 200 километрам, выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 90 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 110 км от города A. Ответ дайте в км/ч.

  19. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 12% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 5 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

  20. Два велосипедиста одновременно отправились в 180-километровый пробег. Первый ехал на 3 км/ч быстрее второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

  21. Компания "Три толстяка", имея капитал в размере 4000 долларов, начала инвестировать средства в кулинарную отрасль в 2002 году. Каждый год, начиная с 2003 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания "Буратино", имея капитал в размере 4500 долларов, начала инвестировать средства в деревообрабатывающую отрасль в 2005 году и, начиная с 2006 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 300% от капитала предыдущего года.

На какую сумму капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2009 года, если прибыль из оборота не изымалась? Ответ дайте в тысячах долларов.

  1. Расстояние между городами A и B равно 750 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через 2 часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 80 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 350 км от города A. Ответ дайте в км/ч.

  2. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 85 км/ч и 80 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 600 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 24 секундам. Ответ дайте в метрах.

  3. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 33 секунды. Найдите длину поезда в метрах.

  4. Половину времени от города до дачи автомобиль ехал со скоростью 69 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 87 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Задания В 14.

Исследование функций. Применение производной функции.

  1. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−3;−0,5].

  2. Найдите наибольшее значение функции y=9cosx+16x−8 на отрезке [−;0].

  3. Найдите наименьшее значение функции на отрезке.

  4. Найдите наименьшее значение функции y=4x−ln(x+5)на отрезке [−4,5;0].

  5. Найдите наибольшее значение функции y=x–12x+7 на отрезке [−3;0].

  6. Найдите точку максимума функции y = (3x−15x+15)e.

  7. Найдите наибольшее значение функции y=11⋅ln(x+9)−11x+37 на отрезке [−8,5;0].

  8. Найдите наибольшее значение функции y=12sinx−x+20 на отрезке [−;0].

  9. Найдите наименьшее значение функции y=(x−11)e на отрезке [9;11].

  10. Найдите наименьшее значение функции y=6cosx−7x+8 на отрезке [−;0].

  11. Найдите наибольшее значение функции y=x+4x−3x−12 на отрезке [−4;−1].

  12. Найдите наибольшее значение функции y=9tgx−9x+4 на отрезке [−;0].

  13. Найдите точку минимума функции y=(3x−48x+48)e.

  14. Найдите наибольшее значение функции y=cosx+x−+13 на отрезке [0;].

  15. Найдите наибольшее значение функции y=12x−7sinx+7 на отрезке [−;0].

  16. Найдите наименьшее значение функции y=(x−7)eна отрезке [5;7].

  17. Найдите наименьшее значение функции y=на отрезке [1;10].

  18. Найдите наименьшее значение функции y=.

  19. Найдите точку максимума функции y=(21−x).

  20. Найдите наименьшее значение функции y=23x−23tgx+39 на отрезке [−;0].

  21. Найдите точку минимума функции f(x)=x−27x+7.

  22. Найдите точку минимума функции f(x)=(x−37x+37)⋅e.

  23. На отрезке [9;13] найдите наименьшее значение функции f(x)=x−20x+100x+23.

  24. Найдите точку минимума функции y=(3−2x)cosx+2sinx+6 принадлежащую интервалу (0;).

  25. Найдите точку максимума функции y=.

  26. Найдите точку максимума функции y=−x+12x+14.

  27. Найдите наименьшее значение функции y=log(x−6x+521)−8.

  28. Найдите точку максимума функции y=x−38x+180lnx+1.

  29. На отрезке [1;3] найдите наименьшее значение функции f(x)=(x−16x+16)e.

  30. На отрезке [0;10] найдите наибольшее значение функции f(x)=(x−11)e.


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница