Векторні простори визначення й найпростіші властивості Визначення І приклади



Скачать 91.43 Kb.
Дата03.05.2016
Размер91.43 Kb.
Векторні простори
§1. Визначення й найпростіші властивості
1. Визначення і приклади. Нагадаємо (ст. 75), що векторним простором S над полем K називається адитивно записана абелева група, для елементів якої визначено дію множення на елементи поля K, що задовольняє вимогам:

,

,

,

,

де – елементи поля K, – елементи векторного простору. Елементи векторного простору називатимемо векторами, елементи поля K для стислості називатимемо числами (хоча вони можуть мати й іншу природу).

Прикладами векторних просторів над полем R дійсних чисел можуть бути множини векторів на площині чи в просторі. Інші (вже над будь-яким полем K) приклади – матриці фіксованої будови, зокрема, рядки і стовпці з елементами з поля K, поліноми від однієї (чи декількох) букв із коефіцієнтами з поля K, поліноми обмеженого степеню з коефіцієнтами з поля K.

Дослідження векторних просторів складає зміст лінійної алгебри.

У застосуваннях лінійної алгебри до інших математичних дисциплін розглядаються переважно векторні простори над полями С та R. У теорії інформації корисними виявляються векторні простори над скінченними полями, особливо над полем GF(2) з двох елементів.

Відзначимо ще властивості нуля векторного простору.



  1. . Справді, . Додавши до обох частин цієї рівності елемент, протилежний до , отримаємо .

  2. . Справді, , звідки .

  3. Якщо , то чи , чи . Справді, якщо , то існує і , тобто .

2. Лінійні комбінації, лінійна залежність і лінійна незалежність. Лінійною комбінацією векторів з S називається вектор при . Зрозуміло, що лінійною комбінацією лінійних комбінацій векторів є знову лінійна комбінація цих векторів.

Сукупність векторів називається лінійно незалежною, якщо рівність можлива тільки при . Якщо ж існують не рівні одночасно нулю такі, що , то сукупність векторів називається лінійно залежною. Визначення ці збігаються з визначеннями, поданими на ст. 108 стосовно рядків.

Твердження 1. Сукупність векторів лінійно залежна в тому і тільки в тому випадку, коли один з векторів є лінійною комбінацією інших.

Твердження 2. Якщо сукупність векторів лінійно незалежна, а сукупність лінійно залежна, то вектор є лінійною комбінацією векторів .

Твердження 3. Якщо вектори є лінійними комбінаціями векторів і , то сукупність лінійно залежна.

Доведення цих тверджень нічим не відрізняються від доведення аналогічних тверджень для рядків (ст. 108-110).

Сукупність векторів називається породжуючою, якщо всі вектори простору є їх лінійними комбінаціями. Якщо для простору S існує скінченна породжуюча система, то простір називається скінченновимірним, в протилежному випадкунескінченновимірним. У скінченновимірному просторі не можуть існувати як завгодно великі (за кількістю векторів) лінійно незалежні сукупності векторів, тому що, згідно з твердженням 3, будь-яка сукупність векторів, що за кількістю векторів перевищує породжуючу сукупність, є лінійно залежною.

Простір матриць фіксованих розмірів і, зокрема, простір рядків фіксованої довжини є скінченновимірними, в якості породжуючої системи можна взяти матриці з одиницею на одній позиції та з нулями на інших.

Простір усіх поліномів від х вже нескінченновимірний, оскільки сукупність поліномів є лінійно незалежною при будь-якому п.

Надалі розглядатимемо скінченновимірні простори.

Твердження 4. Будь-яка мінімальна (за кількістю векторів) породжуюча сукупність векторів є лінійно незалежною.

Справді, нехай – мінімальна породжуюча сукупність векторів. Якщо вона лінійно залежна, то один з векторів, скажімо , є лінійною комбінацією інших і будь-яка лінійна комбінація є лінійною комбінацією меншої сукупності векторів , яка таким чином виявляється породжуючою.

Твердження 5. Будь-яка максимальна (за кількістю векторів) лінійно незалежна сукупність векторів є породжуючою.

Справді, нехай – максимальна лінійно незалежна сукупність і u – будь-який вектор простору. Тоді сукупність не буде лінійно незалежною, і, в силу твердження 2, вектор u є лінійною комбінацією .

Твердження 6. Будь-яка лінійно незалежна породжуюча сукупність є мінімальною серед породжуючих і максимальною серед лінійно незалежних.

Справді, нехай - лінійно незалежна породжуюча сукупність векторів. Якщо - якась інша породжуюча сукупність, то є лінійними комбінаціями і звідси робимо висновок, що , оскільки якби було , то, в силу твердження 3, була б лінійно залежною сукупністю. Нехай тепер - певна лінійно незалежна сукупність. Вектори є лінійними комбінаціями векторів і, отже, , оскільки при , в силу того самого твердження 3, складали б лінійно залежну сукупність.

Таким чином, у твердженнях 4, 5, 6 встановлено тотожність трьох понять – мінімальна породжуюча сукупність векторів, максимальна лінійно незалежна сукупність векторів і лінійно незалежна породжуюча сукупність.

Сукупність векторів, що задовольняє цим умовам, називається базисом простору, а кількість векторів, що складають базис, називається розмірністю простору. Розмірність простору S позначається . Таким чином, розмірність дорівнює максимальній кількості лінійно незалежних векторів (ми часто надалі будемо використовувати слова “лінійно незалежні” і “лінійно залежні вектори” замість “вектори, що складають лінійно залежну сукупність” і – відповідно – для лінійно незалежної сукупності) і мінімальній кількості породжуючих векторів.

Твердження 7. Нехай - лінійно незалежна сукупність векторів, причому їх кількість менша за розмірність простору. Тоді до них можна прилучити вектор так, що сукупність залишиться лінійно незалежною.

Доведення. Розглянемо множину лінійних комбінацій . Вона не вичерпує всього простору, адже не складають породжуючої сукупності векторів. Візьмемо вектор, що не є лінійною комбінацією . Тоді - лінійно незалежна сукупність, оскільки інакше був би лінійною комбінацією векторів , в силу твердження 2.

З твердження 7 випливає, що будь-яку лінійно незалежну сукупність векторів можна доповнити до базису.

Це саме твердження та її доведення вказують на характер довільності у виборі базису. Справді, якщо взяти довільний ненульовий вектор, то його можна добудовувати до базису, взявши другий вектор як завгодно, тільки не лінійну комбінацію першого, третій як завгодно, тільки не лінійну комбінацію перших двох, і т.д.

До базису можна “спуститися”, виходячи з довільної породжуючої сукупності.

Твердження 8. Будь-яка породжуюча сукупність векторів містить базис.

Справді, нехай - породжуюча сукупність векторів. Якщо вона лінійно залежна, то один з її векторів є лінійною комбінацією інших, і його можна виключити з породжуючої сукупності. Якщо решта векторів лінійно залежні, то можна виключити ще один вектор, і т.д., доти, доки не залишиться лінійно незалежної породжуючої сукупності, тобто базису.

3. Координати вектора. Нехай - базис п-вимірного простору S над полем K і х – довільний вектор цього простору. Тоді х є лінійною комбінацією :

при .

Таке подання є єдиним. Справді, якщо , то

,

і, в силу лінійної незалежності базису, , тобто



.

Коефіцієнти називаються координатами вектора х. Координати вектора будемо уявляти у вигляді стовпця.



Означення. Два векторних простори над тим самим полем називаються ізоморфними, якщо між їхніми елементами є взаємно однозначна відповідність (ізоморфізм), що зберігає лінійні комбінації.

З визначення зрозуміло, що образ у випадку ізоморфізму лінійно залежної сукупності векторів буде лінійно залежною сукупністю, образ лінійно незалежної сукупності буде лінійно незалежною сукупністю, образ породжуючої сукупності буде породжуючою сукупністю, і, отже, образом базису буде базис. Таким чином, ізоморфні скінченовимірні простори мають однакову розмірність.



Теорема. Скінченовимірні векторні простори, що мають однакову розмірність -ізоморфні.

Доведення.

Зіставлення кожного вектора п-вимірного простору S зі стовпцем з його координат відносно деякого базису здійснює ізоморфізм простору S і простору стовпців з елементами із K.

Справді, це зіставлення є взаємно однозначним і зберігає лінійні комбінації. А саме, якщо вектор х має координатний стовпець і у – стовпець , то і , тобто стовпець із координат вектора є лінійною комбінацією з коефіцієнтами і стовпців координат векторів х і у.

Отже, кожен скінченовимірний простір розмірності n ізоморфний простору стовпців з елементами із K. Легко перевірити, що відношення ізоморфізму є відношенням еквівалентності, отже, всі скінченовимірні векторні простори, що мають однакову розмірність –ізоморфні між собою.


4. Заміна базису і перетворення координат. Нехай у просторі S поряд із вихідним базисом розглядається інший базис . Вектори, що складають цей базис, виражаються через вихідного базису лінійно, із коефіцієнтами з основного поля:

,

, (1)



(тут свідомо застосовано незвичайну індексацію: тут у матриці коефіцієнтів другий індекс позначає номер рядка і перший – номер стовпця).

Матриця

називається матрицею заміни базису на .

У свою чергу, вектори вихідного базису виражаються через вектори нового:

,

,



.

Підставивши в ці формули замість їхні вирази через , отримаємо:



,

,



,

де матриця



.

В силу лінійної незалежності системи базисних векторів робимо висновок, що і при .

Отже, - одинична матриця, а матриці і взаємно обернені, і тому кожна з них є невиродженою.

З’ясуємо тепер, як змінюються координати векторів у разі заміни базису. З цією метою звернімося до координатного запису векторів. Формули (1) в координатах означають, що в базисі вектор має координатний стовпець , вектор - стовпець , … , вектор - стовпець . Нехай вектор х має координатний стовпець у базисі і стовпець - у базисі . Тоді . Порівнюючи координати відносно до базису у лівій і правій частині останньої рівності, отримаємо



,

,



.

Матриця називається матрицею перетворення координат. Вона транспонована з матрицею заміни базису. Її елементи є коефіцієнтами в лінійних виразах вихідних координат через старі.

Матриця, обернена до транспонованої для деякої матриці, називається контраградієнтною з нею. Таким чином, матриця, що дає вираз нових координат через вихідні, контраградієнтна з матрицею заміни базису або, що є те саме, координати вектора змінюються контраваріантно з векторами базису.

Легко побачити, що матриця, контраградієнтна з добутком матриць, дорівнює добутку контраградієнтних у тому самому порядку. Справді,



.

Таким чином, перехід до контраградієнтних є автоморфізмом у групі всіх невироджених матриць.


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница