Задача продолжения потенциала в шаре с внутренней сферы из



Скачать 27.55 Kb.
Дата12.11.2016
Размер27.55 Kb.
Яремко О.Э. Задача продолжения потенциала в шаре с внутренней сферы из . // Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике: Сб. статей Междунар. научно-техн. конф.– Пенза: ПДЗ, 2010. – С. 58-62.
Задача продолжения потенциала
в шаре с внутренней сферы из

О.Э. Яремко

Пензенский государственный педагогический университет
им. В.Г. Белинского,
г. Пенза, Россия

Рассматривается задача восстановления гармонической функции в шаре по ее значениям на внутренней концентрической сфере. Найдено аналитическое выражение для решения указанной задачи.


Yaremko O.E. Problem continuation of potential in the ball from internal sphere from . The problem of the recovery of harmonic function in the ball by its values on internal concentric sphere is considered. The analytical expression for the decision of the specified problem is found.
Приведем ряд вспомогательных формул, дающих новые выражения для ядра Пуассона в единичном шаре из . Первая из формул получается непосредственным интегрированием:



(1)

Здесь – полиномы Гегенбауэра порядка [1].

Вторая формула взята из таблиц преобразований Лапласа:



, (2)

здесь – цилиндрическая функция Бесселя первого рода [1].

Из формул (1),(2) следует тождество:

=. (3)

Для доказательства достаточно заметить, что изображения Лапласа обеих частей равенства (3) одинаковы. Ввиду единственности изображения Лапласа тождество установлено.

Лемма. Пусть функция определена на отрезке , неотрицательна и непрерывна на . Если и

,

то


.

Доказательство. Из условий леммы следует, что в повторном интеграле



можно изменить порядок интегралов. В результате получим:





Формула Пуассона для N-мерного шара из радиуса R имеет вид:



, (4)

,,, ,

площадь единичной сферы из , а – элемент площади сферы . Приведем основной результат работы.

Теорема. Пусть функция – гармоническая в единичном шаре из и непрерывна на , тогда справедлива формула





(5)

Доказательство. Примем обозначение





Изменим порядок интегрирования и применим формулу (3). В результате после интегрирования по для функции получим выражение





(6)

Учитывая единственность разложения гармонической в единичном шаре функции в ряд однородных гармонических полиномов, замечаем, что коэффициенты



не зависят от . В частности, в формуле (5) можно принять . Тогда:





Неравенство



позволяет выполнить в последнем ряде предельный переход при .





На основании формулы (1) правую часть в последней формуле можно переписать в виде:



Формула Пуассона (4) приводит к окончательному результату



Библиографический список

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Справочная математическая библиотека. – М.: Физматгиз, 1966. – 296 с.


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница