Задачи по курсу Нелинейный и асимптотический анализ



Скачать 36.18 Kb.
Дата09.05.2016
Размер36.18 Kb.




Задачи по курсу

Нелинейный и асимптотический анализ


  1. Пусть банаховы пространства, функция дифференцируема в точке . Показать, что функция непрерывна в этой точке.




  1. Пусть , где линейный оператор. Показать, что .



  1. Если оператор дифференцируем в точке , а оператор дифференцируем в точке , то .




  1. Найти производные Фреше функционалов и в вещественном гильбертовом пространстве.




  1. Пусть дифференцируемое отображение задается в декартовых координатах формулами



Показать, что производная Фреше этого отображения задается матрицей Якоби




  1. Пусть функции и непрерывны на . Показать, что оператор

дифференцируем в любой точке и



.


  1. Пусть оператор непрерывно дифференцируем на выпуклом множестве и . Показать, что на .




  1. Пусть оператор дифференцируем на выпуклом множестве и производная удовлетворяет условию Липшица



Показать, что



  1. Пусть задан k-линейный ограниченный оператор . Доказать формулу бинома Ньютона .

  2. Используя формулу бинома Ньютона показать, что .




  1. Пусть задана в билинейная форма

Оценить .



  1. Пусть - пространство дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке функций, обращающихся в ноль на концах отрезка. Рассмотрим оператор такой, что , где функции и непрерывны на . Доказать, что




  1. Пусть ядро непрерывно на . Рассмотрим в нелинейный оператор . Доказать, что этот оператор разлагается в ряд Тейлора, радиус сходимости которого равен бесконечности. Выписать это разложение.



  1. Пусть оператор действует в банаховом пространстве и степень оператора является оператором сжатия. Показать, что у оператораесть единственная неподвижная точка в прстранстве .




  1. Показать, что в евклидовом пространстве линейное отображение будет сжимающим, если .




  1. Рассмотрим множество непрерывных на отрезке функций со значениями в банаховом пространстве . Показать, что есть банахово пространство с нормой




  1. Пусть непрерывное ядро на , задан оператор Вольтерра . Показать, что оператор действует в пространстве и при некотором оператор сжимающий.



  1. Пусть непрерывное ядро на , , задан оператор Фредгольма . Показать, что оператор действует в пространстве и будет сжимающим при . Показать, что есть интегральный оператор с ядром ,определяемым рекуррентной формулой . Показать , что ряд Неймана сходится равномерно в круге и его сумма (резольвента) есть регулярная функция . Решение неоднородного уравнения выражается через резольвенту .




  1. При помощи метода сжатых отображений доказать теорему существования и единственности решения задачи Коши для системы линейных дифференциальных уравнений с непрерывнымикоэффициентами.




  1. При помощи метода сжатых отображений доказать теорему существования и единственности решения задачи Коши для системы нелинейных дифференциальных уравнений .




  1. Пусть - банаховы пространства, оператор дифференцируем, и имеет в точке ограниченный обратный . Показать, что решение уравнения эквивалентно нахождению неподвижной точки оператора . Если производная удовлетворяет условию Липшица, то найдется такой замкнутый шар , который оператор отображает в себя и является в этом шаре оператором сжатия.



  1. Показать, что метод последовательных приближений для оператора предыдущей задачи есть модифицированный итерационный процесс Ньютона.




  1. Применить модифицированный метод Ньютона для решения краевой задачи



  1. Рассмотреть краевую задачу . Полагая , показать, что все числа и функции могут быть определены. Ряды равномерно асимптотические по малому параметру .


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница