Задание Задана векторная функция плоскопараллельного установившегося движения несжимаемой жидкости сплошной среды Требуется: Построить трубку тока Определить наличие стоков



Скачать 85.73 Kb.
Дата11.11.2016
Размер85.73 Kb.
Вариант 1
Задание 1.
Задана векторная функция плоскопараллельного установившегося движения несжимаемой жидкости сплошной среды


Требуется:

1. Построить трубку тока

2.Определить наличие стоков, источников

3. Определить параметры вращательного движения

4. Определить поток сплошной среды через поверхность единичного куба.
Решение
1. Для построения трубки тока необходимо определить уравнения линий тока. Для нахождения уравнений линий тока надо решить дифференциальное уравнение:

где , - проекция векторной функции поля скоростей на Оси Ox и Oy.

В нашем случае: , а . В итоге получаем следующее дифференциальное уравнение:

- уравнение с разделяющимися переменными.

Умножив на 2, получим: . Решаем это уравнение.



, где С – это постоянная интегрирования, которую находим из условия, что поток проходит через точки граней единичного куба. Мы построим линии тока через вершины площадки BB1C1C (рис 1.1).

Рис 1.1


т. B (1,1,0): - линия тока проходящая через точку В (1,1,0).

т. B1 (1,1,1): - линия тока проходящая через точку В1 (1,1,1).

т. С1 (0,1,1): - решений нет - линия тока проходящая через точку С1(1,1,1). Это особенная прямая для уравнения .

т. С (0,1,0): - решений нет - линия тока проходящая через точку С (0,1,0). Это особенная прямая для уравнения .

Трубка тока изображена на рис 1.2.

рис. 1.2
2. Для определения наличия источников необходимо найти дивергенцию вектора скорости, которая определяет скорость относительного объемного расширения сплошной среды.



Поскольку дивергенция больше нуля, то можем сделать вывод, что в сплошной среде имеет место наличие источника.


3. Вращательное движение характеризуется векторным полем угловых скоростей, т.е ротором поля скоростей.


т.к. .

Найдем частные производные: и

Получаем, что . Это означает, что наше векторное поле безвихревое.


4. Поток вектора скорости несжимаемой среды равен: . Поскольку дивергенцию мы уже определяли , то подставляем её значение и вычисляем интеграл.

- через поверхность куба больше вытекает, чем втекает. Определим поток вектора скорости через каждую грань единичного куба.

, где - поле скоростей,

Рис 1.3


, на грани АА1В1В.

, на грани ODCC1.

, на грани ВВ1С1С.

, на грани ОDA1A.

Видим, что и . Это означает, что через грани АА1В1В и ВВ1С1С среда выходит. Через грани ODCC1 и ОDA1A потока нет, поскольку и . Расход через грани DC1B1A1 и OCBA равен нулю, т.к. отсутствует проекция скорости на ось Oz.

Делаем проверку - верно.

Задание 2
Для абсолютно упругого тела заданы:

а) упругие постоянные материала – модуль упругости и коэффициент Пуассона

б) поле перемещений для любой точки , и (миллиметры)

в) точка М, координаты которой заданы единичным вектором



,

где - направляющие косинусы вектора или координаты точки М (поскольку )

Необходимо определить деформационное и напряженное состояние материала в точке М и графически изобразить деформации и вектор полного напряжения по наклонной площадке.
Решение
1. Исследование деформационного состояния в точке.
Под действием внешней нагрузки абсолютно упругое тело деформируется. Поле перемещений частиц определяется векторной функцией.

,

где - функции проекций вектора перемещений на оси Ox, Oy и Oz.

Согласно теореме Гельмгольца деформационное движение определяется тензором деформаций:

,

где - линейные деформации вдоль осей Ox, Oy и Oz,



, , - углы сдвига в координатных плоскостях xOy, xOz и yOz, соответственно.

Находим с помощью формул Коши компоненты тензора деформаций.



;

;

;

;

;

Вычисляем компоненты тензора деформаций в точке .



;

;

;

;

;

Тензор деформаций в точке М будет выглядеть следующим образом:



Используя формулу , определим относительное удлинение .



На примере единичного куба схематично изобразим деформацию.

В плоскости .

точка :

точка :

точка :

точка :

В плоскости .

точка :

точка :

точка :

точка :




В плоскости .

точка :

точка :

точка :

точка :

2. Исследование напряженного состояния в точке.


Для получения картины напряженного состояния необходимо по уже полученным деформациям определить напряжения в точке. Для этого используем обобщенный закон Гука, записанный через параметры Ламе.

,

,

,

где - коэффициент Ламе


- коэффициент Ламе

- объемная деформация

- модуль упругости при сдвиге.

- нормальные напряжения

- касательные напряжения

Тензорное поле напряжений записывается в виде матрицы следующего вида:



В точке М определяем компоненты тензора напряжений.

В точке М объемная деформация равна

Тогда имеем:











Построим площадку, нормалью которой является вектор . Для этого отложим на осях Ох, Оy отрезки равные , соответственно. Поскольку , то плоскость параллельная оси Оz. Получаем плоскость, которая нарисована на рисунке ниже.




Найдем вектор полного напряжения в точке М. Для этого вычислим проекции этого вектора через компоненты тензора напряжений по следующим формулам:





В итоге получили, что вектор полного напряжения равен:



,

а его модуль




Разложим вектор полного напряжения на нормальное напряжение и касательное.

- нормальное напряжение




Задание 3
Идеальная несжимаемая жидкость плотности при комнатной температуре вытекает по трубопроводу переменного сечения из закрытого бака в атмосферу. Уровень жидкости в баке поддерживается постоянным. Абсолютное давление воздуха над поверхностью жидкости измеряется манометром.

Требуется:



  1. построить пьезометрическую линию трубы

  2. рассчитать потери напора по длине трубы в участках с постоянным сечением, считая жидкость вязкой, а скорости движения взять из расчетов для идеальной жидкости.

Решение.
Для построения пьезометрической линии используем закон Бернулли. Выбирая плоскость сравнения 0-0, проходящей через ось трубы, сечение 1-1 – совпадающим с уровнем жидкости в баке, сечение 2-2 – совпадающим с выходным сечением, запишем уравнение Бернулли:



,

где - скоростной напор,



- пьезометрический напор.

- геометрический напор, определяемый расстоянием центра сечения потока от произвольно выбранной плоскости сравнения, параллельной поверхности Земли.

Выбираем два сечения: 1-1 и 2-2.

Тогда исходя из условий задачи имеем.

, т.к. уровень постоянный.

, т.к. это давление на поверхности жидкости.

, атмосферное давление.

, т.к. плоскость сравнения выбираем проходящей через ось трубы.

Подставляя данные задачи в уравнение , получаем формулу для расчета скорости истечения жидкости в сечении 2-2.



Величина - приведенный к атмосферному давлению статический напор в трубе, который в данном случае равен приведенному полному напору, т.е. .

Для нахождения скорости течения жидкости в остальных сечениях используем уравнение неразрывности, показывающее постоянство объемного расхода в трубе:

,

где - скорость в i-ом сечении;



- площадь круглого сечения.

Скорость в сечении 3-3 определяется по формуле:



Рассечем конусообразный участок трубы пополам сечением 4-4 и еще раз пополам сечениями 5-5 и 6-6 .

Вычисляем скоростные напоры для сечений:





Скоростные напоры вычисляем по формуле , тогда пьезометрические напоры вычисляются по формуле













Расчет потерь напора.


В случае движения по трубе реальной жидкости, у которой коэффициент кинематической вязкости не равен нулю, имеет место потеря напора по длине трубы. Эти потери зависят от режима течения жидкости. Режим течения характеризуется числом Рейнольдса, которое можно определить по формуле:

,

Где - скорость течения жидкости на участке трубы с постоянным течением ;



- диаметр потока в трубе ;

- кинематическая вязкость ;

Потери напора вычисляем по формуле:



,

где - длина трубы;



- коэффициент Дарси, зависящий от режима течения;

Если , то режим течения ламинарный и коэффициент Дарси равен , в противном случае – режим течения турбулентный и следует использовать формулу .

Определим потери напора на участке трубы с постоянным диаметром .

Вычисляем число Рейнольдса: . Поток турбулентный.

Коэффициент Дарси равен

Потери напора:


Определим потери напора на участке трубы с постоянным диаметром .

Вычисляем число Рейнольдса: . Поток турбулентный.

Коэффициент Дарси равен

Потери напора:



Складываем потери напора и сравниваем с : . Видим, что сумма потерь по двум участкам больше, чем полный напор. Это означает, что проводить расчеты нужно с учетом вязкости жидкости, т.е. жидкость нельзя считать идеальной.


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница