«Вводное занятие»



страница1/6
Дата22.04.2016
Размер0.86 Mb.
  1   2   3   4   5   6
Урок № 1.Тема: «Вводное занятие»

Цель: повторение материала спецкурса 5 класса в виде математической драки.

1. Все учащиеся делятся на 3-4 команды. Условия задач раздаются каждому участнику «драки», при этом рядом с условием задачи указывается и её цена в баллах. Ученики приступают к решению той задачи, которая им под силу. Первый решивший какую-то из задач поднимает руку, называет номер задачи и выходит к доске её объяснять. В случае верного решения его команда получает то число баллов, которое указано рядом с решенной им задачей. В противном случае, команда получает тоже число баллов, но со знаком «минус», а цена задачи увеличивается. Ученик ввязывается в драку с задачей, если считает, что он сможет её победить. Цена задачи увеличивается в два раза. Математическая драка завершается по истечении 45-60 минут.

Задачи, предлагаемые к решению.

1. В трех ящиках находятся крупа, вермишель и сахар. На первом ящике написано «крупа», на втором – «вермишель», на третьем – «крупа или сахар». Что, в каком ящике находится, если содержимое каждого из ящиков не соответствует надписи на нем? (4б) Решение. Так как каждая надпись не соответствует действительности, то в третьем ящике – вермишель, следовательно, в первом ящике – сахар, а во втором – крупа.

2. Пять рыбаков съели пять судаков за пять дней. За сколько дней десять рыбаков съедят десять судаков? (2б) Ответ. За пять дней. Решение. Пять рыбаков съели пять судаков за пять дней. Другие пять рыбаков съедят за те же пять дней еще пять судаков. Следовательно, десять рыбаков съедят десять судаков за пять дней.

3. Сколько всего прабабушек и прадедушек было у всех ваших прабабушек и прадедушек? (4б)

Ответ. 26 = 64. Решение. Возможен рисунок в виде «генеалогического дерева» или непосредственный подсчет.

4. На острове Буяне четыре королевства, причем каждое граничит с тремя остальными. Нарисуйте карту острова так, как вы ее себе представляете. (6б) Ответ. Например, cм. рисунок.

5. Квадратный торт с четырьмя розочками надо разрезать на 4 равных куска так, чтобы на каждом было по розочке. Нарисуйте, как это сделать. (6б) Ответ: см. рисунок.

6. Найдите частное, если оно в три раза меньше делимого и в восемь раз больше делителя. (4б)

Ответ. 24. Решение. Так как частное в три раза меньше делимого, то делитель равен 3. Следовательно, частное равно 24.



Дополнительные задачи

7. Внутри круга отмечена точка, не совпадающая с его центром. Как разрезать круг не более чем на три части, чтобы из этих частей сложить новый круг с центром в отмеченной точке? Можно ли обойтись разрезанием на две части? (8б) Решение. Один из способов решения: вырезать из данного круга два равных непересекающихся круга так, что центром одного является данная точка А, а центр другого совпадает с центром О данного круга (рис. слева) и поменять их местами. Разрезанием на две части обойтись можно. Надо провести дугу с центром в точке А того же радиуса, что и у данного круга и отрезанную часть 1 переместить в положение 2 (рис. снизу).



8. Расставьте на шахматной доске 32 коня так, чтобы каждый бил ровно двух других. (8б) Решение. Заметим, что если расставить 8 коней в квадрате 3x3 (во все клетки, кроме центральной), то каждый из них будет бить ровно двух других. Теперь разместим 4 таких восьмерки коней по четырём углам доски.



2. Подведение итогов.
Урок № 2. Тема: «Различные системы счисления»

Цель: Ознакомиться с различными системами счисления, позиционными и непозиционными и некоторыми свойствами этих систем и научиться совершать переход из одной системы счисления в другую и выполнять действия в различных системах счисления.

1.  Простая система счисления.

 2. Позиционные и непозиционные системы счисления.  

 3. Основание системы счисления.  Самой молодой системой счисления по праву можно считать двоичную систему. Эта система обладает рядом качеств, делающей ее очень выгодной для использования в вычислительных машинах и в современных компьютерах. Так, например,

103510=1·103 + 0·102 + 3·101 + 5·100; 10102 = 1·23 + 0·22 + 1·21 + 0·20 = 10.

Примеры решения задач

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную систему:


а) 464(10); б) 380,1875(10); в) 115,94(10) (получить пять знаков после запятой в двоичном представлении).

Решение.


464 | 0 380 | 0 |1875 115 | 1 |94

232 | 0 190 | 0 0|375 57 | 1 1|88

116 | 0 95 | 1 0|75 28 | 0 1|76

58 | 0 47 | 1 1|5 14 | 0 1|52

а) 29 | 1 б) 23 | 1 1|0 в) 7 | 1 1|04

14 | 0 11 | 1 3 | 1 0|08

7 | 1 5 | 1 1 | 1 0|16

3 | 1 2 | 0

1 | 1 1 | 1

а) 464(10) = 111010000(2); б) 380,1875(10) = 101111100,0011(2);

в) 115,94(10)  1110011,11110(2) (в настоящем случае было получено шесть знаков после запятой, после чего результат был округлен).

Если необходимо перевести число из двоичной системы счисления в систему счисления, основанием которой является степень двойки, достаточно объединить цифры двоичного числа в группы, где столько цифр, каков показатель степени, и использовать приведенный ниже алгоритм. Например, если перевод осуществляется в восьмеричную систему, то группы будут содержать три цифры (8 = 23). Итак, в целой части будем производить группировку справа налево, а в дробной — слева направо. Если в последней группе недостает цифр, то дописываем нули: в целой части — слева, в дробной — справа. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы.

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления.

а) 1000001(2). 1000001(2)=1 26+0 25+0 24+0 23+0 22+ 0 21+1 20 = 64+1=65(10).



Замечание. Очевидно, что если в каком-либо разряде стоит нуль, то соответствующее слагаемое можно опускать.

б) 1000011111,0101(2). 1000011111,0101(2)=129 + 124 + 123 + 122 + 121 + 120 + 12-2 + 12-4 = 512 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,0625 = 543,3125(10).

в) 1216,04(8). 1216,04(8)=183+282+181+680+4 8-2 = 512+128+8+6+0,0625 = 654,0625(10).

г) 29A,5(16). 29A,5(16) = 2162+9161+10160+516-1 = 512+144+10+0,3125 = 656,3125(10).


3. Сложить числа:
а) 10000000100(2) + 111000010(2) = 10111000110(2).
б) 223,2(8) + 427,54(8) = 652,74(8).

10000000100 223,2

+ 111000010 + 427,54

------------ -------

10111000110 652,74

4. Выполнить вычитание:


а) 1100000011,011(2) - 101010111,1(2) = 110101011,111(2). б) 1510,2(8) - 1230,54(8) = 257,44(8).

1100000011,011 1510,2

- 101010111,1 -1230,54

-------------- -------

110101011,111 257,44

5. Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы иметь возможность взвесить любое число граммов от 1 до 100 на чашечных весах, если гири можно класть только на одну чашку весов? Решение: Любое число можно записать в двоичной системе счисления. Поэтому для взвешивания любого числа граммов от 1 до 100 достаточно иметь семь гирь с весами: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Шестью гирями обойтись нельзя, так как с их помощью можно взвесить не более 26 – 1 = 63 различных весов (каждая гиря либо участвует, либо не участвует во взвешивании).

6. Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы иметь возможность взвесить любое число граммов от 1 до 100 на чашечных весах, если гири можно класть на обе чашки весов.

Решение: При решении этой задачи нам понадобится следующее интересное свойство троичной системы счисления: любое натуральное число можно представить в виде разности двух чисел, запись которых в троичной системе счисления содержит только 0 и 1. Для доказательства нужно записать исходное число в троичной системе счисления и построить требуемые числа поразрядно справа налево. При этом если у получившихся чисел в каких-то одноименных разрядах стоят единицы, то их можно заменить нулями. Теперь понятно, что достаточно иметь 5 гирь с весами 1, 3, 9, 27, 81 (подумайте, почему не нужна гиря весом 243 грамма). Четырех же гирь явно недостаточно, так как с их помощью можно взвесить не более 34 – 1 = 80 различных весов (каждая гиря либо на левой чашке весов, либо на правой, либо не участвует во взвешивании).


Урок № 3.Тема: «Решение задач с использованием различных систем счисления»

Цель: рассмотреть решение задач в различных системах счисления и закрепить умение совершать переход из одной системы счисления в другую и выполнять действия в различных системах счисления.

1). «Ей было тысяча сто лет,

Она в сто первый класс ходила,

В портфеле по сто книг носила

Всё это правда, а не бред.

Когда пыля десятком ног,

Она шагала по дороге,

За ней всегда бежал щенок

С одним хвостом, зато стоногий.



Она ловила каждый звук

Своими десятью ушами,

И десять загорелых рук

Портфель и поводок держали.

И десять темно-синих глаз

Рассматривали мир привычно…

Но станет всё совсем обычным,

Когда поймёте наш рассказ».



Решение: Начнём с фразы: «И десять загорелых рук портфель и поводок держали». Как можно два предмета – портфель и поводок – держать десятью руками? По-видимому, «десять рук» означают две руки. С этим согласуется и число ног, и число ушей, и число глаз необыкновенной девочки. Значит, здесь две единицы образуют единицу следующего разряда – подобно тому, как в десятичной системе счисления, которой мы с вами пользуемся, десять единиц составляют единицу следующего разряда десяток. Ну а «сто книг», «стоногий щенок», «сто первый класс», «тысяча сто лет»? В нашей десятичной системе числа 100, 101 и 1100 означают соответственно 102, 102+1, 103+102. А в задаче, поскольку две единицы каждого разряда образуют единицу следующего, более высокого, разряда слова «сто», «сто один» и « тысяча сто» означают соответственно 22=4, 22+1=4+1=5, 23+22=8+4=12. Вот теперь все становится на свои места: девочек 12 лет, она ходит в пятый класс, носит в портфеле по четыре книги и у неё четвероногий щенок. Мы столкнулись здесь с системой счисления, в которой две единицы составляют единицу следующего разряда. Такая система называется двоичной. Ответ: все числа приведены в двоичной системе счисления.

2). Число 43 записано в семиричной системе счисления. В какой системе оно записывается теми же цифрами, но в обратном порядке? Решение: Сначала число 437 переведём в десятичную систему счисления: 437=4*7+3=28+31 А теперь выясним, при каком основании d системы выполняется равенство 31=34d. Будем иметь: 31=3d+4, 3d=27, d=9. Ответ: в девятеричной системе.

3). Пусть  X=3718 требуется перевести X  в 10 –ю систему счисления.Для перевода запишем число X в виде в виде полинома и выполним действия в 10 – й системе.   X = 3 * 82 + 7 *  81 +1* 80 = 249

4). Пусть X= af,416 требуется перевести X  в 10 –ю систему. Решение: Для перевода запишем число в виде полинома и выполним действия в 10 – й системе X = 10 *161 + 15*160 + 4 *16-1 = 175,25.

5). Перевести число N = 4710 в двоичную систему с использованием десятичной арифметики.
Решение: При делении выделяют целую часть результата и остаток. Остаток записываю в скобках рядом с целой частью. Применим рекуррентные формулы  при Q = 2; 47: 2 = 23(1); 23: 2 = 11(1); 11:2=5(1); 5:2=2(1); 2:2=1(0); 1:2=0(1) Ответ: 4710 = 1011112.

6). Перевести число N = 3060 в 16 - ичную систему с использованием десятичной арифметики.


Решение: 3060: 16 = 191(4); 191: 16 =11(15); 11: 16 = 0 (11).Ответ: 306010 = bf416

7).Перевести число 46,58 в двоичную систему. Решение: Запишем число в смешанной системе (2 – 8). Для записи каждой восьмеричной цифры будем использовать три двоичных разряда (триаду), в результате получим. 46,5 = 100 110, 101 – это есть запись числа в двоичной системе.

8).Перевести число 101110,10 2 в 16 – ричную систему.Решение: Разбиваем число на тетрады вправо и влево от запятой. 0010 1110,1000. Каждой двоичной тетраде ставим в соответствие 16 – ричную цифру. 0010 – 2, 1110 – e, 1000 – 8. Ответ: 101110,10 2 = 2e,8 16. 

9). Запишите числа в указанной системе счислений: 1)178=х3, 2) 594=х6, 3)898=х7, 4) 793=х2 , 5) 2102112310, 6)183=х5, 7)163=х2

10). Выполните действия: a) 21314+32014 , b)231334425-421235, c)2546+3426, d)3245*325, e)14126:246

11). Найдите основание системы счисления: a)43х=27, b)324x=89, c) 421x-143x=234x, d)53x*16x=880x

Практическая работа. Составьте таблицы сложения и умножения однозначных чисел в системе счисления с основанием:1, 3, 2, 6.
Урок № 4.Тема: «Числовые головоломки»

1. Разминка.

1). Найдите закономерность и вставьте попущенное число (числа): А) 1, 1, 2, 3, 5, 8, …,21, 34..;

Б) 7, 17, 37, 77, …, 317..; В) 17, 23, 13, 11,...,15..

2). Какое число в 7 раз больше своей последней цифры? Ответ. 35.

3). Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра десятков больше цифры единиц? Ответ. 45.

2. Решение задач по теме.

1). Какое целое число делится (без остатка) на любое целое число, отличное от 0? Ответ. 0.

2). Найдите число, одна треть и одна четверть которого составляет 21. Ответ. 36.

3). Полтрети – число 100. Что это за число? Ответ. 600.

4). Что больше: 1020 или 20 10? Ответ: 1020 = 1010*1010>1010*210

5).Что больше: 10020 или 900010? Ответ: 10020 = 10010*10010>9010*10010=900010

6). Зачеркни одинаковые цифры. Какое число осталось? 5 3 7 1 8 3 5 8 7

7). Какую цифру надо зачеркнуть в числе 621, чтобы оставшееся число делилось на 3?

8). Это число от 2 до 10, но не 5; кроме того, оно нечётное и не делится на 3. Назови его.

9). Перед тобой однозначные числа. Вычеркни нечётные. Какая цифра осталась? 7 9 3 1 9 5 8 7

10). Зачеркни в следующем числе цифры, которые встречаются только один раз. Остальные цифры соедини. Что за число получилось? 7290342615

11). Угадай число от 1 до 28, если в его написание не входят цифры 1, 5 и 7; кроме того, оно нечётное и не делится на 3.

12). Отгадай число от 1 до 58, если в его написание не входят цифры 1, 2 и 3; кроме того, оно нечётное и не делится на 3, 5 и 7.

13). Угадай число от 1 до 88, если в его написание не входят цифры 1, 2, 3 и 7; кроме того, оно нечётное и не делится на 3, 5 и 7.

14). Отгадай число от 1 до 408, если в его написание не входят цифры 1, 2, 3, 5, 7; кроме того, оно нечётное и не делится на 3 и 7.

15). Перед тобой однозначные числа. Зачеркни чётные. Оставшиеся цифры соедини. Какое число осталось? 4 2 6 4 8 2 9 6 5

16). Преврати в числе 123 одну цифру в пятёрку так, чтобы получившееся число делилось на 9. Каково оно?

17). Исправь в числе 982 одну цифру на четвёрку так, чтобы получившееся число делилось на 3. Назови новое число.

18). Вычти из произвольного двузначного числа сумму его цифр. Всегда ли разность разделится на 3? А на 9?

19). Употребляя цифру 7 по четыре раза, знаки действий и скобки, представьте все числа от 0 до 10.


Урок № 5.Тема: «Восстановление знаков действий»

1. Разминка.

Помоги гному Забывалке. Найди зашифрованное слово–число (если между буквами есть пробелы – убери их). Для этого измени порядок букв в следующих словах:




1. ТИР

2. ЛУНЬ.


3. СКОРО.

4. НОДИ.


5. ВАД.

6. ДЕД ТАЦВАНЬ.

7. ТАНЕЦ ДВА ДЬ.


8. НЕ ДВАДЦАТЬ.

9. ЦАРЬ ДИТТ.

10. СЯДЕТ ПЯТЬ.

11. СМЕСЬ ЕДЯТ.

12. СЕМЬЯ СТО ДЕВ.

13. МИЛ ДАРИЛ.



Ответ: 1.Три. 2. Нуль. 3. Сорок. 4. Один. 5. Два. 6-8. Двенадцать. 9. Тридцать. 10. Пятьдесят. 11. Семьдесят. 12. Восемьдесят. 13. Миллиард.

2. Решение задач по теме.

1). а) Расставьте в примере 100 – 20 * 3 + 2 скобки всеми возможными способами. б) Укажите наибольший и наименьший результат.

2). Проставьте, где требуется знаки действий, скобки, чтобы равенства были верными. Какие еще числа Вы могли бы получить таким способом?

3). Великолепная семерка. Между четырьмя семерками вставьте знаки действий и скобки так, чтобы в каждой строчке получились верные равенства (в некоторых случаях знаки можно не вставлять, например, можно оставить число 77 или 777 и т. д.).



4). Расставьте знаки сложения между цифрами 1 2 3 4 5 6 7 так, чтобы в сумме получилось число 100. Ответ.1+2+ 3 4 +5 6 +7=100

5). В примере 9*7*3*5*2=10 поставьте вместо каждой из звёздочек знаки сложения и вычитания так, чтобы равенство было верным. Ответ. 9+7-3-5+2=10

6). В записи 1*2*3*4*5=100 замените каждую из звёздочек знаками арифметических действий и расставьте скобки так, чтобы получилось верное равенство. Ответ. Очевидно, обойтись только знаками сложения и вычитания здесь не удастся. Значит, нужно использовать ещё и знак умножения. Например, 1*(2+3)*4*5=100.

7). Поставьте знаки сложения и вычитания между цифрами 987654321 так, чтобы значение получившегося выражения было равно 100. Ответ: 98-7-6+5+4+3+2+1=100

8). Применяя знаки арифметических действий и скобки, запишите число 200: а) 5; б) 7; в) 8; г) 9 двойками. Ответ: а)222-22=200 б)(2*2*2+2)*(22-2)=200 в)2222:22*2-2=200

г) (22+2+2:2)*(2+2+2+2)=200

9). Применяя знаки арифметических действий и скобки, запишите четырьмя семёрками числа: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5; е) 6; ж) 7; з) 8; и) 9; к) 10.

Ответ: а)77:77=1; б) 7:7+7:7=2, в)(7+7+7):7=3, г)77:7-7=4, д)7-(7+7):7=5, е)(7*7-7):7=6, ж)7+(7-7)*7=7,з)(7*7+7):7=8, и)7+(7+7):7=9, к)(77-7):7=10
Урок № 6. Тема: «Восстановление цифр натуральных чисел»

1. Урок проходит в виде математического боя. Учащиеся разбиты на две группы. Каждая задача по 2балла.

1тур.

1. Если сумма двух неодинаковых однозначных чисел равна 16, то чему равна их разность?

2. Разность двух чётных однозначных чисел равняется 6. Вычисли их сумму.

3. Если разность двух нечётных однозначных чисел равна 8, то чему равна их сумма?

4. Подсчитай сумму самого маленького простого числа и самого большого однозначного.

5. Найди наибольшую сумму двух однозначных чисел.

6. Произведение однозначного и двузначного чисел равно 15. Найди эти числа.

7. Произведение двух неодинаковых однозначных чисел равно 16. Что это за числа?

8. Произведение двух однозначных чисел равняется 15. Каковы сомножители?

9. Сумма двух простых неодинаковых чисел равна 14. Назови слагаемые.

10. Произведение двух однозначных чисел равно 20. Что это за числа?

11. Сумма двух разных чётных однозначных чисел равна 12. Какие это числа?

12. Сумма двух простых чисел равна 12. Каковы слагаемые?

13. Сумма двух разных нечётных однозначных чисел равна 14. Назови их.

14. Сумма двух однозначных чисел равна 15, а разность – 3. Вычисли эти числа.

15. Сумма двух однозначных чисел равна 17. Что это за числа?

16. Разность двузначного и однозначного чисел равна единице. Каковы уменьшаемое и вычитаемое?

17. Даны 4 разных однозначных числа. Первое – 9. Если умножить 9 на второе, то получим столько же, сколько и при умножении третьего на четвёртое. Назови неизвестные числа.

18. Даны 4 неодинаковых однозначных числа. Известно, что первое – 2, а числа 9 среди них нет. Если умножить 2 на второе, то получим столько же, сколько и при перемножении третьего и четвёртого. Каковы неизвестные числа?

19. Какие последовательные числа натурального ряда надо сложить, чтобы получить наименьшее двузначное число?

20. Сумма нескольких разных простых чисел равна 17. Назови эти числа.

21. Что меньше: сумма чётных однозначных чисел или сумма простых однозначных чисел?

Ответы: 1). 2; (9 – 7); 2). 10; (8 + 2). 3). 10; (9 + 1). 4). 11. 5). 18. 6). 1 и 15. 7). 2 и 8. 8). 3 и 5. 9). 3 и 11. 10). 4 и 5. 11). 4 и 8. 12). 5 и 7. 13). 5 и 9. 14). 9 и 6. 15). 8 и 9. 16). 10 и 9. 17). 2, 3 и 6. 18). 6, 3 и 4. 19). 1, 2, 3 и 4. 20). 2, 3, 5, 7. 21). Простых

2тур.

1). Первое число – это некоторое трехзначное число, второе число – это произведение его цифр, третье число – это произведение цифр второго числа. Эти три числа можно записать так: . Восстановите запись, если одинаковые фигуры соответствуют одинаковым цифрам.

2). Вместо звездочек запишите пропущенные цифры:

3). Вместо звездочек запишите пропущенные цифры: * *• 8=* 6.Ответ.12• 8=96.

4). Витя выложил из карточек с цифрами пример на сложение и затем поменял местами две карточки. Как видите, равенство нарушилось. Какие карточки переставил Витя?


Урок № 9. Тема: «Инварианты»

Цель: Ввести понятие инварианта, рассмотреть некоторые свойства их, встречающиеся при решении олимпиадных задач.

1. Разминка «А ну-ка, математики!» 1. Какие часы чаще показывают точное время: те, которые отстают на 1 минуту в день, или те, которые стоят? Ответ: Вторые, т. к. первые показывают верное время 1 раз в 2 года, а вторые 2 раза в год. 2. На дереве сидело 20 ворон. Охотник выстрелил и убил двух ворон. Сколько ворон осталось на дереве? Ответ: Ни одной, или 1-2 вороны, если они застряли в ветвях дерева, когда падали на землю. 3. Математик, оказавшись в небольшом городе, решил подстричься. В городке было лишь две парикмахерских. Заглянув к одному мастеру, он увидел, что в салоне грязно, сам мастер одет неряшливо, плохо выбрит и небрежно подстрижен. В салоне второго мастера всё было чисто, а сам владелец был безукоризненно одет, чисто выбрит и аккуратно подстрижен. Тем не менее, математик отправился стричься к первому парикмахеру. Ответ: Т.К. в городе всего две парикмахерских, а второй мастер хорошо выбрит и аккуратно подстрижен, то подстриг его первый мастер.

  1   2   3   4   5   6


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница