Вопросы к экзамену по курсу «Вариационное исчисление и оптимальное управление»



Скачать 40.68 Kb.
Дата16.11.2016
Размер40.68 Kb.
Вопросы к экзамену по курсу

« Вариационное исчисление и оптимальное управление »

( Весна 2007 года )

1) Дифференцирование отображений нормированных пространств. Производная по направлению, по Гато, по Фреше, строгая производная.
2) Задача о минимуме функции на произвольном множестве. Необходимое условие локального минимума.


  1. Общая задача на экстремум в банаховом пространстве с ограничениями равенства

и неравенства. Предположения о гладкости.


  1. Регулярность ограничений равенства: условие Люстерника. Теорема Люстерника

об оценке расстояния до множества нулей оператора. Следствие: теорема Люстерника

о касательном подпространстве.


5) Лемма об аннуляторе линейного сюрьективного оператора.
6) Лемма Фаркаша и ее различные частные случаи.
7) Теорема Дубовиц­кого—Милютина о непересечении конусов.
8) Схема Дубовиц­кого—Милютина для получения необходимых условий первого порядка локального минимума в общей задаче с ограничениями равенства и неравенства.
9) Правило множителей Лагранжа в гладкой задаче с ограничениями равенства и нера­венства. Функция Лагранжа. Активные индексы и условия дополняющей нежесткости. Принцип Лагранжа снятия ограничений.


  1. Симметрия между целевым функционалом и ограничениями неравенства.

11) Задача на минимакс и ее сведение к гладкой задаче с ограничениями неравенства.



12) Конус критических вариаций. Его тривиальность – достаточное условие первого порядка для локального минимума.


  1. Каноническая задача оптимального управления без поточечных ограничений --

задача Лагранжа классического вариационного исчисления (КВИ). Пространства фазовых и управляю­щих переменных.
14) Слабый и сильный минимум в задаче Лагранжа; локальный минимум относительно нормы пространства W и его эквивалентность слабому минимуму.
15) Оператор Немыцкого (подстановка в функцию) и его дифференцируемость в пространствах ограниченных функций.


  1. Оператор, задающий ограничения равенства в задаче Лагранжа. Лемма о замкнутости

образа составного линейного оператора.
17) Обобщенная лемма Дюбуа-Раймона.
18) Необходимое условие слабого минимума в задаче Лагранжа -- уравнение Эйлера-Лагранжа. Сопряженное уравнение, условия трансверсальности, условие стационар­ности по управлению, условия дополняющей нежесткости.
19) Простейшая задача КВИ. Уравнение Эйлера и его первые интегралы.


  1. Общая задача оптимального управления понтрягинского типа. Ограничение типа

включения.
21) Сведение интегрального функционала к терминальному. Сведение задачи на нефикси­рованном отрезке времени (в т.ч. задачи быстродействия) к задаче на фиксиро­ванном времени.


  1. Принцип максимума Понтрягина (ПМ). Функция Понтрягина, концевая функция

Лагранжа, сопряженные переменные и сопряженные уравнения, условие нетривиаль­ности, условия трансверсальности, условие максимума.
23) Связь ПМ с уравнением Эйлера-Лагранжа, условиями Вейерштрасса, Вейерштрасса-Эрдмана и Лежандра.
24) Игольчатые вариации управления. Доказательство принципа максимума Понтрягина с помощью простейшей (кусочно-постоянной) замены времени.
25) Общая идея решения задач оптимального управления с помощью принципа макси­мума. Краевая задача ПМ. Особые и неособые режимы.
26) Принцип максимума в задачах со смешанными ограничениями (без доказательства). Регулярность смешанных ограничений. Расширенная функция Понтрягина. Сопряженное уравнение и условие максимума.
27) Метод динамического программирования и его связь с принципом максимума. Функция Беллмана. Уравнение Гамильтона—Якоби—Беллмана. Проблема синтеза.
28) Существование решения в задачах на экстремум. Примеры Больца и Вейерштрасса отсутствия решения. Полунепрерывные снизу функции. Теорема Вейерштрасса.
29) Условие Филиппова и равномерная ограниченность допустимых траекторий задачи.
30) Теорема Мазура о слабо сходящихся последовательностях.


  1. Выпуклость множества допустимых управлений и его замкнутость относительно

  1. слабой-* сходимости. Слабая-* компактность множества управлений, принимающих значения в выпуклом компакте.

32) Полунепрерывность снизу интегрального функционала, выпуклого по управлению, относительно равномерной сходимости x и слабой-* сходимости u.


33) Замкнутость дифференциальной связи относительно указанной сходимости.
34) Теорема существования в задаче оптимального управления, выпуклой по управлению.

Задача о брахистохроне.

Задача о минимальной поверхности вращения.

Задача о форме тяжелой цепи.

Аэродинамическая задача Ньютона.

Общая изопериметрическая задача и задача Дидоны.

Геодезические на полуплоскости Пуанкаре.

Геодезические на поверхности g(x) = 0.

Геодезические на сфере и цилиндре.

Задачи Фельдбаума и Бушоу.




Рекомендуемая литература
Основная:
Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. Математическая теория оптимальных процессов. М., Наука, 1969.
В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин. Оптимальное управление. М., Наука, 1979, Физматлит, 2006.
В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров. Сборник задач по оптимизации.

М., Наука, 1984.


А.А. Милютин, А.В. Дмитрук, Н.П. Осмоловский. Принцип максимума в оптимальном

управлении. Мехмат МГУ, 2004 (продается в ГЗ, ком. 14-07, с 14—16 по раб. дням).



Дополнительная:
И.М. Гельфанд, С.В. Фомин. Вариационное исчисление. М., Физматгиз, 1961.
А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров. Теория экстремальных задач. М., Наука, 1974.
И.В. Гирсанов. Лекции по теории экстремальных задач. МГУ, 1970.
Б.Н. Пшеничный. Необходимые условия экстремума. М., Наука, 1982.
Б.Т. Поляк. Введение в оптимизацию. М, Наука, 1983.
Ф.П. Васильев. Численные методы решения экстремальных задач. М., Наука, 1988.
С.А. Ашманов, А.В. Тимохов. Теория оптимизации в задачах и упражнениях.

М., Наука, 1991.




Лектор – проф. А.В. Дмитрук


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница