«Вводное занятие»



страница5/6
Дата22.04.2016
Размер0.86 Mb.
1   2   3   4   5   6

Т.к. «зайцев» - 5, «клеток» -4 и 5>4, то, по принципу Дирихле, найдётся «клетка» - равносторонний треугольник со стороной 0,5 см, в который попадут не менее двух «зайцев» -точек. А т.к. все4 треугольника равны и расстояние между точками в любом треугольнике будет меньше, чем 0,5 см, то мы доказали, что между некоторыми двумя точками из пяти расстояние будет меньше, чем 0,5 см.


3). Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать 2, разность которых делится на 11.

Решение: Примем числа за «зайцев». Так как их 12, то «клеток» должно быть меньше. Пусть «клетки»- это остатки от деления целого числа на 11. Всего «клеток2 будет11: 0, 1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Тогда по принципу Дирихле, найдётся «клетка», в которой будут сидеть не менее чем 2 «зайца», т.е. найдутся 2 целых числа с одним остатком. А разность двух чисел с одинаковым остатком от деления на 11, будет делиться на 11.Действительно, пусть а=11m+g, b=11n+g, тогда а-в=11m+g-(11n+g)=11(m - n). А 11(m-n) делится на 11.

4). В ковре размером 3*3 метра Коля проделал 8 дырок. Докажите, что из него можно вырезать коврик размером 1*1 метр, не содержащий внутри себя дырок. (Дырки можно считать точечными). Решение: В данной задаче для решения необходимо применить другую формулировку принципа Дирихле: «Пусть в n клетках сидят m зайцев, причем m>n/ Тогда найдётся хотя бы одна пустая клетка». Здесь дырки будут «зайцами». Разрежем ковёр на 9 ковриков размерами 1*1метр. Т.к. ковриков – «клеток» - 9, а дырок – «зайцев» -8, то найдётся хотя бы одна «клетка», в которой не будет «зайцев», т.е. найдётся коврик без дырок внутри. Выводы: Применяя данный метод, надо:

1.определить, что удобно в задаче принять за «клетки», а что за «зайцев»;

2. получить «клетки»; чаще всего «клеток» меньше(больше), чем «зайцев» на одну (или более);

3. выбрать для решения требуемую формулировку принципа Дирихле.



3. Самостоятельная работа.

1). Дано 9 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать 2, разность которых делится на 8.

2). В классе 35 учеников. Можно ли утверждать, что среди них найдутся хотя бы два ученика, фамилии которых начинаются с одной буквы?

3). В лесу растёт миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 6000000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся две елки с одинаковым количеством иголок.

4). На дискотеку в студенческое общежитие, в котором 42 комнаты, пришло 36 гостей. Докажите, что найдётся комната, в которую не пришёл ни один гость.

5). В классе 26 учеников, из них более половины – мальчики. Докажите, что какие-то 2 мальчика сидят за одним столом, если в классе 13 столов. Указания. 1. Здесь будет 8 остатков: 0,1,2,…,7 – «клетки», а числа – их 9 – «зайцы».

2. Обозначим 35 учеников за «зайцев», а буквы за «клетки». В русском алфавите 33 буквы. Фамилии не могут начинаться разве что на ъ и ь. Т.к. 35>31, то по принципу Дирихле, найдётся 2 ученика, у которых фамилии начинаются с одной буквы.

3. Пусть ёлки-«зайцы», а число иголок на ёлках:0,1,2,3,…,6000000 – «клетки». «Клеток» будет 6000001, а «зайцев» - 1000000. Здесь «зайцев» гораздо больше, чем «клеток». Тогда по принципу Дирихле, в какой-то «клетке» будет находиться не менее двух «зайцев». Но если в одной клетке сидит два «зайца», то число иголок у этих ёлок будет одинаково.

4. Обозначив комнаты – «клетками», а гостей – «зайцами», имеем 36< 42. тогда найдётся как минимум одна пустая «клетка», т.е. в какую-то комнату не придёт ни одного гостя.

5. Обозначим мальчиков за «зайцев», а столы – за «клетки». Т.К. мальчиков больше половины, т.е. больше 13 –числа столов, то найдётся стол, за которым сидят не менее двух мальчиков. А т.к. больше двух мальчиков за стол не помещается, то это означает, что найдётся стол, за которым сидят два мальчика.


Урок № 30.Тема: «Решение задач на замощение».

1. Разминка.

1). Можно ли двумя ударами топора разрубить подкову (см. рис.) на шесть частей, не перемещая частей после удара?



Ответ. Можно:

2). Старый фермер оставил двум сыновьям в наследство картофельное поле, имеющее форму фигуры, изображённой на рисунке. Как разделить это поле на два равных участка (по форме и по размерам)? Ответ.



2. Решение задач по теме.

1). Начертите прямоугольник размером 4х6 клеток. Покажите, как его «замостить» трех клеточными уголками так, чтобы никакие два из них не образовывали прямоугольник. («Замостить» – покрыть без наложений и свободных клеток.) Ответ.

5). Из прямоугольника 3х9 вырезали две клетки (см. рис.). Разрежьте полученную фигуру на три части и сложите из них квадрат.

Ответ.

2). Покажите, как из нескольких одинаковых фигур в виде буквы «Г», состоящих из пяти клеток (см. рис.), составить квадрат.

Ответ.

6). Покажите, как разрезать фигуру (см. рис.) на восемь равных частей пятью прямолинейными разрезами.

Ответ.



3). Незнайка разрезал фигуру (см. рис.) на уголки из трех и из четырех клеток, нарисованные справа от неё. Сколько трёхклеточных уголков могло получиться?

Ответ. Могло получиться 2 или 6 уголков из трёх клеток (см. рисунок).





7). Покажите, как разрезать изображенный на рисунке прямоугольник с «дыркой» на пять различных фигур, состоящих из одинакового количества клеток.

Ответ.



4). Составьте прямоугольник из набора одинаковых шестиклеточных фигур (см. рис.)

Ответ.

8). Разрежьте прямоугольник 3x9 на восемь квадратов.

Ответ.





Урок № 31.Тема: «Математические софизмы»

Цель: рассмотреть различные математические софизмы; развивать логическое мышление; прививать навыки правильного мышления, осознания ошибки.

1. Задачи по теме.

1). 4р.=4000коп. Возьмём верное равенство: 2р.=200коп. Возведём обе части в квадрат: 4р.=4000коп. В чём ошибка? Решение: Возведение в квадрат денег смысла не имеет.

2). 5=6. Найдите ошибку в рассуждениях. Возьмем верное числовое равенство. 35+10 + 45 = 42+12 +54. 5(7 +2 –9) = 6(7 +2 –9). Разделим обе части равенства на (7 +2 –9).Получили 5 =6. Решение:

7 +2 –9 =0. На ноль делить нельзя.

3). 4=5. Найдите ошибку в рассуждениях. Возьмем верное числовое равенство. 16 –36 = 25 –45. Прибавим к обеим частям одно и то же число 16 –36 +20 ¼ =25 – 45 +20 ¼. Используем формулу сокращенного умножения (4 –9/2)2=(5 – 9/2)2. 4 – 9/2=5 –9/2; 4 =5.Решение: Из того, что равны квадраты, не следует, что равны основания.

4). 2*2 =5. Найдите ошибку в следующих рассуждениях. Имеем числовое тождество: 4:4 = 5:5. Вынесем за скобки в каждой части этого тождества общий множитель. Получим 4(1:1) = 5(1:1). Числа в скобках равны, поэтому 4 = 5. Решение: Нельзя выносить общий множитель при делении.

5). 5 =1. Найдите ошибку в следующих рассуждениях. 5 –3, (5 –3)2, 22=4, 1 –3, (1 –3)2, 22=4. Получаем 4 =4. Решение: 5 –3≠1 – 3.


  1. Математическая эстафета.

Члены команды по очереди решают примеры, передают друг другу. Выигрывает команда, первая получившая верный ответ.

1). (а –17):20=62 . Ответ: а=737.

2). По вагонам пассажирского поезда поровну разместили - а туристов. Сколько было вагонов и сколько туристов в каждом вагоне? Ответ: 67*11=737.Значит 67 и 11.

3). Если Витя купит столько тетрадей, сколько вагонов с туристами в задаче №2, то у него останется 5 рублей. А на 15 тетрадей у него не хватит 7 рублей. Сколько денег у Вити? Ответ: 38 рублей.

4). Масса бидона с молоком такова, сколько денег было у Вити, без молока –2кг. Какова масса бидона, заполненного молоком на половину? Ответ: 20кг.
Урок № 32. Тема: «Школьная олимпиада»

Цель: решение олимпиадных задач; обучение учащихся вырабатывать собственный метод решения.


  1. Разминка. Конкурс решения задач.

1). На лесной опушке под каждой берёзой растёт по два подберёзовика, а на каждом пеньке – 12 опят. Сколько берёз надо обойти, чтобы собрать столько же подберёзовиков, сколько опят растёт на 6 пеньках. Ответ: 36 берёз.

2). С полудня до полуночи Кот Учёный спит под дубом, а с полуночи до полудня рассказывает сказки. На дубе он повесил плакат: «Через час я буду делать то же самое, что делал 1 час назад». Сколько часов в сутки эта запись верна? Решение: Надпись на плакате будет неверна с 2300 до 200 и с 1100 до 1400 – всего 6 часов. Ответ: 18 часов в сутки.

3). Если сумма трёх последовательных положительных целых чисел равна 99, то произведение цифр первого из них равно: А(0), В(3), С(6), Д(9), Е(12). Решение: а –1 + а + а + 1=3а; 3а=99, а=33; 32,33,34. Ответ: С(6)

4). На сколько квадратов меньше, чем треугольников?










































Квадратов-7, а треугольников –4+3+2+1=10. Ответ: на 3.

2. Решение задач. 1. Раскрасьте некоторые клетки доски 8х8 так, чтобы у каждой клетки было закрашено ровно две соседние. Ответ:

































































































































































































2). Чтобы открыть сейф, нужно ввести код - число, состоящее из 7 цифр; двоек и троек. Двоек больше, чем троек, а код делится и на 3 и на 4. Найти все варианты кодов, открывающих сейф. Ответ: 2222232.

3). Как не более, чем за три взвешивания на чашечных весах без гирь найти одну фальшивую монету (более лёгкую) из 20 монет.Решение:



9

9

2




3,3, 3







I взвешивание

3, 3







II взвешивание

1, 1, 1







III взвешивание

4). Сумма числителя и знаменателя дроби равна 2005, а после сокращения дроби получилось 400. Тогда сумма цифр числителя первоначальной дроби равна…Решение: а/в, а+в=2005, а/в=400, а=400в. Тогда 401в=2005, в=5, а=2000. Первоначальная дробь 2000/5. Ответ: 2.

5). Сколько двузначных чисел обладают таким свойством: если переставить местами их цифры, то они увеличиваются не менее чем в 3 раза? Решение: 15, 16, 17, 18, 29. Ответ: 6 чисел.


Урок № 33. Тема: «Решение текстовых задач »

Цель: рассмотреть решение текстовых задач на математические игры, выигрышные ситуации.

1. Решение задач по теме.

1). Бился Иван-царевич со Змеем Горынычем, трёхглавым и трёххвостым. Одним ударом он мог срубить либо голову, либо один хвост, либо две головы, либо два хвоста. Но если срубить один хвост, то вырастут два; если срубить два хвоста - вырастет голова; если срубить голову, то вырастет новая голова; а если срубить две головы, то не вырастет ничего. Объясните, как должен действовать Иван-царевич, чтобы срубить Змею все головы и все хвосты как можно быстрее. Решение. Так как рубить головы по одной не имеет смысла, а при рубке хвостов рано или поздно появляются новые головы, то Иван-царевич должен действовать так, чтобы у Змея не осталось хвостов, а количество голов стало чётным. Для этого надо сначала три раза срубить по одному хвосту, и их будет шесть. Затем три раза срубить по 2 хвоста, и у Змея станет шесть голов, а потом три раза срубить по две головы, и тогда у Змея не останется ни хвостов, ни голов. Возможен также вариант, когда Ива-царевич сначала срубает две головы, а потом действует так же, как в предыдущем случае, тогда на последнем этапе у змея будет не шесть, а четыре. Общее число ударов, которое должен сделать Иван-царевич (девять )при этом не изменяется. Ответ: Три раза срубить по одному хвосту, три раза срубить по два хвоста, три раза срубить по две головы.

2). Перед Бабой ягой и Кощеем Бессмертным лежат две кучи мухоморов, в одной 100 штук, а в другой 150 штук. Эти персонажи по очереди берут грибы из куч, за один раз можно взять любое ненулевое число грибов из одной куч. Пропускать ход нельзя, выигрывает тот, после хода, которого грибов не останется. Первой ходит Баба яга. Кто из игроков выиграет при правильной игре?

Решение. Победит Баба Яга с помощью следующей стратегии. Каждым своим ходом она уравнивает число грибов в кучках, имеющееся к её ходу.

3). Двое по очереди кладут пятирублёвые монеты на круглый стол. Проигрывает тот, кто не сможет положить очередную монету (монеты не должны накладываться друг на друга). Кто выиграет при правильной стратегии? Решение. Выиграет первый. Для этого он первым ходом должен положить свою монету в центр симметрии стола. После чего на ход второго у него всегда будет симметричный ход.

4). Ладья стоит на поле а 1. За один ход разрешается сдвинуть её на любое число клеток вправо или на любое число клеток вверх. Выиграет тот, кто поставит ладью на поле h8. Кто их игроков обладает выигрышной стратегией? Решение. Выигрышной стратегией обладает второй игрок: после хода первого игрока он возвращает своим ходом ладью на диагональ а1-h8. Первый игрок вынужден будет каждый раз уводить ладью с этой диагонали. Так как поле h8 принадлежит диагонали а1-h8, на него сумеет поставить ладью именно второй игрок. Вывод: 1. Есть проигрышные и выигрышные ситуации. В 4 задаче, изменив начало задачи «а1» на «а2», мы получим выигрышную ситуацию для первого игрока. 2. Наиболее часто при решении подобного рода задач применяются следующие основные идеи: а). Соответствие (наличие) удачного ответного хода, который обеспечивается или симметрией (задача №3), или разбиением на пары или дополнением до определённого числа (задача № 2); б). Решение с конца (задача №1).



Дополнительный материал.

1). ИГРА В ДЕСЯТЬ. По очереди играют двое. Начинающий игру называет 1 или 2. Его товарищ прибавляет в уме к исходному числу 1 или 2 и сообщает сумму партнёру. Последний также увеличивает её на 1 или 2 и называет свой результат. Так игра продолжается, и побеждает тот, кто скажет число 10. Чтобы выиграть, тебе нужно начать игру и независимо от ответов партнёра называть числа 1, 4, 7. Когда произнесено число 7, противнику приходится назвать 8 или 9. Ты говоришь: "Десять!" – и побеждаешь. В другом варианте этой игры тот, кто скажет: "Десять", – проигрывает. Чтобы всегда выигрывать, здесь предложи товарищу начать игру. Как бы он ни играл, ты должен называть числа 3, 6, 9. Тут товарищу придётся сказать: "Десять". И снова ты победитель.

2). ИГРА В ПЯТНАДЦАТЬ. Массовики-затейники часто играют с желающими не в "Десять", а в "Пятнадцать", причём прибавляют также не больше двух. В первом варианте игры (сказавший 15 побеждает) предложи товарищу начать и называй числа 3, 6, 9, 12, 15. Во втором варианте игры (сказавший 15 проигрывает) первое число должно быть твоё. Ты называешь числа 2, 5, 8, 11, 14.

3). ИГРА В СТО. Играют в эту игру и до 100 (сказавший 100 выигрывает). Здесь первое число должно быть от 1 до 10, затем игроки по очереди прибавляют к предыдущему числу от 1 до 10. Чтобы победить, надо начать игру и называть 1, 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89, 100.Конечно, можно запомнить все "выигрышные" числа в этих играх, но лучше установи закономерность, чтобы успешно играть не только в "Десять", "Пятнадцать" и "Сто", но и в другие варианты игры до любого числа, набавляя иные числа. Это пригодится тебе при решении заданий из тетради гнома Загадалки. Играй и побеждай!

4). В следующих играх тот, кто скажет последнее число, выигрывает. Ты начинаешь. Какое первое число ты назовёшь, чтобы победить, если:

1. Вы с приятелем играете в "Десять", набавляете от 1 до 3?

2. Играете в "Десять", набавляете от 1 до 5?

3. Играете в "Десять", набавляете от 1 до 6?

4. Вы с другом играете в "Пятнадцать", набавляете от 1 до 3?

5. Играете в "Пятнадцать", набавляете от 1 до 5?

6. Играете в "Пятнадцать", набавляете от 1 до 6?

7. Играете в "Пятнадцать", набавляете от 1 до 7?

8. Играете в "Пятнадцать", набавляете от 1 до 8?

9. Вы с другом играете в "Сто", набавляете от 1 до 2?

10. Играете в "Сто", набавляете от 1 до 5?

11. Играете в "Сто", набавляете от 1 до 20?

12. Вы с товарищем играете в "Сто", набавляете от 1 до 30?

13. Играете в "Сто", набавляете от 1 до 40?

14. Играете в "Сто", набавляете от 1 до 50?

В следующих играх тот, кто скажет последнее число, проигрывает. Ты начинаешь. Какое первое число ты назовёшь, чтобы победить, если:

15. Вы с приятелем играете в "Десять", набавляете от 1 до 3?

16. Играете в "Десять", набавляете от 1 до 4?

17. Играете в "Десять", набавляете от 1 до 5?

18. Играете в "Десять", набавляете от 1 до 6?

19. Вы с другом играете в "Пятнадцать", набавляете от 1 до 3?

20. Играете в "Пятнадцать", набавляете от 1 до 4?

21. Играете в "Пятнадцать", набавляете от 1 до 5?

22. Играете в "Пятнадцать", набавляете от 1 до 7?

23. Играете в "Пятнадцать", набавляете от 1 до 8?

24. Вы с другом играете в "Сто", набавляете от 1 до 3?

25. Играете в "Сто", набавляете от 1 до 4?

26. Играете в "Сто", набавляете от 1 до 5?

27. Играете в "Сто", набавляете от 1 до 20?

28. Вы с товарищем играете в "Сто", набавляете от 1 до 30?

29. Играете в "Сто", набавляете от 1 до 40?

30. Играете в "Сто", набавляете от 1 до 50?

Представь, что игру начинает твой товарищ и своим ходом в исходном положении 1 3 5 берёт:

31. Единственный фантик из первого ряда: 3 5. Сколько фантиков и из какого ряда сейчас надо взять, чтобы победить?

32. 3 фантика из второго ряда: 1 5. Как выиграть?

33. 2 фантика из второго ряда: 1 1 5. Как сыграть теперь?

34. 1 фантик из второго ряда: 1 2 5. Сколько фантиков из какого ряда ты возьмёшь?

35. Все 5 фантиков из третьего ряда: 1 3. Как победить?

36. 4 фантика из третьего ряда: 1 3 1. Как сыграть?

37. 3 фантика из третьего ряда: 1 3 2. Можно ли тебе избежать поражения?

38. 2 фантика из третьего ряда: 1 3 3. Что делать?

39. 1 фантик из третьего ряда: 1 3 4. Каков твой ответ?

Итак, проанализировав игры в шесть и девять фантиков, мы установили 4 важных расположения, к которым должны стремиться. В них очередь хода за противником, но он неизбежно проигрывает. Запомни их! N1: 2 2. N2: 3 3. N3: 1 1 1. N4: 1 2 3.

Чтобы побеждать в этих играх, нельзя забывать: если остался всего один ряд с числом фантиков не менее двух, то своим ходом тебе надо забрать все фантики, кроме одного. А если осталось 2 ряда, в первом из которых находится 1 фантик, а во втором – любое количество фантиков, то нужно взять все фантики из второго ряда. Всё это пригодится тебе в следующей игре.

ИГРА В ШЕСТНАДЦАТЬ ФАНТИКОВ. Мы постепенно подвели тебя к одной из самых интересных игр на свете, которую иногда называют "Мариенбад". Здесь фантики расположены в 4 ряда. В первом ряду – 1 фантик, во втором – 3, в третьем – 5, в четвёртом – 7.

I

I I I



I I I I I

I I I I I I I

Это расположение можно записать так: 1 3 5 7. Условия игры такие же, как и в предыдущих играх.

Проанализировать все варианты игры "Мариенбад" гораздо сложнее, чем для случаев с меньших числом фантиков. Кроме положений: N1 – N4 своим ходом надо создавать ещё и такие: N5: 4 4, N6: 5 5 (эти 2 положения сводятся к: 2 2), N7: 1 4 5, N8: 2 4 6, N9: 2 5 7, N10: 3 4 7, N11: 3 5 6, N12: 1 1 х х (где х>1), N13: 1 2 4 7, N14: 1 2 5 6, N15: 1 3 4 6. И наконец N16: 1 3 5 7. То есть в "Мариенбаде"тот, кто начинает, проигрывает!

Итак, если ты хочешь наверняка победить в этой игре, начать её должен твой товарищ. Чтобы быстро не проиграть, ему лучше всего взять один фантик из любого ряда. Теперь у тебя 3 равноценных ответа: надо взять один фантик в любом из трёх остальных рядов, получив расположения N9 – N11 или N13 – N15. Затем партнёр возьмёт фантик в одном из двух рядов, из которых фантики ещё не брали. А ты выберешь фантик из последнего такого ряда, и получится положение N8. Далее в зависимости от хода партнёра ты создашь расположения N1, N4, N5 или N7 и быстро выиграешь. Всё это не так-то уж и трудно. Приобретя игровой опыт, ты убедишься: достаточно помнить 4 важных положения: N4, N7, N8 и N12, чтобы быстро находить лучший ход.

Представь, что игру начинает твой товарищ и своим ходом в исходном положении 1 3 5 7 берёт:

40. 2 фантика из второго ряда: 1 1 5 7. Сколько фантиков и из какого ряда сейчас надо взять, чтобы победить?

41. 3 фантика из второго ряда: 1 5 7. Как выиграть?

42. 2 фантика из третьего ряда: 1 3 3 7. Как сыграть теперь?

43. 3 фантика из третьего ряда: 1 3 2 7. Сколько фантиков из какого ряда ты возьмёшь?

44. 4 фантика из третьего ряда: 1 3 1 7. Как победить?

45. Все 5 фантиков из третьего ряда: 1 3 7. Как сыграть?

46. 2 фантика из четвёртого ряда: 1 3 5 5. Твой ход?

47. 3 фантика из четвёртого: 1 3 5 4. Что делать?

48. 4 фантика из четвёртого: 1 3 5 3. Каков твой ответ?

49. 5 фантиков из четвёртого: 1 3 5 2. Как сыграть?

50. 6 фантиков из четвёртого: 1 3 5 1. Что делать?

51. Все 7 фантиков из четвёртого: 1 3 5. Каков твой ответ?

Ответ. 1. 2. 2. 4. 3-5. 3. 6. 1. 7. 7. 8. 6. 9. 1. 10. 4. 11. 16. 12. 7. 13. 18. 14. 49. 15. 1. 16. 4. 17. 3. 18-19. 2. 20. 4. 21. 2. 22. 6. 23. 5. 24. 3. 25. 4. 26. 3. 27. 15. 28. 6. 29. 17. 30. 48. 31. 2 из последнего ряда. 32. Взять все 5 фантиков из последнего ряда. 33. Забрать 4 из третьего ряда. 34. 2 из третьего. 35. Взять все 3 из второго ряда. 36. Забрать 2 из второго ряда. 37. Нет. 38. Взять 1 фантик из любого ряда. 39. Забрать 2 из третьего ряда. 40. 2 из четвёртого ряда. 41. Взять 3 фантика из последнего ряда. 42. Забрать 6 из четвёртого ряда. 43. Все 7 из четвёртого. 44. Взять 4 из четвёртого ряда. 45. Забрать 5 из последнего ряда. 46. Взять 2 из второго ряда. 47. Взять все 3 фантика из второго ряда. 48. Взять 4 из третьего ряда. 49. Взять все 5 фантиков из третьего ряда. 50. Взять 2 из третьего ряда. 51. Взять 3 из третьего ряда.

1   2   3   4   5   6


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница