Виды: 1 матрица из одной строки, столбца матрица-строка или вектор-строка



Скачать 94.91 Kb.
Дата03.05.2016
Размер94.91 Kb.
Матрица – совокупность чисел m*n (других математических выражений), записанных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов.

Матрица одной размерности – если состоят из одинакового числа строк и одинакового столбцов

Виды: 1) матрица из одной строки, столбца – матрица-строка или вектор-строка.

2) матрица из одного элемента 1*1 – любое число.

3) все элементы=0 – нулевая. Нулевые и разной размерности не равны.

4) матрица m*nпрямоугольная когда m=n

5) квадратная называется треугольной если все элементы выше или ниже глав диагонали =0

6) квадратная называется диагональной если все её элементы кроме диагональной=0

7) если в диагонали все элементы одинаковые – скалярная матрица

8) единичная – частный случай скалярной. L=1

Принцип кронекера *

Равные матрицы – если одинаковой размерности и соответствующие элементы равны

Транспонированная – в исходной поменять местами строки и столбцы с соответствующими номерами

Если исходная=транспонированной – симметрическая матрица

Сумма двух матриц одинаковой размерности а и в называется с такой же размерности, элементы которой равны сумме соответствующих элементов а и в – матриц (разность) *

Умножение матрицы А на число Л является матрицей С элементы которой получаются умножение соответствующих элементов матриц А на число Л

Матрица получаемая умножением матрицы А на -1 называется противоположной

Свойства: 1) А+В = В+А2) (А+В)+С=А+(В+С)

3) А+А’=04) А+0=А

5) А*1=А6) Л(А+В)=Л*А+Л*В

7) (Л+В)*А=ЛА*ВА8) А*0=0

9) (А+В)т=Ат+Вт10) Л(ВА)=(ЛВ)А

Линейные комбинации матриц А1 А2 Ан называется матрица С=Л*А1+Л*А2 и т.д., к нелинейным операциям относят операции умножения. Произведение матрицы возможно если число столбцов 1ой матрицы=числу строк второй *

Произведение А и В называется матрицей С элементы которой определяются по формуле *

Свойства операций умножения


  1. АВ не равно ВА, если равны то матрица называется перестановочной. Пример: скалярная матрица и любая квадрат той же размерности

  2. (АВ)*С=А(ВС)

  3. (А+В)С=АС+ВС

  4. А(В+С)=АВ+АС

  5. л(А+В)=(лА)*В=А(лВ)

  6. (АВ)т=Вт*Ат

  7. (АВС)т=Ст+Вт+Ат

Определители:

  1. Определителем 2 порядка соответствующий матрице 1 называется число, равное а11а22-а12а21

  2. Определителем третьего порядка соответствующий матрице 2 называется число а11а22а33+а13а21а32+а12а23а31-а13а22а31-а11а23а32-а12а21а33

Членами определителя являются произведением его элементов взятых из каждой строки и столбца по одному

  1. Правила треугольника

  2. Правила саррюса

  3. Разложение определителя по элементам ряда: определитель равен сумме произведений элементов какого-либо ряда на их алгебраические дополнения

Минором элемента Aij определителя 3 порядка называется определитель 2 порядка получаемый из исходного вычеркиванием i-строки и j-столбца

Алгебраическим дополнением элемента Аijназвается минор этого элемента взяты со знаком (-1) в степени i+j, Mij.

Свойства определителей


  1. При транспонировании величина не меняется

  2. Перестановка местами 2ух параллельных рядов изменяет знак

  3. Если определитель имеет 2 одинаковых ряда то он равен нулю

  4. Общий множитель элементов ряда можно выносить за знак определителя

  5. Определитель в котором есть нулевой ряд равен нулю

  6. Если определитель имеет 2 ряда с пропорциональными элементами то он равен нулю

  7. Если элементы какого-либо ряда представлены в виде суммы нескольких слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы такого же числа слагаемых

  8. Величина определителя не изменится если к элементам ряда прибавить соответствующие элементы другого ряда умноженные на любой множитель.

  9. Сумма произведений ряда на соответствующие алгебраические дополнения другого ряда=0

  10. Определитель матрицы равный произведению двух матриц = произведению определителей этих матриц

Метод вычисления определителей N порядка

  1. разложение по элементам ряда. Алгебраические дополнения определителя n-порядка являются определители n-1 порядка

  2. накопление нулей. Сводим нахождение определителя n-порядка к нахождению определителя n-1 порядка

  3. Приведение к треуг виду используя свойство 8 чтобы все элементы ниже глав диагонали =0. Такой определитель равен произведению элементов главной диагонали.

Квадрат матрица А называется вырожденной если её определитель =0. Опред=0 значит матрица квадратная.

Матрица А* - матрица, присоединённая к матрице А.

Матрица В называется обратной (А в минус 1) если АВ=ВА=Е, Е – единичная той же размерности.

Теорема: чтобы матрица А имела обратную необходимо и достаточно чтобы её определитель был отличен от нуля.

Формулы: АxА*=detAxE

Ax(Ax/detA)=E

(A*/detA)=A в -1.

Свойства обратной матрицы



  1. detAв -2 = detAв -1

  2. (AB) в -1=B в -1*A в -1

  3. (A в -1) в -1 =А

  4. Ат в -1 = (А в -1)т

Чтобы найти матрицу обратную 2*2 найти определитель не равный нулю, глав диаг поменять местами, побочной поменять знак

Если определитель матрицы А равен нулю то обратной не существует, уравнение имеет множество решений или не разрешимо.

Матричные уравнения. АХ=В, ХА=В.

Матрицы А и В заданные, Х – неизвестная. Решением называется матрица Х которая при подстановке обращает в верное тождество. Уравнения имеют единственное решение если определитель А отличен от нуля. *

Ранг матрицы: выделим в матрице А произвольное к-строк и к-столбцов. Из элементов, стоящих на пересечении строк и столбцов составим определитель, данный определитель к-порядка называется минором к-порядка матрицы А.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок её миноров, отличных от нуля.

Базисный минор – определяет порядок ранга.

Свойства рангов:



  1. при транспонировании величина ранга не меняется

  2. если из матрицы вычеркнуть нулевой ряд величина ранга не изменится.

  3. Величина ранга не изменится, если к матрице применить элементарные преобразования

Элементарные преобразования:

  1. Перестановка параллельных рядов

  2. Умножение элементов ряда на коэффициент

  3. Прибавление ко всем элементам одного ряда элементов другого параллельного ряда умноженных на коэффициент

Матрица В полученная из матрицы А путём элементарных преобразований называется эквивалентной А

Методы нахождения ранга:



  1. С помощью элементарных преобразований (можно получить эквивалентную каноническую)

Каноническая – матрица, первые элементы главной диагонали которой равны единице, - остальные – нулю. Ранг канонической равен числу единиц на её главной диагонали поскольку ранги эквивалентных матриц равны, то ранг исходной будет равен рангу канонической. На практике достаточно привести к ступенчатому виду. (нули ниже диагонали)

  1. Метод окаймляющих миноров. Теорема: пусть матрица А имеет минор М порядка r отличный от нуля а все миноры порядка r+1 содержащие М (окаймл.миноры)=0 тогда ранг матрицы А=r

Алгоритм:

  1. Находим определитель 1 и 2 порядка не равный нулю

  2. Составляем все миноры следующего порядка, содержашие этот ненулевой минор

  3. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен порядку ненулевого минора. Если хоть один отличен от нуля то повторить шаг 2 до тех пор пока существуют миноры более высокого порядка

Гаусон. Нахождение обратной матрицы. Для того чтобы найти к матрице А прибавляют единичную той же размерности r=(a/e). – прямоугольная m*2n. Используя элементарные преобразования матрицу приводят к ступенчатому виду r=(a1/b), где а1 – нижняя треугольная. Затем с помощью элементарных преобразований матрицу Г1 приводят к такому виду что вместо А1 должна получиться Е. r2=(e/a в -1)

Системы линейных алгебраических уравнений.

Уравнение относительно неизвестных x1 x2xn называется линейным если оно представлено в виде a1x2+a2x2+anxn=0, где а – коэффициенты, Bi – свободные члены. Aijпоказывет что данный коэффициент находится в i-уравнении при переменном ij.

Матрицей системы называется матрица составленная из коэффиц системы

Расширенная матрица – система, дополенная столбцом свободных членов

Решением системы 1 называется совокупность чисел, которые при подстановке обращают каждое уравнение в верное тождество. Решить систему – найти все её решения или установить их отсутствие.

Совместная система – она имеет хотя бы одно решение.

Совместная называется определённой если имеет единственное решение.

Системы эквиваленты если решение одной системы является решением второй. Все совместные системы считаются эквивалентными.

Эквивалентную можно получить элементарными преобразованиями систем:



  1. Перестановка уравнений местами

  2. Умножение частей уравнения на число не равную нулю

  3. Прибавление к обеим частям уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на некоторое число.

Поскольку расширенная матрица системы однозначно определяет вид системы то элементарпреобраз системы будут эквиваленты элементы преобраз строк расширенной матрицы.

Разрешённость линейных систем.

Теорема Кронекера-Капелли: Си 1 совместна только тогда когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы.

Для совместных систем справедливы следующие теоремы:



  1. Если ранг А равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение, т.е. определена

  2. Если ранг А меньше числа неизвестных n то система не определена – множество решений

Схема исследований систем:m-уравнений, n-неизвестных: определяем rgA и rgAр.

  1. Ранг А не равен рангу Ар то нет решений (несовместна)

  2. Ранг А равен рангу Ар - ранг А меньше n: бесконечное множество (совместна неопределена), ранг А = n одно решение (совместна определена)

Методы решения систем

  1. Матричный способ (m=n) си1 имеет вид ах=b если detA не равен нулю то существует а в -1 (обратная), значит решение уравнения 2 может быть найдено по формуле x=a в -1 * B.

  2. Формулы крамера (m=n, det не равен нулю) си1 единственное решение и оно может быть найдено по формуле крамера *** (дельта j – определитель, получаемый из определителя системы заменой j-столбца столбцов правых частей.

  3. Метод Гауса – для решения любых систем. С помощью элементарных преобразований расширенная матрица системы приводится к ступенчатому виду (прямой ход). Запишем систему, эквиавлент. Полученной расширенной матрице (обратный ход). *

Правила решений произвольной системы линейных уравнений.

Пусть система совместна, тогда ранг А равен рангу Ар=r. Зафиксируем базисный минор порядка Г. Уравнение соответсвующее базисным строкам называются базисными. Базисные уравнения образуют базисную систему. Неизвестные, соответствующие базисным столбцам называют главными. Остальные – свободными. Теорема: си линейных уравнений эквивалентна своей базисной системе, т.е. чтобы найти решение исходной системы достаточно решить её базисную систему. Алгоритм:



  1. Находят ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы. Если си совместна то фиксируют базисный минор порядка Г

  2. Составляют систему, состоящую из уравнений вошедших в базисный минор. Главные неизвестные оставляют в первой части, остальные (n-r) неизвестных переносят в правую часть

  3. По формулам крамера или методом гауса находят выражения главных неизвестных через свободные. Полученное тождество является общим решением системы.

  4. Придавая свободным неизвестным некоторое числовое получают частное решение системы.

Система линейных уравнений называется однородной, если её столбец правых частей является нулевым. Всегда имеет нулевое решение. Всегда совместна. Решение – тривиальное.

Теорема: чтобы однородная си имела нетривиальное решение необходимо и достаточно чтобы ранг был меньше числа неизвестных. Следствие: если в однородной си число уравнений меньше числа неизвестных, то такая си имеет нетривиальное решение.

Теорема: чтобы однородная си у которой число уравнений = числу неизвестных имела нетривиальное решение необходимо и достаточно определитель матрицы системы =0.

Фундаментальной системой решений называется набор (n-r) частных решений, который обладает свойством, что любое другое частное решение может быть получено как линейная комбинация этих решений. *

Чтобы произвольный набор n-r частных решений являлся фундаментальной си решений системы, необходимо чтобы ранг матрицы, построенной из этих решений = (n-r).

В частности, одна из фундаментальных систем получается: пусть rg=r выбираем в качестве главных неизвестных первое r, остальные – свободные. Тогда общее решение си будет: *



Фундаментальную си получим: присваиваем всем кроме одной свободным переменным значение 0, одной свободной – 1. Тоггда получим n-r таких комбинаций.

Некоммерческая консалтинговая компания «MARKET TRADING» http://mtcompany.ru/


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница