«Вводное занятие»



страница2/6
Дата22.04.2016
Размер0.86 Mb.
1   2   3   4   5   6

2. Решение задач по теме. Инвариантом некоторого преобразования называется величина или свойство, не изменяющееся при этом преобразовании. В качестве инварианта чаще всего рассматриваются чётность (нечётность) и остаток от деления. Хотя встречаются и другие стандартные инварианты: перестановки, раскраски и т.п. Целое число a делится на целое число b, если существует такое целое число k, что a = kb.

1). а) К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15. Указание. Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 3. Значит, последней цифрой должна быть одна из цифр 0 и 5; осталось в каждом из этих двух случаев подобрать первую цифру так, чтобы сумма цифр числа делилась на 3.

б) К числу 10 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы получилось число, кратное 72. Указания. Число делится на 72 тогда и только тогда, когда оно делится на 9 и на 8.Число делится на 8 тогда и только тогда, когда его три последние цифры образуют число, делящееся на 8.   Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Ответ. 4104.

2). Некоторое число делится на 4 и на 6. Обязательно ли оно делится на 24? ОтветРешениеОтвет. Нет. Решение. Число 12 делится как на 4, так и на 6, но не делится на 24.

3). Найдите наибольшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого участвуют все 10 цифр по одному разу. ОтветРешениеОтвет. 9876543120. Решение. Число делится на 36 тогда и только тогда, когда оно делится на 9 и на 4. Сумма всех десяти цифр делится на 9, поэтому любое число, в записи которого участвуют все 10 цифр по одному разу, делится на 9. Самым большим таким числом является число 9876543210. Но оно не делится на 4, (число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на 4). Нужно добиться делимости на 4, минимально уменьшив при этом число. Очевидно, число 9876543120 делится на 4. Больше него только числа 9876543210 и 9876543201, которые на 4 не делятся.

4). На доске написано: 6457235. Замените звёздочку цифрой так, чтобы полученное число делилось на 3. ОтветОтвет. Звёздочку можно заменить одной из цифр 1, 4, 7.

5). Замените звёздочки в записи числа 723 цифрами так, чтобы число делилось без остатка на 45.

Указание ОтветУказание. Число делится на 45 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 9. Ответ. 72135 или 72630.

6). В стране Анчурии в обращении имеются купюры следующих достоинств: 1 анчур, 10 анчуров, 100 анчуров, 1000 анчуров. Можно ли отсчитать миллион анчуров так, чтобы получилось ровно полмиллиона купюр? Ответ. Нельзя. Указание. Числа 1, 10, 100, 1000, 1000000 дают остаток 1 при делении на 9. Решение. Номинал каждой купюры даёт остаток 1 при делении на 9. Значит, сумма денег, отсчитанная полумиллионом купюр, даёт такой же остаток при делении на 9, что и число 500000, то есть 5. Однако, число 1000000 даёт остаток 1 при делении на 9.

7). а) Найдите двузначное число, первая цифра которого равна разности между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке.


б) Решите ребус АБ – БА = А. ОтветУказаниеОтвет. а) 98; б) 98 – 89 = 9. Указание. Составьте уравнение (10a + b) – (10b + a) = a.

8). Что я выпил в итоге - кофе с молоком или молоко с кофе? От полного стакана кофе я отпил половину и долил столько же молока. Затем я отпил третью часть получившегося кофе с молоком и долил столько же молока. Затем я отпил шестую часть получившегося кофе с молоком, долил стакан молоком доверху и выпил все до конца. Чего в итоге я выпил больше: молока или черного кофе? Решение: Количество выпитого черного кофе равно первоначальному его количеству и составляет 1 стакан. Молока долили сперва полстакана, затем треть стакана, и, наконец, шестую часть стакана, т.е. в общей сложности 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1 стакан. Следовательно, кофе и молоко выпито поровну.

9). Всегда ли нужен измерительный прибор? Как от куска материи 2/3 метра отрезать 50 сантиметров, не имея мерительного прибора? Решение: Если от куска материи длиной 2/3 метра отрезать полметра, то длина оставшейся части составит 1/6 метра. Отделить от имеющегося куска 1/6 метра можно, сложив кусок вчетверо 2/3:4 = 1/6.
Урок № 10.Тема: «Решение задач на делимость»

Цель: Развитие у учащихся умения применять знания в новых ситуациях, воспитывать потребность в самостоятельном поиске знаний.

1.Беседа учителя. В практике вычислений возникает необходимость не только определить, делится число на другое или нет и находить такие числа. Но и отбирать из них те, которые являются общими делителями для двух или несколько чисел. Правило нахождения НОД и НОК было указано ещё Евклидом: Алгоритм Евклида.

1). Полученное число делится на 27? Какую цифру нужно приписать к числу 97 справа и слева, чтобы полученное число делилось на 27? Решение: Удвоенная неизвестная цифра дополняет сумму известных цифр числа до величины, кратной 9-ти. Сумма известных чисел - четная (16). Удвоенная неизвестная цифра (a) - также четная величина. Следовательно, сумма цифр искомого числа - четная и равна 18-ти. (2a меньше или равна 18 и сумма цифр искомого числа не больше 34-х). Итак, a = 1, искомое число - 1971.

2). Чему равно делимое?

Делимое в шесть раз больше делителя, а делитель в шесть раз больше частного.

Чему равны делимое, делитель и частное?

Искомое частное равно 6; оно показывает, во сколько раз делимое больше делителя.

Делитель в 6 раз больше частного и равен 36.

Делимое в 6 раз больше делителя и равно 216.

3). Ищем натуральное число. Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 7 дает в остатке 6, а при делении на 9 остаток равен 8. Решение: В обоих случаях - как при делении искомого числа на 7, так и при делении его на 9 остаток на единицу меньше делителя. Увеличив делимое на 1, получим число, которое делится без остатка и на 7, и на 9. Наименьшее такое число - 63. Искомое число на 1 меньше и равно 62.

4). Сколько этажей в доме? Коля и Вася живут в одном доме, на каждой лестничной клетке которого 4 квартиры. Коля живет на пятом этаже, в квартире 83, а Вася - на 3-ем этаже в квартире 169. Сколько этажей в доме? Решение: Если вести сквозной отсчет этажей, начиная с первого подъезда, то Коля живет на 21- м этаже [83 : 4] = 20 (3). В своем подъезде Коля живет на 5-м этаже, поэтому в подъездах, предшествующих Колиному, 16 этажей. 16 делится лишь на числа, кратные 2-м, поэтому в доме может быть либо 16 этажей, либо 8 этажей (вариант четырехэтажного дома исключаем, поскольку Коля живет на 5 этаже). Вася живет на 43 этаже, считая от первого этажа первого подъезда [169 : 4] = 42 (1). Значит в подъездах, предшествующих Васиному, 40 этажей. 40 делится на 8, но не делится на 16, следовательно, в доме 8 этажей. Замечание. В процессе решения задачи мы определили числа этажей (16 и 40) в двух разных группах подъездов. Число этажей в каждой группе подъездов кратно числу этажей в доме, оно равно произведению числа этажей в доме на число подъездов в группе. Задача сводится к нахождению общего делителя чисел 16 и 40 (с условием, что делитель этот не меньше 5-ти).

5). Сколько автобусов и сколько мест? Для поездки с учениками за город школа заказала несколько одинаковых автобусов. 115 человек поехали на озеро, 138 - в лес. Все места в автобусах были заняты, и всем хватило места. Сколько было заказано автобусов и сколько мест в каждом автобусе? Решение: Поскольку мест в автобусах не осталось, число детей, выехавших в каждом из двух направлений, кратно числу мест в автобусе. Следовательно, число мест в автобусе - общий делитель чисел 115 и 138. Для отыскания общего делителя воспользуемся правилом: общий делитель двух чисел является также общим делителем этих чисел и их разности. 138 - 115 = 23. Всего автобусов с детьми было: (115 + 138)/23 = 11 автобусов.

6). Сумма и произведение одних и тех же чисел – одинаковые. Представить число 203 в виде суммы нескольких положительных чисел так, чтобы их произведение также было бы равно 203. Решение: Поскольку сумма двух, или нескольких чисел (отличных от 1), всегда меньше их произведения ( исключая случай 2 + 2 = 2 · 2), очевидно, что некоторое число множителей в разложении должно быть равно 1. Используя такой прием, можно довести сумму сомножителей до нужной величины, не меняя при этом их произведения. Итак, задача сводится к разложению на множители числа 203. Поскольку ни один из "табельных" признаков делимости (на 2, 3, 5, 11) данному числу не свойственен, поищем множители, следуя правилу. Оно гласит: среди делителей составного числа обязательно есть числа, меньшие, чем корень квадратный из этого числа. Корень квадратный из числа 203 близок к 15, поэтому ищем делители среди простых чисел, меньших 15. Таких чисел два - 7 и 13 (остальные были исключены после проверки).203 : 7 = 29, поэтому 203 = 29 · 7 · 1 · 1 ·... · 1 (всего 167 единиц).29 + 7 + 167 = 203. Число 203 имеет два простых делителя, поэтому найденное решение - единственное.

7). Длина стороны прямоугольника делится на 5. Из прямоугольных полосок со сторонами 1 см и 5 см сложен прямоугольник. Доказать, что длина одной из сторон этого прямоугольника кратна 5.

Решение: Площадь каждой прямоугольной полоски равна 5 кв. см. Следовательно, площадь прямоугольника, составленного из этих полосок, кратна 5-ти. Но площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Поскольку произведение кратно 5-ти, то, по меньшей мере, один из сомножителей (т.е. длина одной из сторон) кратен 5-ти, что и требовалось доказать
Урок № 11 Тема: «Межрегиональная олимпиада»

Цель: Обучение учащихся при решении олимпиадных задач вырабатывать собственный метод решения.


  1. Решение задач по теме.

1). Разрежьте произвольный треугольник на четыре одинаковых треугольника.

2). Восстановите пропущенные цифры.












9

4

1







x



















X

X

X







X

X

6

X




X

X

X

X




5

X

X

3

X

X

3). На сколько частей делят пространство продолженные плоскости граней куба?

4). В чемпионате СооБразилии по пляжному футболу, проходящем по круговой системе в два круга, было сыграно 9702 матча. Сколько команд приняло участие в чемпионате?

5). Среди 2012 внешне неразличимых шариков половина имеет один вес, а вторая половина –другой. Требуется выделить две кучки шариков так, чтобы количество шариков в кучках было одинаковым, а массы кучек - разными. Каким наименьшим числом взвешиваний на чашечных весах без гирь это можно сделать?

Ответы: 1. Для решения соедини середины сторон треугольника.

2. 941*604=568364

3. Продолженные грани куба представляют собой три пары параллельных плоскостей. Каждая пара делит пространство на три части. Следовательно, всего будет 3*3*3*=27 частей.

4. Турнирная таблица двухкругового чемпионата из N команд имеет размер N*N с перечеркнутыми диагональными клетками, то есть содержит N2-N=N(N-1) клеток для внесения результатов. Столько должно быть и матчей. То есть число 9702 нужно представить в виде произведения двух последовательных натуральных чисел. 9702=2*32*72*11 и представимо в искомом виде единственным способом: 9702=99*98. В чемпионате участвуют 99 команд.

5. Задача решается в 1 взвешивание. Разделим шарики на две кучки по 1006 шариков и взвесим их. Если неравенство – задача решена. Если в результате взвешивания получится равенство, то значит, что в каждой кучке по 503 шарика каждого вида(понятно, что равные по весу кучки из равного количества шариков должны быть одинаковы по их составу). Теперь разделим любую из этих кучек по 1006 шариков на две по 503 (взвешивать для этого ничего не надо). Полученные две кучки всегда имеют разный вес. Действительно, если предположить, что их вес может быть одинаковым, то в этом случае в обеих кучках должно быть равное количество шариков каждого вида, что невозможно, так как 503 не делится на 2.


Урок № 12.Тема: «Региональная олимпиада» - математическая драка.

Цель: подготовка к участию в региональной олимпиаде, развивать у учащихся потребность в использовании знаний в новых ситуациях.

1. Учащиеся разбиваются на четыре команды. Игра идёт согласно правилам, указанным в приложении №5. Задания, оцениваемые в 2 балла

1. Масса бидона с молоком 32 кг, без молока – 2 кг. Какова масса бидона, заполненного молоком на половину? А) 15 Б) 17 В) 12 Г) 20 Д) 13



  1. Какая часть квадрата закрашена?

А) Б) В) Г) Д)

3. Сколько сантиметров проволоки потребуется для изготовления каркаса куба с ребром 6 см.



А) 48 Б) 54 В) 72 Г) 24 Д) 90

4. Сколько всего квадратов изображено на рисунке?



А) 8 Б) 5 В) 10 Г) 6 Д) 9

5. Какая сумма кратна 5:



А) 89915 + 780560 Б) 4 803 + 1809 В) 345976 + 235901 Г) 234780 + 6542 Д) 345 + 237

Задания, оцениваемые в 3 балла

6. Попрыгунья Стрекоза половину времени каждых суток красного лете спала, третью часть времени каждых суток танцевала, шестую часть – пела. Остальное время она решила посвятить подготовке к зиме. Сколько часов в сутки Стрекоза готовилась к зиме?

А) 2ч Б) 4ч В) 0ч Г) 1 ч Д) 5 ч

7. Настя может прополоть грядку за 1 час, а Ваня за 2 часа. Ребята работали так: сначала 20 минут работала Настя, а затем Ваня закончил работу один. Сколько времени работал Ваня?



А) 1 ч Б) 1 ч В) 1ч Г) 2 ч Д) 1,5 ч

8. Для приготовления варенья взяли 3 л сиропа, в котором содержалось 60% сахара. Сколько килограммов сахара взяли для сиропа. А) 1 кг Б) 1, 5 кг В) 2 кг Г) 1,8 кг Д) 2,5 кг

9. Длина аквариума 80 см, ширина 50 см, а высота 45 см. Сколько литров воды надо влить в этот аквариум, чтобы уровень воды был ниже верхнего края на 8 см?

А) 150 л Б) 140 л В) 180 л Г) 148 л Д) 200 л

10. Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной.



А) 0,48 Б) 0,048 В) 0, 4 Г) 0,04 Д) 0,0048

Задания, оцениваемые в 5 баллов

11. На поляне ребята пасут жеребят. Если пересчитать ноги ребят и жеребят, то будет 74, а если считать головы, то -22. Сколько на лугу жеребят? А) 10 Б) 14 В) 15 Г) 8 Д) 11

12. Некто сказал: «Когда я проживу еще половину, да треть, да четверть моих лет, мне станет 100 лет». Сколько ему лет? А) 50 Б) 48 В) 46 Г) 52 Д) 45

13. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики?

А) 12 Б) 16 В) 24 Г) 28 Д) 30

14. Пять учеников купили 100 тетрадей. Коля и Вася купили 52 тетради. Вася и Юра – 43, Юра и Саша – 34, Саша и Сережа – 30. Сколько тетрадей купил Сережа?

А) 14 Б) 15 В)16 Г) 20 Д) 18

15. Отец старше сына в 4 раза. Через 20 лет он будет старше сына в 2 раза. Сколько сейчас лет отцу? А) 60 Б) 50 В)55 Г) 45 Д) 40

16. Мама решила купить в подарок 6 чашек по 150 рублей и чайник за 800 рублей, имея 2000 рублей. Но, придя в магазин, увидела, что понравившиеся чашки проданы. Хватит ли маме имеющихся денег, если она купит другие чашки по цене 200 рублей и чайник. А) нет Б) да

17. Комната имеет размеры 4 метра в длину и 3 м в ширину. Хватит ли банки краски весом 3 кг для того, чтобы покрасить пол в комнате, если на 1 м2 расходуется 150 граммов краски. Если хватит, то сколько краски останется? А) хватит, останется 500 гр. В) хватит, останется 1200 гр. Д) другой вариант Б) не хватит, надо еще 1200 гр. Г) хватит, ничего не останется

18. Какие из перечисленных чисел являются составными? А) 7 Б) 36 В) 17 Г) 14 Д) 8

19. Какое минимальное количество прямых линий нужно провести, чтобы соединить все точки расположенные следующим образом:










А) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4 Д) 5

20. Какие из чисел делятся на 8 без остатка: А) 86000 Б) 56982 В) 76112 Г) 56900 Д) 75350

21. Дринфельд Владимир Гершонович родился … А) 4 марта 1954 г. Б) 4 апреля 1954 г.

В)4 февраля 1954 г Г) 4 февраля 1955 г. Д) 4 апреля 1955 г.



22. В некотором месяце три воскресенья пришлись на четные числа. Какой день недели был 20-го числа?

А) вторник

Б) среда

В) четверг

Г) пятница

23. Окрашенный куб с ребром в 10 см распилили на кубики с ребром в 1 см. Сколько среди них окажется кубиков с одной и двумя окрашенными гранями?

А) 1000

Б) 512

В) 384

Г) 480

24. землекопа выкопают канавы за часа. Сколько метров канавы выкопают 3 землекопа за 3 часа?

А)

Б)

В) 3

Г)
1   2   3   4   5   6


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница