Узлы в школе



Скачать 230.6 Kb.
Дата29.04.2016
Размер230.6 Kb.
Узлы в школе
Боровских А.В., Рейхани Э., Розов Н.Х.
Мы представляем результаты разработки цикла занятий, посвященных изучению в школе узлов. Выбор именно узлов определяется тем, что они являются одним из удачных средств развития пространственного воображения учащихся, так как позволяют опереться при изучении на чрезвычайно мощный пласт ассоциированных друг с другом визуальных представлений, осязательных комплексов и активных действий (манипуляций).

1. Пространственное воображение и пространственное мышление

В чем состоит основная цель изучения геометрии? Конечно, не в усвоении какого-то набора геометрических истин. Эти истины на 99% бесполезны в жизни, на них не сделаешь карьеру и не заработаешь много денег. Целью не может быть и освоение логической системы. Мы можем ежедневно и ежечасно наблюдать, как люди, прекрасно усвоившие логическую систему геометрии (с пятеркой в аттестате), оказываются в жизни совершенно беспомощными именно в плане логики. Оказываются неспособными ни аргументировать (послушайте, что говорят вокруг Вас, и Вы убедитесь, что в 95 случаях из 100 то, что говорится после слов "потому что" не имеет никакой логической связи с тем, что было сказано до них), ни проверять полноценность и убедительность чужой аргументации (что является благодатной почвой для многочисленных жуликов).

По-видимому, единственной и основной целью обучения геометрии может быть только развитие некоторой способности человека, связанной с его существованием и деятельностью в окружающем пространстве. Водитель автомобиля должен уметь представить себе, что произойдет, если он повернет направо. Пешеход должен соразмерить свое движение с движением машины и переходить дорогу только тогда, когда уверен, что водитель его "не догонит", даже если захочет, а для этого он должен вообразить себе и свое собственное движение, и движение машины. Выходя на улицу, мы должны рассчитать маршрут своего движения, чтобы попасть в нужное нам место по кратчайшему пути и с наименьшими затратами времени. Все это показывает необходимость пространственного мышления даже в обыденной жизни, не говоря уже о профессиональной деятельности: строитель должен уметь вообразить себе, как будет выглядеть дом, который он строит, инженер – что будет представлять собой самолет, который он проектирует, электрик – как сделать разводку кабелей в пространстве, а водитель электровоза – свое движение по системе железнодорожных путей.

Отметим, что пространственное мышление, являясь существенной составляющей и в инженерной, и в технологической, и в естественно – научной мысли, используется не только для функционирования в реальном пространстве, но и для моделирования непространственных отношений: при изучении и решении различных проблем представление информации в виде пространственных объектов оказывается чрезвычайно удобным, компактным и позволяет легко оперировать этой информацией.

Поэтому будет, наверное, правильно, если мы, так же, как и многие другие авторы, основной целью обучения геометрии назовем развитие пространственного воображения и пространственного мышления. Следует отметить, что при определении пространственного (геометрического) мышления специалисты не всегда согласуются друг с другом. Обзор литературы в этой области (см., напр., [5-14]) показывает большое разнообразие терминологии. Используются, например, такие термины, как пространственная способность (spatial ability) пространственное размышление (spatial thinking), пространственная ориентация (spatial orientation), пространственное рассуждение (spatial reasoning), пространственное понимание (spatial insight), пространственный смысл (spatial sense), пространственная интуиция (spatial intuition) и пространственное восприятие (spatial perception). Однако все они имеют одну безусловную общую часть: понятие пространственного мышления используется для описания способностей, связанных с использованием пространства – способности взаимодействовать с пространственной окружающей средой и работать с пространственными образами.

Нам представляется наиболее естественным использовать три термина – пространственное восприятие, пространственное воображение и пространственное мышление в следующих смыслах. Под пространственным восприятием будем понимать психофизиологическую способность человека ориентироваться в окружающем пространстве, воспринимать пространственные объекты как единое целое, умение воспринимать взаимное расположение этих пространственных объектов, их размер и форму. Развитие пространственного восприятия не является предметом педагогической деятельности (нарушения пространственного восприятия относится скорее к области психофизиологии и психиатрии), но является основой для формирования пространственного воображения – способности представлять себе мысленно пространственные объекты, сначала просто как образы реальных предметов, а затем – уже как самостоятельные идеализированные объекты, и пространственного мышления – способности оперировать с этими сначала образами, а потом – идеальными объектами, с постепенной систематизацией геометрических действий в правила логического рассуждения.

К сожалению, школьники к моменту окончания школы не имеют зачастую даже элементарного геометрического воображения. Они могут дословно воспроизвести определение скрещивающихся прямых, но не могут эти прямые не только представить в своем воображении, но даже показать, какие ребра комнаты, в которой они находятся, являются скрещивающимися прямыми. Дети знают определение двугранного угла, но не понимают, что это – угол, например, между стеной и потолком. А уж о том, чтобы измерить величину этого угла, не может быть и речи.

Поэтому понятно, что главным условием развития геометрического воображения является работа с реальным материалом, с реальными вещами. Здесь мы приходим к очень важному, на наш взгляд, принципу материально-ориентированного образования: образование должно состоять в освоении предметов материального мира и действий в материальном мире с постепенным переносом этих предметов и этих действий в мир воображения. На наш взгляд это – единственный путь формирования настоящего геометрического мышления.


2. Узлы в развитии геометрического воображения.

Понятно, что развитие геометрического воображения можно осуществлять на различном материале, как каноническом, так и более современном: последние годы все большее место в геометрическом образовании школьников занимают графы, многогранники, мозаики, паркеты и т.п. Мы бы хотели предложить вниманию учителей и методистов еще один важный, наглядный и интересный геометрический объект – узел. Конечно, речь не идет о том, чтобы "воткнуть" в школьную программу еще один объект. Скорее всего, предлагаемый материал будет удобен и полезен именно для внеклассной работы, развивающей и расширяющей кругозор школьников.

С чисто учебной точки зрения узлы являются весьма благодатным материалом. Во-первых, дети осваивают завязывание узлов на ботинках и заплетание косичек еще до того, как научатся читать и считать. Умение шить и вязать для девочек или умение привязать канат к дереву и крючок к леске для мальчиков являются некоторыми "абсолютными" составляющими домашнего, бытового образования. С узлами мы имеем дело всю свою жизнь – от раннего детства до старости. Узлом завязываются и галстук, и нитка, узлом привязывается и коза к колышку, и буксир к автомашине. Узел как элемент человеческой культуры известен уже несколько тысяч лет. С глубокой древности те или иные традиции вязания узлов отличали один народ от другого, нередко эти традиции носили культовый характер (как, например, известный Гордиев узел) и являлись предметом профессиональных секретов: без умения вязать специальные узлы не бывает ни ткача, ни моряка, ни рыболова, ни альпиниста, ни спасателя, ни туриста. Таким образом, для изучения узлов в школе у школьников есть и вполне сформировавшаяся база навыков, и есть вполне естественные мотивации, как бытового характера, так и в плане профессиональной ориентации.

Во-вторых, узел – легко создаваемый объект. Из материалов не требуется ничего, кроме обычной веревки, карандаша и бумаги. Он может быть легко продемонстрирован и в классе, и дома, и в любом другом месте. Экспериментировать с узлом, преобразуя его собственными руками, могут школьники любого возраста и способностей, и именно это экспериментирование создает у них тот сплав осязательных и визуальных ассоциаций, из которых формируется пространственное восприятие и пространственное воображение. Для иллюстрации различных узлов имеется довольно много методических материалов с упражнениями и иллюстрациями, которые выполнены как в традиционной форме книг и брошюр, так и в виде Интернет-приложений и программных продуктов, позволяющих создавать и исследовать узлы на экране компьютера.

В-третьих, узлы легко изображаются, работа с диаграммами узлов позволяет школьникам развивать навыки перехода от плоских изображений к пространственным. Этот переход лежит в основе всего механизма пространственного воображения и умения рассуждать о пространственных объектах на плоских чертежах.

Наконец, изучение узлов дает преподавателю возможность продемонстрировать школьникам, что математическое рассмотрение любого объекта есть совершенно естественный процесс, который они вполне способны осуществлять самостоятельно, руководствуясь только соображениями здравого смысла. Несмотря на то, что еще никто не нашел способа полного и ясного описания всего многообразия узлов, и тем более невозможно сразу охватить всю запутанность и сложность, которую математики обнаружили при изучении узлов, тем не менее уже на уровне школы возможно хотя бы отчасти понять, как они изучают этот объект и в каких терминах и представлениях они формулируют своё знание.

Общая схема изучения узлов выглядит следующим образом:

Дети начинают с простого завязывания и развязывания узлов, затем осваивают их изображение на диаграммах, тренируются в соотнесении изображения и пространственного расположения узла, с помощью раскрашивания учатся делить узел на фрагменты.

Затем круг освоенных узлов расширяется и расширяется одновременно круг изучаемых фактов. Дети изучают, как геометрические свойства узла связаны с их функциональными свойствами, значимыми для практики (легко ли узел завязывается и развязывается, ползет ли под нагрузкой, не ослабляет ли прочность веревки и т.д.). Они осваивают движения, преобразования узлов. На основе чувственного опыта и путем экспериментирования они формулируют правила таких движений, выделяют основные типы движений. Параллельно формируется представление об эквивалентности узлов, появляется потребность в классификации.

Третий этап в изучении узлов уже приближается к научной системе представлений. Дети, отправляясь от уже известных им характеристик, приходят к основным инвариантам, позволяющим отличить один узел от другого. Здесь же устанавливаются связи узлов с арифметикой, алгеброй, другими разделами геометрии.



3. Основные сложности: зазор между жизнью и математикой

Основная проблема, с которой пришлось столкнуться при разработке этой темы – наличие существенного зазора между обыденными представлениями об узлах (которые, естественно, являются отправными при работе со школьниками) и математическим понятием узла. По существу разработанный цикл занятий «выстраивает путь» от обыденных представлений к математическим, показывая тем самым и необходимость математических представлений как результата естественного процесса уточнения и рафинирования представлений обыденных.

Понятие узла формируется постепенно, начиная от представления об узле на обычной веревке, которое сначала переносится в область воображения (узел на линии). Затем под влиянием идей, связанных с движением узлов, формируется представление об их эквивалентности, вычленяется представление об абстрактном узле как о «способе завязывания», как о «структуре» обычного узла, и мы вплотную приближаемся к математическому понятию узла как топологического объекта.

Геометрические представления об узлах развиваются прежде всего посредством их изображения и соотнесения изображения с реальным объектом. Изображение узлов начинается с простого проектирования, анализа структуры возникающих при проектировании пересечений и формирования правил изображения (что идет снизу, что сверху). Анализ таких изображений требует умения выделять на изображениях основные элементы – пересечения и дуги. Здесь эффективно используется раскрашивание. Постепенный переход от одного принципа раскрашивания к другому приводит нас, в конце концов, к одной из важных характеристик уже в математической теории узла – индексу раскраски, используемому для классификации узлов.

Очень непростым оказался путь от нормального узла на обычной веревке, концы которой свободны, к использованию узлов на замкнутой линии, характерному для математических рассмотрений. "Склеивание" концов веревки является самым нетривиальным моментом в процессе идеализации узла. Ведь для того, чтобы такая операция воспринималась как естественная, необходимо понять, что когда мы ведем разговор об обычном узле на обычной веревке и его свойствах, то мы, вообще говоря, фиксируем его концы каким-то образом, так, чтобы узел уже невозможно было развязать, и анализу подлежит именно такой узел. При фиксации концов оказывается несущественным, где именно находятся точки фиксации, их в принципе можно сблизить, и даже совместить их. Таким образом, узел на замкнутой линии возникает естественным образом как результат идеализации, а смысл такого рассмотрения узла – в том, что при изучении реальных узлов фиксацию концов можно всегда заменить их склеиванием между собой.

Введение системы движений для узлов также оказалось нетривиальным, так как оказалось, что из трех основных типов движения (изучаемых в математической теории узлов) два возникают непосредственно, естественным образом, а для введения третьего понадобилось подбирать специальные примеры, на которых видно, что первыми двумя типами движений обойтись нельзя, и необходимо использовать еще один.

И, наконец, значительная часть усилий потребовалась на введение идей инвариантов, то есть характеристик узла, не меняющихся при его преобразованиях и позволяющих поэтому доказывать, что один узел невозможно превратить в другой. Используемые в науке определения некоторых из инвариантов (индекс пересечения, число раскраски и т.п.) непригодны для непосредственного введения в школе. Путь же от обыденных, интуитивно понятных соображений, приводящий естественным образом именно к этим конструкциям инвариантных характеристик потребовал усилий, соизмеримых с построением самой математической теории.

Необходимость преодоления трудностей, связанных с наличием зазора между обыденными представлениями и научными, возникает не только в связи с теорией узлов. Она возникает и в таких уже ставших каноническими разделах школьной математики, как векторы или метод координат, дифференцирование и вероятность. Причем во многих разделах эти проблемы далеки от полного решения, так что наши подходы могут оказаться полезными и при работе со стандартной программой школьного курса математики. Такого же рода трудности возникают и в других предметах – и в биологии, и в химии, и в истории. Конечно, их преодоление требует огромных затрат труда, но эффект от такой работы, безусловно, важнее всяких затрат, так как он учит человека думать и ориентироваться в окружающем его материальном мире, а не заучивать научные термины и формулировки.

Ниже излагается материал для преподавания, рассчитанный на младших школьников (3-5 класс). Разработан цикл занятий для школьников 6-8 класса и еще один цикл для старшеклассников. Помимо чисто технического изложения хода занятий, мы обсудим результаты апробации некоторых занятий и обнаруженные при этом психологические детали, важные для построения методики.

Мы надеемся, что этот материал окажется интересным и полезным и для учителей, и для методистов.



Занятие 1. Знакомство с узлами

Предварительные замечания

Лучший способ сделать первый шаг в изучении узлов и в формировании представлений об узле в школе – реальное действие (завязывание, развязывание, игра, фокусы и т.д.) с некоторыми узлами, которые школьники знают или где- либо видели. Мы начинаем изучение с нескольких наиболее обычных и элементарных узлов. Изучение заключается в знакомстве с узлами, завязывании и развязывании узлов, в их изображении и раскрашивании.

На первом занятии школьники знакомятся с простейшими узлами: одинарный узел, восьмерка и двойной узел. Они учатся завязывать и развязывать узлы, сравнивать их между собой, обращают внимание на элементы узлов. Необходимые материалы – три больших макета узлов, веревки и рисунки. Занятие рассчитано на учеников 3-5 классов.

Ход занятия


  1. Введение

Объяснение предмета изучения и раздача материалов для занятия.

  1. Опрос учеников

Где и как узлы используются? Список возможных ответов:

а) в мореплавании

б) в альпинизме

в) в завязывании шнурков

г) в рыбной ловле

д) в спасательных работах

е) в шитье

ж) в вязании

з) в плетении ковров

и) в завязывании галстуков

к) в медицине

л) в производстве тканой и сетей

м) в играх и фокусах

н) для причесок и при заплетении косичек

Скорее всего, ученики назовут применения узлов, указанные в а)-г), возможно назовут д)-е) скорее всего, не назовут ж)-н). Учителю необходимо будет записать ответы учеников на доске и дополнить эти ответы до полного списка.

Сколько узлов они знают? (желательно, чтобы ученики подтвердили свое “знание“ демонстрацией того, как эти узлы завязываются и развязываются). Скорее всего, ученики смогут продемонстрировать завязывание одинарного узла или «бабьего узла» (которым обычно завязывают шнурки). Возможно, они покажут умение итерировать действия – сначала завяжут одинарный узел, а потом, сверху него–ещё один одинарный узел. Некоторые могут продемонстрировать просто «запутывание» веревки произвольным образом.




  1. Одинарный узел

Преподаватель показывает одинарный узел, демонстрирует, как его завязать и просит учеников завязать этот узел. Для удобства можно использовать раздаточный материал – рисунки (рис.1(а) и (б)), показывающие, как можно завязывать одинарный узел.



(а) (б) (в)

Рис. 1

Затем учитель показывает, как завязать одинарный узел «в обратную сторону» (рис.1(в)) и просит учеников повторить это. Следующее задание – парное. Каждой паре учеников нужно создать оба варианта одинарного узла (один делает один вариант, другой – другой), показать друг другу, сравнить эти варианты и описать их свойства. Важно чтобы они обратили внимание на такие свойства узла, как характер пересечения (что находится сверху, что снизу), на последовательность этих пересечений, чтобы, они увидели детали узла и их взаимное расположение, обратили внимание на сходство и различие этих двух узлов. Затем можно попросить школьников завязать на одной и той же веревке два одинаковых и два «противоположных» одинарных узла.



  1. Восьмерка

Преподаватель показывает узел «восьмерка», который он приготовил заранее. Затем просит учеников завязать «восьмерку». Завязать восьмерку труднее, чем одинарный узел и учителю, возможно, придется несколько раз показать, как это сделать. На рис.2 (а) и (б) показан процесс завязывания. Затем – демонстрация завязывания восьмерки «в обратную сторону» (рис.2(в)) и учеников просят повторить и это действие. Затем ученики в парах создают оба варианта восьмерки (один делает один вариант, другой – другой) и показывают друг другу. Для того чтобы ученики хорошо изучили узел, можно, как и раньше, на одной и той же веревке завязать две одинаковых и две противоположных восьмерки.



(а) (б) (в)

Рис. 2
5. Объяснение

Необходимо объяснить ученикам, что они начали изучать узлы точно так же, как это делают ученые. Когда они что-то изучают, то прежде всего берут несколько простейших случаев, смотрят и разбираются, из чего изучаемая вещь состоит, какие составляющие её элементы важны, какие свойства у них есть. Что у разных случаев есть общего и чем они отличаются. Сначала удается обнаружить самые простые свойства. Разобравшись же с простыми и легкими случаями, они обнаруживают, что и в более сложных и интересных случаях понимают их устройство. Именно это побуждает математиков, занимающихся теорией узлов, создавать новые узлы и собирать дополнительные наблюдения об известных. Попросите школьников начать собирать свои наблюдения об узлах (как узлы называются, как завязываются и развязываются, какие их свойства важны, где применяются) и записывать их.



6. Двойной узел

Сначала, как раньше, учитель показывает школьникам двойной узел, который он заранее приготовил, затем повторяется все, что делалось для двух других узлов. Рис.3 поможет школьникам научиться завязывать двойной узел.



Рис. 3

(а) (б)

При завязывании этого узла можно сделать несколько оборотов и получить подобные кратные узлы (тройной, четверной и т.д.). Этот процесс показан ниже (рис.4):





(а) (б) Рис. 4
7. Домашние задание

Завязать данные узлы (рис.5) и сравнить их с узлами которые изучали на занятии. Какие из этих узлов «родственны» одинарному узлу, восьмерке, двойному, кратному узлу? Чем они похожи на родственные узлы и чем они отличаются?





(а) (б) (в) (г)
Рис.5
8. Заключительные замечания

Ход занятия был апробирован в иранской школе в Москве. В эксперименте участвовали 20 учеников третьего–пятого класса (возраст 9-11 лет, в соответствии с системой образования Ирана [15]). Ход занятия полностью соответствовал нашему изложению. Однако обнаружились «трудности» чисто психологического характера: оказалось, что школьникам 3-его класса (9лет) трудно разобраться с ориентацией узлов (прямой – обратный). При выполнении задания на завязывание двух противоположных узлов они, как правило, завязывают два одинаковых. По–видимому, это связано с отсутствием в этом возрасте достаточно развитой пространственной ориентации (о чем писал, например, Пиаже [2]). Для преодоления этой проблемы как раз удобно использовать рисунки, на которых рядом изображены два противоположно ориентированных узла.


Занятие 2. Изображение узлов

Предварительные замечания

На этом занятии школьники изучают, как изображать трехмерные узлы на бумаге. Материалом для этого являются три узла, с которыми ученики работали на первом занятии, несколько кусков веревки и бумага для рисования диаграмм.

Мы обычно описываем узлы, рисуя картинки, называемые диаграммами узла. Диаграмма узла – проекция на плоскость, или «тень» узла. Направление проектирования выбирается так, чтобы каждая точка на диаграмме была образом не более чем двух точек исходного узла. Каждая точка, которая является тенью двух точек на узле, называется пересечением, и пересечения на диаграмме узла рисуются с разрывом одной из линий, чтобы показать, какой фрагмент находится сверху, а какой снизу.

Ход занятия

1.Изображение пересечений

Учитель просит школьников нарисовать две улицы, которые пересекают друг друга. Благодаря тому, что эти улицы находятся на одном уровне, изобразить их пересечение не очень трудно. Ученики, скорее всего, нарисуют диаграммы похожие на следующие (рис.6) :



Рис. 6

После этого он просит их изобразить улицу, пересекающую другую через мост. Теперь улицы находятся в разных плоскостях в трехмерном пространстве, и это надо как-то отобразить. Надо помочь школьникам получить ответ. Хорошим примером является и мост через реку или ручей. Однако необходимо учитывать, что маленькие дети рисуют реку не вдоль, а поперек, и в результате может получиться рисунок вида 7 в). Учителю необходимо просуммировать и объяснить все ответы. Затем он может на доске изобразить диаграммы, похожие на те, что даны на рис.7 а)-б) (Лучше приготовить эти диаграммы заранее).





(а) (б) (в)

Рис. 7

Теперь школьникам предлагается сравнить рисунки 6 и 7 а)-б). Можно попросить изобразить их проще (например, предложить школьникам представить, как это будет выглядеть с большой высоты или просто издалека). Желательно, чтобы они сами нашли самые простые изображения (рис.8). Необходимо попросить школьников объяснить, какова разница между рисунками 8 б) и 8 в)? Что означают эти рисунки? Эти два пересечения называются противоположными, их можно получить друг из друга, поменяв ролями линии идущие сверху и снизу.



Рис. 8

(а) (б) (в)
2. Диаграмма и узел

Следующее упражнение состоит в том, чтобы сделать в парах из веревки фигуры, изображенные на рис. 9 и сравнить их (или наоборот: сначала можно показать школьникам веревочные фигуры и попросить нарисовать их на бумаге).





(а) (б) Рис. 9

Это же упражнение нужно проделать и для фигур, изображенных на рис.10.





(а) (б) (в) (г)

Рис. 10

Очень важно, чтобы ученики научились работать с диаграммами «в обе стороны»: и выкладывать веревочные фигуры по их изображению на диаграмме, и изображать уже имеющиеся фигуры. Это позволяет им сформировать естественную связь между реальным веревочным узлом и его изображением.

Для завершения этого этапа занятия можно сравнить четыре диаграммы, изображенные на рис. 10, и объяснить их различия. Учитель может предложить ученикам еще несколько упражнений на отыскание различий с другими диаграммами.
3. Изображение одинарного узла

Ученикам предлагается изобразить одинарный узел (два варианта), который они сами создавали на первом занятии. Возможные изображения представлены на рис.11. У школьников есть два варианта одинарного узла и диаграммы этих вариантов, которые дают им возможность сравнивать, находить подобия и различия.



Рис. 11

(а) (б)

Учитель должен заранее приготовить эти рисунки на большом листе и использовать на занятии. Когда школьники смотрят на такие фигуры, а потом рисуют их на бумаге, они осваивают технику символического изображения узлов и их свойств, и могут повторить этот процесс, в других ситуациях. При сравнении двух одинарных узлов ученики знакомятся с представлением о зеркальном отображении, которое будет вводиться на одном из следующих занятий. После рисования диаграммы одинарного узла учитель может предложить такие вопросы:



а. Какая разница между двумя диаграммами одинарного узла?

б. Как можно получить одну диаграмму из другой? Какие изменения нам нужно сделать? (ответ: заменой в диаграмме всех пересечений на противоположные.)

Затем школьникам надо сравнить две диаграммы, изображенные на рис. 12 и сказать чем они отличаются, и что произойдет, если потянуть за концы?



Рис. 12

(а) (б)

4. Изображение «восьмерки»

Теперь нужно изобразить узел «восьмерка», с которым школьники также работали на первом занятии. Снова у нас имеется два варианта: (см. рис.13).



Рис. 13

(а) (б)

Нужно, как и в п.3, задать вопросы, (а) и (б) и попросить школьников изложить свою точку зрения и свои наблюдения. Кроме того, можно задать очень важный вопрос: можно ли путем манипуляций с веревкой получить одну восьмерку из другой? Как ответить на этот вопрос, если вместо восьмерки рассмотреть одинарный узел?

Может быть, школьникам будет интересно узнать, что для восьмерки это возможно, а для одинарного узла – нет. Это дает предварительное представление для важного понятия эквивалентности узлов, которое будет обсуждаться в старших классах.
5. Домашние задание

В каждой из нарисованных диаграмм (рис.14) изменить одно пересечение на противоположное так, чтобы получившийся узел, при натягивании веревки исчезал.





(а) (б) Рис. 14


Занятие 3. Раскрашивание узлов

Предварительные замечания

На этом занятии школьники раскрашивают диаграммы узлов для того, чтобы лучше понимать структуру узлов. Кроме того, с раскрашиванием диаграмм связан один из важнейших инвариантов (понятие инварианта будет вводиться в старших классах).



Ход занятия

1. Понятие дуги

Сначала необходимо объяснить, что такое дуга. На диаграмме узел изображен так, что в каждом пересечении линия, идущая снизу, «разрезается» на две части. В результате линия, изображающая узел, разбивается на фрагменты, которые и называются дугами.



2.Задание

Определить количество дуг на рис 9-11. В каждой из фигур рис.9 имеется две дуги, в каждой из фигур рис.10 – три, а в каждом из одинарных узлов рис. 11 – четыре. Раскрашивание каждой дуги в свой цвет позволяет наглядно увидеть разбиение диаграммы на дуги.



3.Раскраска простейших фигур

Преподаватель просит школьников раскрасить диаграммы на рис.9 так, чтобы каждая дуга имел свой цвет. Спросите, сколько цветов нужно использовать? Как количество цветов связано с количеством дуг? Возможные варианты раскраски даны на рис.15.



(а) (б) Рис.15

Теперь школьникам надо раскрасить диаграммы на рис.10 и ответить на те же вопросы. Один из возможных вариантов раскрашивания приведен на рис.16. Здесь использована раскраска в 2 и в 3 цвета. Нужно попросить школьников сравнить эти варианты раскраски и выбрать лучший. Почему этот вариант лучше? Желательно, чтобы школьники сами указали, что на рис.16 а) одна пара из стыкующихся друг с другом дуг имеют одинаковый цвет и поэтому нам трудно отличить их друг от друга.



(а) (б) Рис.16

4.Раскраска одинарного узла

И здесь школьникам надо определить количество дуг на диаграмме одинарного узла и раскрасить эту диаграмму. Некоторые возможные ответы для одного из вариантов одинарного узла даны на рис.17. Использована раскраска в 4, 3 и 2 цвета. Может оказаться, что некоторые школьники раскрашивают немного по-другому. Но учителю надо суммировать их ответы и сократить похожие и лишние ответы и объяснить, что общие раскрашивания будут такие, как на рис. 17.





(а) (б) (в)

Рис.17

Вопросы: Какая раскраска дает лучшее представление о структуре узла? Чем отличаются друг от друга три варианта раскраски на рис.17? Какой из них лучше, какой хуже? Чем плох вариант (в)? Существенно ли вариант (б) хуже, чем (а)? Какие требования нужно предъявлять и раскраске, чтобы она была «хорошей»? Важно, чтобы школьники сами сказали, что:

а) Раскраска должно дать хорошее представление о структуре узла.

б) Количество цветов при раскрашивании не обязательно равно количеству дуг.

в) В каждом пересечении желательно, чтобы все три дуги имели разные цвета.

Ответы школьников необходимо резюмировать в виде «1-го принципа раскраски»: Раскраска будет «хорошей», если в каждом пересечении все три дуги, образующие пересечение, имеют разные цвета.

Школьников надо попросить раскрасить и другой вариант одинарного узла (зеркальное отражение одинарного узла). Как и в предыдущем случае, при раскраске тремя цветами придется раскрасить концевые дуги одним цветом, а две остальные – в два других цвета.

5. Раскраска узла «восьмерка»

Постепенно, когда количество пересечений и дуг в диаграмме узла увеличивается, возникает ряд естественных вопросов. Какая связь существует между количеством дуг и количеством цветов? Можно ли всегда раскрашивать разные узлы так, чтобы на каждом пересечении получались три разных цвета? И т.п. Ответы на эти вопросы нетривиальны и требует уже научной системы представлений. Мы же пока даем школьникам только предварительное представление о раскрашивании узлов.

Теперь нужно раскрасить узел «восьмерку» и ответить на вопросы, аналогичные предыдущим. Некоторые возможные ответы для одного варианта узла восьмерки даны на рис.18., где использовано 2, 3, 4 и 5 цветов.



(а) (б) (в) (г) Рис.18

Рис.18 а) не дает нам возможности увидеть структуру и особенности узла. Надо попросить школьников, используя разные варианты раскраски, выяснить, возможна ли хорошая раскраска с помощью двух цветов.

Следующее задание состоит в том, чтобы поменять раскраску на рис.18 г) четырьмя цветами так, чтобы на каждом пересечении были три разных цвета. Это очень легко получается. Например, можно раскрасить концевые дуги зеленым цветом и получить рис 19 а), который похож рис.18 в). Вопрос ученикам: можно ли считать эти раскраски «хорошими»? Рисунок 19 а) явно «хороший» – на нем мы использовали четыре цвета и в каждом пересечении все три дуги, образующие пересечение, имеют разные цвета. Можно ли сделать «хорошую» раскраску тремя цветами? Для того чтобы дать точный ответ на последний вопрос, нам надо изучить рис. 18 б) подробнее. Нужно спросить школьников, чем хуже 18 б) относительно 18 в)? Видно, что только на одном пересечении 18 б) у нас три разные цвета. Можно ли преодолеть эту недостаток? Например, что получается, если ещё раз раскрасим концевые дуги одним цветом? Как показано на рис19 б), указанный недостаток ещё остался.

Рис.19

(а) (б)

Теперь школьникам надо выяснить, используя разные варианты раскраски, возможна ли «хорошая» раскраска с помощью трех цветов. На самом деле можно доказать, что нельзя раскрасить восьмерку тремя цветами так, чтобы на каждом пересечении получались разные цвета. Нужно помочь школьникам самим обнаружить доказательство. Опишем этот процесс. На рис.20 а) показана диаграмма восьмерки, на которой дуги перенумерованы 1, 2, 3, 4 и 5. Удобнее всего, чтобы не пропустить какую-нибудь дугу и не занумеровать одну и ту же дугу два раза, осуществлять нумерацию вдоль линии, образующей узел. Начинаем раскрашивать восьмерку, выбирая три цвета – синий, черный и красный для дуг 1, 2 и 4. Тем самым три соседние дуги, как показано на рис.20 б), можно раскрасить тремя цветами. Далее у нас осталось раскрасить две остальные дуги – 3 и 5. Для того чтобы 1-й принцип раскраски выполнялся (разные цвета в каждом пересечении), надо выбирать один из трех цветов для раскрашивания дуги с номером 3. Поскольку в точке A она смыкается с дугами 2 (красная) и 4 (черная) мы можем окрасить её только в синий цвет (рис.20 в)). Попросите школьников раскрасить пятую дугу. Поскольку в точке B она смыкается со 2-ой (красной) и 3-ей (синей) нам остается использовать для её раскрашивания только черный цвет. Теперь (как показано) на рис.20 г)) в пересечении C мы получаем две разных дуги (4 и 5), окрашенных одинаковым цветом.





(а) (б) (в) (г)

Рис.20

Таким образом, восьмерку невозможно раскрасить в три цвета так, чтобы наше условие (в каждом пересечении дуги имеет разный цвет) было выполнено.



6. Домашние задание

Раскрасить узлы, изображенные на рис.21. (учитель может задать разные дополнительные условия раскрашивания)





(а) (б) (в) (г)

Рис.21
Литература
[1] Антропов Д.М. Как завязывать узлы: 38 надежных испытанных узлов. М.: Наука. Физматлит, 1995. – 32 с.

[2] Пиаже Ж. Суждение и рассуждение ребенка. СПБ: СОЮЗ,1997.

[3] Сосинский А.Б. Узлы и косы (Серия: «Библиотека „Математическое просвещение"») М.: МЦНМО, 2001. – 24 с.

[4] Мантуров В.О. Лекции по теории узлов и их инвариантов. М.: Эдиториал УРСС, 2001. – 304 с.

[5] Каплунович И.Я. Развитие пространственного мышления школьников в процессе обучения математике. Новгород. 1996. 100 с.

[6] Malkevitch J. Finding room in the curriculum for recent geometry. Mammana, C. & Villani, V. (Eds.) Perspectives on the teaching of geometry for the 21st century, 18-24. Dordrecht: Kluwer, 1998.

[7] Jones K. Critical Issues in the Design of the School Geometry Curriculum // Invited paper in Bill Barton (Ed), Readings in Mathematics Education. Auckland, New Zealand: University of Auckland, 2000.

http://www.soton.ac.uk/~dkj/geompub.html



[9] Clausen-May T., Jones K., McLean A., Rollands S. Perspectives on the Design of the Geometry Curriculum // Proceedings of the British Society for Research into Learning Mathematics, (2000), 20(1&2), 34-41.

[10] Clements D.H., Battista M.T. Geometry and Spatial Reasoning // Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, edited by Douglas A. Grouws. New York: Macmillan and Reston, Va.: National Council of Teachers of Mathematics, 1992. pp. 420-464.

[11] Sinan O. Making Connections: Improving Spatial Abilities with Engineering Drawing Activities // International Journal of Mathematics Teaching and Learning. April 2003 http://www.ex.ac.uk/cimt/ijmtl/ijabout.htm

[12] Barr S. Experiments in Topology. Dover Pubns: Reproduction edition, 1989.

[13] Buck G. Why Knots?

http://www.knots.org/exhibit/whyknots.html



[14] A vision for the learning and teaching of school geometry,

http://www.wcape.school.za/malati/Vision.pdf



[15] Рейхани Э. Система среднего образования в Иране // Ломоносовские Чтения: Научная конференция: Сборник статей и тезисов. Вып. 2 / Под ред. Н.Х. Розова.- М.: МАКС Пресс, 2004. с.41-44.






База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница