Задача восстановления источника нелинейной колебательной системы



Дата09.05.2016
Размер91.4 Kb.
С. Я. Серовайский, д-р физ.-матем. наук

Казахский национальный университет имени аль-Фараби

(Казахстан, 050012, Алматы, ул. Масанчи, 39/47,

Тел. (727) 2695244, E-mail: serovajskys@mail.ru )

Задача восстановления источника
нелинейной колебательной системы


Аннотация. Рассматривается задача восстановления источника нелинейной распределенной колебательной системы по данным на части области. Доказывается сходимость методов регуляризации Тихонова и штрафа к ее квазирешению.

Постановка задачи. Дана открытая ограниченная область  пространства с границей S, Рассматривается уравнение

, (1)

с краевыми условиями



; (2)

где функция состояния системы, – источник, и – известные функции, Предполагается справедливость включений где Функция f выбирается из выпуклого замкнутого ограниченного подмножества пространства Тогда для любого задача (1), (2) разрешима в пространстве (см., [1], с. 20). Выражая из равенства (1) вторую производную по t, установим включение , где Таким образом, разрешимость задачи устанавливается в пространстве Обратная задача состоит в определении такой функции чтобы соответствующее ей решение задачи (1), (2) удовлетворяло условию



где есть непустое односвязное достаточно регулярное подмножество Q. Отметим, что единственность решения рассматриваемой краевой задачи не гарантирована [1]. Тем самым некорректной оказывается не только обратная задача (что вполне естественно), но и соответствующая прямая задача. В этом состоит отличие настоящей работы от известных результатов теории обратных задач для уравнений гиперболического типа (см., например, [2] – [5]).



Квазирешение задачи. Зададим множество допустимых пар системы (1), (2), состоящее из таких значений которые удовлетворяют этим равенствам. Под квазирешением поставленной задачи будем понимать такую допустимую пару системы (1), (2), которая минимизирует на множестве функционал

где – непустое односвязное достаточно регулярное подмножество области Q.



Теорема 1. Обратная задача имеет квазирешение.

Доказательство. В силу ограниченности снизу функционала I для данной задачи существует минимизирующая последовательность, т.е. такая последовательность элементов множества , что . Умножая равенство (1) при на производную и интегрируя результат по области , после элементарных преобразований будем иметь

Интегрируя полученное неравенство по t с учетом леммы Гронуолла и условий (2), установим ограниченность последовательности в пространстве U0. Тогда после выделения подпоследовательности, получим, что слабо в F и -слабо в . Учитывая выпуклость и замкнутость множества , имеем включение Пользуясь компактностью вложения пространства в (см. [1], с. 70), после выделения подпоследовательности получаем, что сильно в и п.в. на Q, а значит, п.в. на Q. Из ограниченности в пространстве следует, что последовательность ограничена в пространстве Пользуясь леммой 1.3 (см. [1], с. 25), заключаем, что слабо в Переходя к пределу в равенстве установим, что удовлетворяет равенству (1), и справедливо включение Учитывая свойства нормы в гильбертовом пространстве, приходим к неравенству откуда следует, что v минимизирует данный функционал на указанном множестве. Теорема доказана.



Метод регуляризации Тихонова. В соответствии с методом Тихонова определим функционал

где – параметр регуляризации. По аналогии с теоремой 1 устанавливается, что задача минимизации функционала на множестве имеет решение



Теорема 2. При имеет место сходимость

Доказательство. Справедливо очевидное неравенство

(3)

где – квазирешение обратной задачи. Пользуясь описанной ранее методикой, установим ограниченность последовательности (точнее, направленности) в . Тогда после выделения подпоследовательности установим сходимость -слабо в , слабо в F, причем В результате перехода к пределу в равенстве (1) при и получаем равенство (1) относительно предельной пары, откуда следует, что точка принадлежит множеству . Очевидно, справедливо неравенство . Тогда, учитывая лемму 5.3 (см. [6], с. 20), имеем . Отсюда и из условия (3), получаем, что а значит, . Итак, справедливы неравенства



,

откуда выводятся утверждения теоремы.

Итак, в качестве приближенного решения задачи можно выбрать решение регуляризованной задачи при достаточно малых значениях параметра регуляризации .

Метод штрафа. Для решения полученной задачи оптимального управления воспользуемся методом штрафа [7]. Определим функционал

где и при Рассмотрим задачу минимизации функционала на множестве V пар при выполнении условий (2).



Теорема 3. Задача разрешима.

Доказательство. Пусть есть минимизирующая последовательность для задачи . Очевидно, последовательность ограничена в пространстве F, причем существует такая ограниченная в F последовательность что справедливо уравнение

(4)

с соответствующими краевыми условиями. Пользуясь методикой, описанной при доказательстве теоремы 1, установим ограниченность последовательности в пространстве U. Тогда после выделения подпоследовательности, установим сходимость слабо в F, -слабо в U и слабо в F причем Повторяя рассуждения из теоремы 1, заключаем, что слабо в Тогда в результате перехода к пределу в равенстве (4), установим соотношение



(5)

Из равенства (4) следует включение , а значит, Тогда умножая равенство (5) на достаточно гладкую функцию , обращающуюся в нуль вместе со своей производной по времени при после интегрирования по области Q с учетом формулы интегрирования по частям для абстрактных функций (см. [6], с. 177) и начальных условий для функций , будем иметь



Переходя здесь к пределу при и вновь выполняя интегрирования по частям с учетом равенства (5), будем иметь



Выбирая здесь , установим, что Если же положить , то из предшествующего соотношения следует, что Таким образом, функция u удовлетворяет краевым условиям (2). Пользуясь полученными ранее условиями, установим неравенство откуда следует, что v есть решение задачи . Теорема доказана.

Обозначим через решение задачи .

Теорема 4. При имеет место сходимость

Доказательство. Справедливо неравенство

(6)

Тогда из определения регуляризованного функционала следует ограниченность последовательности в пространстве F. Кроме того, справедливо равенство



(7)

с соответствующими краевыми условиями, где последовательность ограничена в норме F. Пользуясь описанной ранее методикой, установим ограниченность последовательности в U. Тогда после выделения подпоследовательности при установим сходимость -слабо в U, слабо в F, причем В результате перехода к пределу в равенстве (7) получаем равенство (1), откуда следует, что точка принадлежит множеству . Справедливо неравенство , откуда следует . Отсюда и из условия (6), получаем , а значит, . Итак, справедливы неравенства



,

откуда выводятся утверждения теоремы.



Приближенное решение задачи. Следуя [8], под приближенным решением задачи минимизации функционала I на множестве будем понимать такую точку из достаточно малой окрестности O множества , что для достаточно малого числа справедливо неравенство Таким образом, приближенное решение не обязано быть элементом множества , но оказывается достаточно близким к какому-либо его элементу, в то время как значение функционала на нем может превосходить его минимум на этом множестве не более чем на достаточно малую величину.

Теорема 5. При достаточно малых значениях и достаточно больших значениях n решение задачи будет приближенным решением задачи минимизации функционала I на множестве .

Доказательство. Переходя к пределу при в очевидном неравенстве с учетом теоремы 4, будем иметь

Переходя здесь к пределу при с учетом теоремы 2 и ограниченности множества получаем



Таким образом, при достаточно малых значениях и достаточно больших значениях n число может превосходить не более чем на сколь угодно малую величину. В процессе доказательства теоремы 4 было показано, что предельная точка (в соответствующей топологии) семейства принадлежит множеству а значит, при соответствующих значениях указанных параметров попадет в сколь угодно малую окрестность этого множества. Теорема доказана.

Согласно полученному результату для нахождения приближенного решения исходной задачи достаточно определить решение задачи . Последняя является задачей минимизации гладкого функционала на выпуклом подмножестве банахова пространства, что позволяет вывести для нее условия оптимальности стандартным способом.

Теорема 6. Решение задачи определяется соотношениями:

(8)

(9)

; (10)

(11)

; (12)

где есть характеристическая функция множества

Доказательство. Для того чтобы точка минимизировала дифференцируемый функционал J на выпуклом подмножестве V банахова пространства, необходимо, чтобы выполнялось вариационное неравенство

(13)

где есть значение линейного непрерывного функционала в точке v. Для задачи минимизируемый функционал зависит от двух аргументов. Найдем его частные производные в точке из соотношений





В результате находим





,

где Тогда справедливо уравнение (11), а условия (12) выполнены, поскольку минимизация осуществляется среди всех функций u, удовлетворяющих условиям (2). Учитывая определение множества , заключаем, что условие экстремума (13) сводится к вариационному неравенству для производной функционала по управлению и условию стационарности для производной по функции состояния. Первое из указанных соотношений есть условие (8), а второе принимает вид



Учитывая определение функции , установим включение Тогда предшествующее соотношение определяет слабое (в смысле указанного включения) решение краевой задачи (9), (10). Теорема доказана.



Итак, для нахождения решения задачи получается система условий оптимальности (8) – (12). Согласно теореме 5 при достаточно больших значениях n соответствующая пара оказывается приближенным решением (в указанном выше смысле) задачи минимизации функционала I на множестве , т.е. значение этого функционала на ней может превосходить его минимум на указанном множестве не более чем на сколь угодно малую величину, а соотношения (1), (2) будут выполняться с достаточно высокой степенью точности. В частности, равенство (11) при малых можно понимать как приближенную форму уравнения состояния (1). Таким образом, в процессе практического решения системы (8) – (12) может быть найдено приближенное решение исходной задачи.

Список литературы

  1. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – Москва: Мир, 1972. 588 с.

  2. Романов В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. – Новосибирск: Наука, 1972. 164 с.

  3. Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. – Н., Наука, 1988. 166 с.

  4. Maksimov V., Pandolfi L. The problem of dynamical reconstruction of Dirichlet boundary control in semilinear hyperbolic equations // J. Inverse and Ill-Posed Problems. 2000. No. 4. Р. 399–420.

  5. Denisov A.M. Existence and uniqueness of solution to the problem of determining source term in a semilinear wave equation // J. Inverse Ill-Posed Problems. 2006. No. 8. P. 767–784.

  6. Гаевский Х., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. – Москва: Мир, 1977. 332 с.

  7. Лионс Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. – Москва: Наука, 1987. 368 с.

  8. Серовайский С. Я. Приближенное решение оптимизационных задач для сингулярных бесконечномерных систем // Сиб. матем. журн. 2003. № 3. С. 660–673.


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница