«Вводное занятие»



страница4/6
Дата22.04.2016
Размер0.86 Mb.
1   2   3   4   5   6

Урок № 17. Тема: «Задачи, решаемые с конца»

Цель: Обучение учащихся решению текстовых задач с конца.

1. Разминка. 1. Отцу и сыну вместе 65 лет. Сын родился, когда отцу было 25 лет. Какого возраста отец и сын? Решение: так как сын родился тогда, когда отцу было 25 лет, то разница в их возрасте будет 25 лет. Тогда 65-25=40(лет) – будет удвоенный возраст сына, а значит, сыну будет 20 лет, а отцу 45.

2). Одну овцу лев съел за 2 дня, волк за 3 дня, собака за 6 дней. За сколько дней они вместе съедят овцу? Решение. 1.Так как лев съел овцу за 2 дня, то за 1 день он съел ½ овцы.2. Так как лев съел овцу за 3 дня, о за 1 день он съел 1/3 овцы.3. Так как собака съела овцу за 6 дней, то за 1 день она съела 1/6 овцы. 4. Вместе лев, волк и собака за 1 день съедят ½+1/3+1/6=1, то есть 1 овцу.



2. Ввести понятие текстовой, сюжетной задачи и перейти к решению следующей задачи, которая может вызвать проблемы. 1.Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый мальчик даёт другим столько яблок, сколько каждый их них имеет. Затем второй мальчик даёт двум другим столько яблок, сколько каждый из них теперь имеет; в свою очередь и третий даёт каждому из двух других столько, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков, оказывается, по 8 яблок. Сколько яблок было у каждого мальчика вначале? Решение. Решаем задачу с конца с помощью таблицы.

Номер мальчика

1

2

3

Число яблок в конце

8

8

8

Число яблок до передачи их третьим мальчиком

8:2=4

8:2=4

8+4+4=16

Число яблок до передачи их вторым мальчиком

4:2=2

4+2+8=14

16:2=8

Число яблок первоначально

2+4+7=13

14:2=7

8:2=4

Таким образом, первоначально яблок у первого, второго и третьего мальчиков было соответственно 13, 7 и 4.

2). Группа туристов отправилась в поход. В первый день они прошли 1/3 пути, во второй – 1/3 остатка, в третий – 1/3 нового остатка. В результате им осталось пройти 32 км. Сколько километров был маршрут туристов? Решение. Решаем задачу с конца. Так как осталось 32 км, а в третий день туристы прошли остаток, то 32 км будут составлять последнего 2/3 остатка, тогда сам последний остаток будет равен 32:2/3=48(км). Эти 48км будут составлять 2/3 длины маршрута, оставшегося пройти после первого дня. Тогда весь маршрут, который осталось пройти, будет равен 48:2/3=72(км). Эти 72км составляют вновь 2/3, но уже всего маршрута туристов, а значит, весь маршрут будет равен 72:2/3=108(км).



3. Решение текстовых задач требует внимательного чтения условия задачи. Решим несколько задач устно.

1). Английский офицер, вернувшийся из Китая, заснул в церкви во время службы. Ему снилось, что к нему приближается палач, чтобы отрубить ему голову, и в тот самый момент, когда сабля опускалась на шею несчастного, его жена, желая разбудить заснувшего, слегка дотронулась до его шеи веером. Потрясение было столь велико, что офицер тут же умер. В этой истории, рассказанной вдовой офицера, что-то неладно. Что же именно? Решение. Если офицер умер во время сна, то, как его жена узнала, что ему снилось?

2). Петя решил купить Маше мороженое, но для его покупки ему не хватало 3 рублей, а Маше всего лишь 1 рубля. Тогда они решили сложить свои деньги, но опять не хватило 1 рубля на покупку даже одного мороженого. Сколько стоила порция мороженого? Решение. Мороженное стоило 3 рубля, а у Пети не было ни рубля.
Урок № 19. Тема: «Решение задач «Кенгуру»»

Цель: Подготовка к игре «Кенгуру»; выработка навыков решения задач «Кенгуру» на классификацию элементов.

1. Конкурс «А ну-ка, математики!». Критерии: побеждает тот, кто быстрее и больше решит заданий верно за 30 минут. Обязательно обсудить варианты ответов.



1. Сколько квадратиков ты видишь на картинке?

А) 1 В) 2 С) 4 D) 6 E) 8

6. Сколько треугольников изображено на рисунке?

А)12, В) 6, С)14, D)20, Е)18

2. Сколько прямоугольников изображено на рисунке?

А) 3 В) 4 С) 5 D) 6 E) 7

7. Сколько квадратиков изображено на рисунке?

А)20, В) 34, С)35, D)36, Е)37

3. Сколько квадратиков Вы видите на картинке?



А) 25 В) 14 С) 19 D) 27 E) 23

8. На левом рисунке можно увидеть больше квадратиков, чем на правом. На сколько?

А)10, В) 11, С)12, D)13, Е)14

4. Сколько треугольников изображено на рисунке?

А) 6 В) 10 С) 12 D) 14 E) 16


9. На изображенной решетке расстояние между соседними точками по вертикали и горизонтали равно 1 см. Сколько существует отрезков длины 5 с концами в точках решетки?А)10, В) 12, С)24, D)34, Е)36

5. Сколько отрезков с отмеченными концами можно найти на этом рисунке?

А)5, В)7, С)9, D) 13, Е)18

Ответ: 1)D, 2)D, 3)D, 4)E, 5)D, 6)D, 7)D, 8)D, 9)Е



Урок № 20. Тема: «Решение задач «Кенгуру»»

Цель: Подготовка к игре «Кенгуру»; выработка навыков решения задач «Кенгуру» на классификацию элементов; развитие у школьников логического мышления, интеллектуальных способностей.

1. Разминка. Решение заданий на конструкцию фигур.

1). Из узких палочек собраны 4 конструкции. Некоторые из них оказались прочными – они не рассыпаются, если их поднять, взяв за любую из палочек. Сколько таких прочных конструкций изображено на рисунке?

А) В) С) D)



3). Три одинаковых игральных кубика уложены так, как показано на рисунке. Соседние кубики приложены друг к другу одинаковыми гранями. Сколько точек на самой нижней грани?



2). У Даши есть три фигурки из картона – светлые с одной стороны и темные с другой. Какой из прямоугольников Даша не сможет сложить из этих фигурок?



4). В автомобильных гонках участвовали три машины. Они стартовали в таком порядке: Я, Ф, К, то есть сначала «Ягуар», потом «Феррари», потом «Кенгуру». На дистанции «Ягуар» обогнали 3 раза, «Феррари» – 5 раз, а «Кенгуру» – 8 раз. В каком порядке машины пришли к финишу?

Ответы: 1). С, 2). D, 3). 1, 4). Ягуар, Феррари, Кенгуру.

2. Решение задач на конструкции и логику.

1). Мы можем сложить квадрат, используя четыре из пяти изображенных фигурок. Какая фигурка останется лишней?




4). За один ход разрешается переложить один шарик на соседнее поле, если оно свободно. Чему равно самое маленькое число ходов, с помощью которых можно перейти от позиции I к позиции II?



2). Тело, изображенное на рисунке, составлено из кубиков с ребром 1. Если сложить вместе несколько таких тел, то не может получиться куб с размерами



5). Чтобы очистить аквариумы от лишних водорослей, Джон запускает туда улиток. Для очистки одного аквариума нужно или 4 крупных улитки, или 1 крупную и 5 мелких улиток, или 3 крупных и 3 мелких улитки. У Джона есть 15 крупных улиток, но в зоомагазине можно поменять любую крупную улитку на две мелких. Чему равно самое маленькое число крупных улиток, которых ему придется поменять на мелких, если он хочет очистить четыре аквариума?

3). Десять одинаковых монет выложили на стол, как показано на рисунке. Потом несколько монет убрали. Оказалось, что центры никаких трех оставшихся монет не являются вершинами равностороннего треугольника. Какое наименьшее число монет могли убрать?



6). На рисунке в виде отрезков изображен рост пяти мальчиков. Какое из следующих утверждений неверно?

А
) Витя – самый высокий, В) Алик и Коля одинакового роста, С) Алик выше Пети, D) Вася самый маленький, Е) Петя ниже всех остальных.



Ответы: 1)В 2). 9х9х9, 3). 4, 4). 6 ходов, 5). 5, 6). D.
Урок № 23 Тема: «Региональная олимпиада»

Цель: решение олимпиадных заданий второго тура, обучение учащихся при решении задач вырабатывать собственный метод решения.

1. Решение заданий по выбору с обязательным обсуждением в классе.

Задачи, оцениваемые в 2 балла



1. Сколько раз к наибольшему однозначному числу надо прибавить наибольшее двузначное число, чтобы получить наибольшее трехзначное?

А) 2

Б) 4

В) 7

Г) 10

Д) 12

2. На прямой отмечены точки К, Е, С так, что СЕ = 6 см, КЕ = 4 см. Определите длину отрезка КС.

А) 20 мм или 50 мм

Б) 100 мм или 10 мм

В) 50 мм или 10 мм

Г)20 мм или 100 мм

Д)120 мм или 80 мм

3. Выберите верное утверждение.

А) При делении числа на себя получается само число

Б) Остаток при делении с остатком всегда меньше делителя

В)

Г) От перемены мест сомножителей произведение изменяется

Д) сумму а + а + а называют кубом а и обозначают

4. Какое из представленных выражений величины d из формулы а = (d + 8) : 5 является верным?

А) d = a : 5 - 8

Б) d = 5a + 8

В) d = 5a : 8

Г) d = 8 – 5a

Д) d = 5a - 8

5. В магазине 1 кг огурцов стоит а рублей, 1 кг помидоров стоит 30 рублей. Купили 2 кг огурцов и 3 кг помидоров. Сколько стоит вся покупка?

А) 3а + 60

Б) 2а + 90

В) 5(а + 30)

Г) 180а

Д) (а + 30): 5

6. Из сливочного масла получается 76% топленого. Сколько топленого масла получится из 8,5 кг сливочного?

А) 0,646 кг

Б) 64,6 кг

В) 646 кг

Г) 6,46 кг

Д) 6 кг

7. Сколько потребуется краски, чтобы покрасить поверхность бруса, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 8 дм, 6 дм, 2 дм, если на 1 дм2 приходится 2 г краски?

А)304 г

Б) 76 г

В) 608 г

Г) 38 г

Д) 6 г

8. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке.

А
80
) 500


Б) 2800

В) 540

120 Г) 10000

Д
100

120
) 20000


9. Выберите верное равенство:

А) а – b – c =

a – (b - c)

Б) a – (b + c) =

a – b +c

B) (a + b) – c =

a + c - b

Г) a – b + c = (a + c) - b

Д)a– b = - b - a

10. Победителей школьной олимпиады по математике, посвященной великому немецкому математику Леонарду Эйлеру, выстроили в ряд на сцене. Директор школы, поздравляя их, заметил, что пятым справа стоял Коля, набравший при выполнении заданий наибольшее количество баллов. Учитель математики же обратил внимание на то, что Коля стоял девятым слева. Сколько всего участников олимпиады стояло на сцене?

А) 9

Б) 10

В) 11

Г) 12

Д) 13

Задачи, оцениваемые в 3 балла

11. Сколько квадратов изображено на рисунке?



А) 14

Б) 13










В) 9

Г) 10










Д) 16










12. На прямой линии посажено 10 кустов так, что расстояние между любыми соседними кустами одно и то же. Определите это расстояние, если расстояние между крайними кустами 90 дм.

А) 18 дм

Б) 5 дм

В) 10 дм

Г) 20 дм

Д) 14 дм

13. Ваня задумал число, прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 9, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил 2. Какое число задумал Ваня?

А) 22 Б) 58 В) 36 Г) 40 Д) 44

14. Сколько существует двухзначных чисел, у которых цифра десятков больше цифры единиц?



А) 10

Б) 13

В) 27

Г) 34

Д) 45

15. Какое наименьшее число разрезов нужно сделать, чтобы разрезать куб с ребром 3 см на 27 единичных кубиков?

А) 6

Б) 4

В) 8

Г) 10

Д) 27

16. Продавец получил для продажи несколько пачек конвертов по 100 конвертов в каждой. 10 конвертов он отсчитывает за 10 секунд. За какое наименьшее количество времени сообразительный продавец может отсчитать 90 конвертов?

А) 90

Б) 10

В )45

Г) 30

Д) 60

17. Четыре человека обменялись рукопожатиями. Сколько всего было рукопожатий?

А)16

Б)4

В) 6

Г) 8

Д) 12

18. Четыре брата Юра, Петя, Вова, Коля учатся в 1, 2, 3, 4 классах. Петя – отличник, младшие братья стараются брать с него пример. Вова учится в 4 классе. Юра помогает решать задачи брату. Кто из них в каком классе учится?

А) Вова – в 4 классе, Юра – в 3 классе, Петя – во 2 классе, Коля – в 1 классе

Б) Вова – в 4 классе, Коля – в 3 классе, Юра – во 2 классе, Петя – в 1 классе

В) Вова – в 4 классе, Юра – в 3 классе, Коля – во 2 классе, Петя – в 1 классе

Г) Вова – в 4 классе, Петя – в 3 классе, Коля – во 2 классе, Юра – в 1 классе

Д) Вова – в 4 классе, Петя – в 3 классе, Юра – во 2 классе, Коля – в 1 классе

19. Винни-Пуху подарили на день рождения бочонок с медом массой 7 кг. Когда Винни-Пух съел половину меда, то бочонок с оставшимся медом стал иметь массу 4 кг. Сколько кг меда было первоначально в бочонке?

А)4

Б)4,5

В) 6

Г) 5

Д) 5,7

20. Дочери в настоящее время 8 лет, а матери 38 лет. Через сколько лет мать будет втрое старше дочери?

А) через 7 лет

Б) через 8 лет

В) через 10 лет

Г) через 5 лет

Д) через 11 лет

Задачи, оцениваемые в 5 баллов.

21. Говорил дед внукам: "Вот вам 130 орехов, разделите их на 2 части, так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза". Внуки разделили орехи, как просил их дедушка. Сколько орехов оказалось в большей отделенной ими части?

22. На школьной математической викторине 5 классов, посвященной Леонарду Эйлеру учащимся была представлена следующая задача: "Крестьянин попросил у царя взять одно яблоко из его сада. Царь разрешил. Пошел крестьянин к саду и видит: весь сад огорожен тройным забором, причем каждый забор имеет одни ворота, вход в которые охраняет сторож. Подошел крестьянин к первому сторожу и говорит: "Царь разрешил мне взять одно яблоко из сада". На что сторож ему ответил: "Возьми, но при выходе отдашь мне половину тех яблок, что возьмешь и еще одно". Эти же слова повторили крестьянину 2 и 3 сторожа, охранявшие другие ворота. Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы после того, как он отдаст положенную часть 3 сторожам, у него осталось одно яблоко?".

23. На скотном дворе гуляли гуси и поросята. Мальчик сосчитал количество голов, их оказалось 30; а затем он сосчитал количество ног, их оказалось 84. Сколько гусей было на скотном дворе?

24. Сколько нулей стоит в конце произведения всех натуральных чисел от 10 до 25?

25. У всех 25 учеников на родительское собрание пришли папы и мамы. Мам было 20, а пап – 10. Сколько учеников могли похвастаться на следующий день перед одноклассниками, что на родительском собрании были оба их родителя?

26. Сколько всего имеется пятизначных чисел, сумма цифр в которых равняется трем? Причем в записи каждого числа цифра 1 может встречаться не более одного раза.

27. Деревянный куб с ребром 4 см распилили на кубические сантиметры. Сколько среди них оказалось кубиков, окрашенных с трех сторон?

28. По контракту Гансу причиталось по 48 тугриков за каждый отработанный день, а за каждый прогул с него взыскивалось 12 тугриков. Через 30 дней Ганс узнал, что ему ничего не причитается и он ничего не должен. Сколько дней он работал?

29. Над озерами летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и еще половина гуся, остальные летели дальше. Все сели на семи озерах. Сколько всего было гусей?

30. Весы пришли в равновесие, когда на одну чашу поставили гири по 2 кг, а на другую – по 5 кг, всего 14 гирь. Сколько двухкилограммовых гирь поставили на весы?
Урок № 24. Тема: «Обучение элементам теории графов»

Цель: Обучение учащихся построению различных графов по условию задачи.

1. Разминка.

1). Нарисуйте фигуры одним росчерком пера(не отрывая карандаша от бумаги и не проводя 2 раза по одной и той же линии).

а) б)
Ответ: а) возможно. б) невозможно.

2). Почтальон Печкин разнёс почту во все дома в деревне, после чего зашёл к Дяде Федору. Ни по одной тропинке он не проходил дважды. Каков мог быть его маршрут? В каком доме живёт Дядя Фёдор?



2 ▲ 3 ▲ ▲ 4

п ▲

1▲ ▲ 5


▲ 7 ▲ 6

3). В санатории готовят обеды на заказ: 1 блюдо- окрошка, борщ, фасолевый суп; 2 блюдо – голубцы, блины, рыба; 3 блюдо – клюквенный, апельсиновый, шиповниковый сок. Сколько различных обедов можно получить в санатории? Ответ: 27 обедов.

4). Встретились 3 друга: Борисов, Иванов, Петров. Они работают на одном заводе. Один из них токарь, другой – слесарь, третий – сварщик. Петров старше слесаря. Он женат на сестре Борисова. Самый младший из друзей – сварщик, у него нет ни братьев, ни сестёр. Каковы фамилии слесаря, токаря, сварщика? Ответов: Борисов - слесарь, Иванов – сварщик, Петров – токарь.

2. Беседа учителя. Решены три различных задачи, решение которых связано с фигурами, которые образованны линиями, соединяющими точки (узлы). Такие фигуры называют графами, точки – вершинами графа, а соединяющие их линии – рёбрами графа. Теория графов помогает решать многие задачи. 1 задача – одним росчерком пера. 2 задача – нахождение оптимального маршрута. Интересно, что начало решения таких задач, положила проблема, которую называют задачей о кенигсбергских мостах. По приданию эту задачу решил Эйлер. 3 задача – построение дерева возможных вариантов или леса. Подобные задачи часто встречаются в таких разделах математики, как «логика», «комбинаторика», «теория вероятностей». 4 задача – установление соответствия между множествами. Соответствующие элементы соединены одним цветом, а несоответствующие другим цветом.

3. Решение задач.

1). Старый гном разложил свои сокровища в три сундука, стоящие у стены. 1-драгоценные камни, 2-золотые монеты, 3-магические книги. Красный сундук правее, чем сундук с драгоценными камнями, а сундук с магическими книгами правее красного сундука. В каком сундуке лежат магические книги, если зелёный сундук стоит левее синего.

Решение: камни золото книги

зелёный красный синий

Ответ: книги лежат в синем сундуке.

2). Три подруги были в белом, красном и голублм платьях. Их туфли были тех же цветов. Цвета платья и туфель совпали только у Тамары. Валя была в белых туфлях. Ни платье, ни туфли Лиды не были красными. Определите цвет платья и туфель каждой из подруг.

Решение: множество платьев множество туфель

Б К Г Г К Б

Т В Л


множество подруг

Ответ: туфли платья

Тамара кр. кр.

Лида гол. бел.

Валя бел. гол.

3). Андрей, Борис, Володя, Даша и Галя договорились созвониться по телефону о посещении кино. Вечером у кинотеатра собрались не все. На следующий день стали выяснять, кто кому звонил. Оказалось, что: Андрей звонил Борису и Володе, Володя – Борису и Даше, Борис – Андрею и Даше, Даша – Андрею и Володе, Галя – Андрею, Володе и Борису. Кто не пришёл в кино, если они условились, что поход в кино состоится только в том случае, если созвонятся все?

Решение: Б В

А Г


Д

Ответ: Даша и Галя не созвонились и в кино не пришли.


Урок № 25. Тема: «Решение логических задач с помощью графов»

Цель: Решение логических задач построением различных графов.

1. Разминка.

1). Зайцы пилят бревно. Они сделали 10 распилов. Сколько получилось чурбачков? Ответ: 10 чурбачков.

2). Зайцы распилили несколько бревен. Они сделали 10 распилов и получили 16 чурбачков. Сколько бревен они распилили? Ответ: 6 бревен.

3). Чем объяснить, что в задачах 1) и 2) ответы разные?

4). Зайцы пилят бревно, но теперь уже оба конца бревна закреплены. Десять средних чурбачков упали, а два крайних так и остались закреплёнными. Сколько распилов сделали зайцы? Ответ: 11 распилов.

2. Математическая регата. Учащиеся разбиваются на четыре группы. Получают задачи первого тура.

1). На день рождения учительнице принесли букет цветов. Ребята высказывали различные предположения: цветы принесли Андрей и Борис, Андрей и Даша, Андрей и Сергей, Борис и Даша, Борис и Володя, Володя и Галя, Галя и Даша. Учительница сказала, что в одном из предположений одно имя названо, верно, а другое неверно. Во всех остальных предположениях оба имени названы неверно. Кто принёс цветы?

Решение: А С Правильное имя должно

соответствовать концу отрезка,

Б Д который проведён в точку, не яв-

ляющуюся общей точкой двух и

Г большего числа отрезков.

В

Ответ: Сергей.



2). На столе в парикмахерской лежат журналы. Каждый клиент посмотрел два журнала. Каждый журнал просмотрели три человека. Для каждой пары журналов имеется только один человек, который их просмотрел. Сколько было журналов и сколько клиентов находилось в парикмахерской?

Решение: Обозначим журналы точками. В графе в виде четырёхугольника выполняются все условия задачи.



Ответ: 4 журнала, 6 клиентов.

Задачи второго тура. 1). На соревнования приехала группа спортсменов. Они рассказали, что каждый из них посещает две секции и что в каждой секции по 5 человек, причём каждые две секции имеют одного общего представителя. Сколько было спортсменов, и какое количество секций они посещали? Решение: n-количество секций.

а) пусть n=3 б) n=4 в) n=5 г) n=6





В каждой секции:

а) по 2 человека, б) по 3 человека, в) по 4 человека, г) по 5 человек

Указания к г)

Количество секций-6. Число спортсменов равно сумме сторон n=6, и числа диагоналей

n(n-3)

=

n(n-3)

=9,

2

2

9+6=15. Ответ: 15.

2). Пять экипажей из пяти городов приехали в Ноябрьск для участия в финале окружного ралли на автомобилях. "Откуда вы, ребята?" - спросили организаторы соревнования командиров экипажей. Вот что они ответили. Андреев: "Я из Ноябрьска, а Григорьев живет в Салехарде". Борисов: "В Салехарде живет Васильев, а я прибыл из Муравленко". Васильев: "Из Ноябрьска прибыл я, а Борисов - из Губкинского". Григорьев: "Я прибыл из Салехарда, а Данилов - из Нового Уренгоя".



Данилов: "Да, я действительно из Нового Уренгоя, Андреев живет в Муравленко". Когда организаторы соревнования удивились противоречивости их ответов, ребята объяснили: "каждый высказал одно утверждение правильное, а другое - ложное".Установите, откуда мы приехали?"

Решение. Для решения применим графы:

Так как к Новому Уренгою идет только одна стрелка, то Данилов из Нового Уренгоя, тогда Андреев не живет в Муравленко, он из Ноябрьска. Значит, Григорьев не из Салехарда, поэтому в Салехарде живет Васильев, а Борисов не прибыл из Муравленко, следовательно, Борисов из Губкинского. Остается, что Григорьев из Муравленко. Ответ: Данилов из Нового Уренгоя; Андреев из Ноябрьска; Васильев из Салехарда; Борисов из Губкинского; Григорьев из Муравленко.


Урок № 26. Тема: «Старинные задачи на дроби»

Цель: решение интересных задач на дроби, знакомство с историей математики.

  1. Решение задач по теме.

1). Из папируса Ахмеса (Египет, около 2000 лет до н. э.) Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают: Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада? Пастух отвечает: Я привожу две трети от трети скота. Сочти, сколько быков в стаде? Решение:

70




































1. 70+35 = 105(быков) – 1/3 стада. 2. 105*3=315 9быков) в стаде.

2). (Китай, II в. н.э.) Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7дней.Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся? Ответ: Через 3 дня на четвёртый.

3). (Древняя Греция, Герон Александрийский, 1в. до н.э.) Бассейн может заполняться через четыре фонтана. Если открыть только первый фонтан, бассейн наполнится за день, только второй – за два дня, только третий – за три дня, только четвёртый – за четыре дня. За какое время наполнится бассейн, если открыть все четыре фонтана? Ответ: бассейн заполняется за 12/25 дня всеми фонтанами.

4). (Из Акминского папируса, \/| век) Некто взял из сокровищницы 1/13. Из того, что осталось, другой взял 1/17. Оставил же в сокровищнице 192. Мы хотим узнать, сколько было в сокровищнице первоначально. Решение:



1/13

1/17

192










  1. 192 это 16/17, значит 193:16*17=204 204 это 12/13 всех сокровищ, значит 204:12*13=221.

Ответ: 221.

2. Из истории математики. Среди выдающихся представителей науки и культуры почётное место принадлежит русскому педагогу-математику, преподавателю Навигацкой школы, автору знаменитой «Арифметики», первого печатного русского курса математики и кораблестроения Леонтию Филипповичу Магницкому. Его прогрессивная деятельность развернулась в течение первых четырёх десятилетий Х\/III в. Жизнь и деятельность Л.Ф. Магницкого неразрывно связана с Москвой, где он провёл почти всю свою жизнь, а также с Московской Навигацкой школой (учреждённой Петром I в 1701г.), в которой Леонтий Филиппович преподавал, заведовал учебной частью и, наконец, был её начальником, прослужив в школе 39 лет. До основания Академии Наук в 1726 г. «Арифметика» являлась единственным учебником по математике, предназначенным для учебных заведений и самообразования и широко использовавшимся для этих целей в течение полувека. Сведения по арифметике, геометрии, метрологии и особенно по отдельным элементам алгебры, тригонометрии, астрономии и навигации появились впервые. В «Арифметике» был отдел, посвящённый десятичным дробям.

3. Задачи из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. (Х\/III в.)

1). Лошадь съедает воз сена за месяц, коза – за два месяца, овца – за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?

Решение: за 6 месяцев – лошадь – 6 возов

- коза - 3 воза 11 возов сена

- овца - 2 воза

Ответ: 6/11 воза сена за месяц (решение Магницкого).

2). Некий человек на вопрос, сколько он имеет денег, ответил «А ще придается денькам толико же, елико имам, и полтолика, и ¾, и 2/3, и убавится из всего 50 рублёв, и тогда будет у меня 100 рублёв, и ведательно есть, колико той человек имяще денег».

Ответ: 38 14/47 руб.


Урок № 27. Тема: «Аликвотные дроби»

Цель: Расширить знания учащихся об обыкновенных дробях, дать понятие об аликвотных дробях, показать применение при решении различных задач.

1. Ещё в древности одним из важнейших достоинств человека считали владение математическими знаниями. В индии, например, только тот юноша считался подготовленным к жизни, кто овладел искусством решения задач, физических упражнений и стихосложения. Изучение математики осуществляется в основном в процессе решения задач. Решение задач выступает и как цель, и как средство обучения. « Если вы хотите научиться плавать, - пишет он, - то смело входит в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их». (Пойа Д.) В средние века, как и в древности, учение о дробях считалось самым трудным разделом математики. Римский оратор и писатель Цицерон говорил, что без знаний дробей никто не может признаться знающим арифметику. А у немцев сохранилась такая поговорка «Попасть в дроби», что означает попасть в трудное положение. У многих народов дроби называли ломаными числами. Это название пользуется и автор первого русского учебника по математике Л.Ф.Магницкий. Интересное и меткое «арифметическое» сравнение делал Л.Н.Толстой. Он говорил, что человек подобен дроби, числитель которой есть то, что человек представляет собой, а знаменатель – то, что он думает о себе.

Задание. 1. На листочках каждый запишет свою дробь.

2. На обратной стороне мнение о себе другого человека.

Сравнить мнение учащихся о себе и других ребятах. Чем больше знаменатель, тем меньше дробь. Сравнить результаты, сделать выводы. Математики Древнего Египта «настоящими» считали только дроби, выражающие какую-либо одну долю целого так называемые единичные или аликвотные дроби. Другие дробные числа они записывали не единым символом, а в виде суммы аликвотных дробей. Если, например, в результате измерения получалась дробь ¾, то ответ выражался суммой ½+1/4. Для упрощения практических расчётов составлялись специальные таблицы, содержащие представления некоторых дробных чисел в виде суммы аликвотных дробей. Одна из таких таблиц обнаружена в древней рукописи «Папирус Ахмеса», названный так в честь учёного, рукой которого она была написана. Вот так в расшифрованном виде выглядят некоторые содержащиеся в таблице записи:



2




1




1







2




1




1




1

11

=

6

+

66;







13

=

8

+

58

+

104;











































2




1




1

+

1







2




1




1

7

=

6

+

14

+

21;







99

=

66

+

198;

В том же «Папирусе Ахмеса» есть такая задача: разделить 7 хлебов между 8 людьми. По-египетски эта задача решалась так:

7




1




1




1

8

=

2

+

4

+

8

Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба.

2. Решение задач по теме.

1) Представьте число 1 в виде суммы аликвотных дробей. Запишите соответствующее равенство и проверьте его. Ответ:



1




1




1




1

6

=

3

+

2

+

6

2). Персидский крестьянин завещал трём своим сыновьям 17 верблюдов, причём 1 –1/2 часть всех верблюдов, 2 – 1/3 часть всех верблюдов, 3 – 1/9 часть всех верблюдов. Братья долго думали, но разделить наследство по завещанию отца так и не смогли. Мимо на верблюде ехал Ходжа Насредин. Он предложил присоединить к верблюдам ещё и своего верблюда и решить, таким образом, возникшую проблему. И, действительно, братья смогли разделить верблюдов так, как наказал отец, причём Ходжа Насредин получил своего верблюда обратно. Подумайте, как это могло случиться, и всё ли правильно в этой старинной истории. Решение:

1




1




1




17

<

1

2

+

3

+

9

=

18

Ответ: 1-9, 2-6, 3-2.

3). Персидский купец, отправляясь в далёкий путь, на всякий случай составил завещание, в котором половину своего богатства отдавал старшему сыну, треть – младшему, а одну шестую – дочери. Смогли бы они распределить наследство в точном соответствии с завещанием отца, если бы он не вернулся домой. Решение:



1




1




1




1

2

+

3

+

6

=

Ответ: да.

4).


1/2

1/8

1/32




1/64

1/16

1/4

Квадрат со стороной 1 разделили пополам и т.д. используя рисунок, докажите, что ½+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64<1. На сколько сумма аликвотных дробей, записанная в левой части, отличается от 1. Допустим, что сумма содержит 100 слагаемых. Будет ли равенство по-прежнему верным?

5).


1

=

1

+

1

+

1

2

3

6

Можно ли записать 1 в виде суммы других аликвотных дробей?

6) 3 яблока разделить между четырьмя людьми, не разрезая каждое на четыре части?

Ответ: ½+1/4=3/4

7)Рассмотрите равенства: ¾=1/2+1/4; 7/8=1/2+1/4+1/84 15/16=1/2+1/4+1/8+1/16 подметьте закономерность и «сконструируйте» следующее равенство: 31/32=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32. Проверьте себя, выполнив сложение.

8). Не выполняя сложения дробей, объясните, почему верно каждое неравенство. ¼+1/5+1/6+1/7>1/2; 1/8+1/9+1/10+…+1/15>1/2
Урок № 28.

Тема: «Принцип Дирихле»

Цель: Знакомство с задачами на доказательство, обучение учащихся поиску плана решения задач.

1. Беседа учителя. Принцип Дирихле.

Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы; но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий. В несерьёзной форме принцип Дирихле гласит: «Нельзя посадить 7 кроликов в 3 клетки, чтобы в каждой было не больше 2 кроликов». Более общая формулировка: «Если z зайцев сидят в k клетках, то найдётся клетка, в которой не менее z/k зайцев.» Не надо бояться дробного число зайцев, — если получается, что в ящике не меньше 7/3 зайцев, значит, их больше двух. Один математик сказал, что Дирихле по частоте упоминаний школьниками навсегда обеспечено одно из самых высших мест. И добавил: "Пожалуй, есть способ лишить его лидерства — назвать чьим-нибудь именем принцип «никакое чётное число не равно никакому нечётному»."

Доказательство принципа Дирихле очень простое, но заслуживает внимания, поскольку похожие рассуждения «от противного» часто встречаются. Допустим, что в каждой клетке число зайцев меньше, чем z/k. Тогда в k клетках зайцев меньше, чем k · z/k = z. Противоречие!

2. Решение задач по теме.

1). В школе 400 учеников. Докажите, что хотя бы двое из них родились в один день года.



Указание: 400 > 366.

2). В классе 40 учеников. Найдётся ли такой месяц в году, в котором отмечают свой день рождения не меньше чем 4 ученика этого класса? Решение. Рассуждаем от противного. Если бы такого месяца не нашлось, то в каждом из 12 месяцев день рождения отмечали бы не более трёх учеников. Значит, всего учеников было бы не более 12 · 36. Но 40 > 36. Противоречие. Ответ. Обязательно найдётся.

3). В классе 30 учеников. В диктанте Вова сделал 13 ошибок, остальные меньше. Докажите, что по крайней мере три ученика сделали ошибок поровну. Решение. Каждый из остальных 29 учеников сделал не более 12 ошибок. Разобьём их на 13 групп по числу сделанных ошибок (от 0 до 12). (В некоторых группах учеников может и не быть). Если бы в каждой группе оказалось не более двух учеников, то во всех группах вместе было бы не более 26 учеников, а их 29. Значит, хотя бы в одной группе учеников больше двух.

4). Из любых трёх целых чисел можно выбрать два, сумма которых чётна. Докажите это.



Решение. Все числа можно разбить на два класса: чётные и нечётные. Невозможно распределить три числа по двум классам так, чтобы ни в какой класс не попало более одного числа. Значит, среди любых трёх целых чисел найдутся два числа одинаковой чётности. Их сумма чётна.

5). Среди любых шести целых чисел найдутся два числа, разность которых кратна 5. Докажите это. Указание. Разбейте всё множество целых чисел на 5 классов: в один класс поместите числа ...–14, –9, –4, 1, 6, 11, 16, 21, 26, ..., дающие остаток 1 при делении на 5, в другой — числа ...–13, –8, –3, 2 7, 12, 17, 22, 27, ..., дающие остаток 2, в третий — числа, дающие остаток 3 при делении на 5, в четвёртый класс — числа, дающие остаток 4 при делении на 5, наконец, пятый (или, если угодно, нулевой) класс составьте из чисел, кратных числу 5.

6). Даны 12 различных двузначных чисел. Докажите, что из них можно выбрать два числа, разность которых — двузначное число, записываемое двумя одинаковыми цифрами. Указание. Двузначные числа, кратные 11 (и только они) записываются двумя одинаковыми цифрами. Решение. Рассмотрим остатки от деления данных чисел на 11. Поскольку разных остатков лишь 11 (0, 1, 2, ..., 9, 10), а чисел 12, то хотя бы два числа дают одинаковые остатки. Это означает, что разность этих чисел делится на 11. (Вообще говоря, нужно ещё доказать, что эта разность является двузначным числом, но это очевидно: среди однозначных чисел только 0 делится на 11, а разность двух различных чисел не может равняться нулю.)

7). Из любых ли ста целых чисел можно выбрать два числа, сумма которых кратна 7? Ответ. Не из любых. Решение. Возьмём, например, 100 целых чисел, каждое из которых даёт остаток 1 при делении на 7. Из них невозможно выбрать два числа, сумма которых кратна 7.

8). Каждый из 10 участников переговоров послал по их окончании поздравительные открытки пятерым другим участникам. Докажите, что какие-то двое послали открытки друг другу. Указание. Докажите сначала, что хотя бы один участник получил не менее пяти открыток. Решение. Всего было отправлено 50 открыток. Значит, существует участник, который получил не менее пяти открыток (если бы каждый получил не более четырёх, то всего было бы отправлено не более 40 открыток). Таким образом, он послал открытки пятерым участникам и получил открытки не менее чем от пяти участников. Поскольку, кроме него, имеется лишь 9 участников, то хотя бы один другой участник входит в обе пятёрки.

9). На шахматной доске нельзя разместить более 32 не бьющих друг друга коней. Докажите это.



Указание. Разбейте 64 клетки доски на 32 пары, так, чтобы клетки одной пары были связаны ходом коня. Решение. Рассмотрим следующее разбиение доски на 32 пары клеток:

Поскольку клетки одной пары связаны ходом коня, то не более чем на одной из них может стоять конь. Таким образом, не бьющих друг друга коней не может быть более 32.


Урок № 29. Тема: «Решение задач на применение принципа Дирихле»

Цель: Обучение учащихся поиску плана решения задач.

1. Разминка.

1). Что это: две головы, две руки, шесть ног, а идут или бегут только четыре?

2). Как-то в праздник один мой знакомый сказал мне: «Позавчера мне было 40 лет, а в будущем году исполнится 43 года. Могло ли такое быть?

3). Имеется два ведра – одно ёмкостью 4л, другое 9л. Можно ли набрать из реки ровно 6л воды?

Ответы: 1. Надо в один пустой мешок вложить другой и высыпать пшеницу.

2. Всадник на лошади. 3. Да, решение в таблице.





0

0

4

0

4

0

1

1

4



0

9

5

5

1

1

0

9

6

2. Решение задач по теме.

1). В классе 15 учеников. Докажите, что найдутся как минимум 2 ученика, отмечающих дни рождения в один месяц. Решение: Пусть 15 учеников будут «зайцы». Тогда «клетками» будут месяцы года, их 12. Так как 15>12, то, по принципу Дирихле, найдётся, как минимум, одна клетка, в которой будет сидеть, по крайней мере, 2 «зайца». То есть, найдётся месяц, в котором будут отмечать дни рождения не менее 2 учеников класса. А это и требовалось доказать. Также задача легко решается с использованием метода от противного.

2). Внутри равностороннего треугольника со стороной 1см расположено 5 точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0,5 см. Решение: Выберем сначала что-то за «зайцев». Т.к. в условии задачи фигурирует число5, то пусть 5 точек будут «зайцами». Т.к. «клеток» должно быть меньше, и чаще всего на 1, то их должно быть 4. Как получить эти 4 клетки? Т.к. в условии задачи есть ещё 2 числа: 1 и 0,5; причём второе меньше первого в 2 раза, то можно получить 4 «клетки», разбив равносторонний треугольник с помощью проведения отрезков, соединяющих середины сторон. Тогда получим 4 равносторонних треугольника со сторонами по 0,5 см, которые и будут у нас «клетками».


2

1 4 3


1   2   3   4   5   6


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница