Упругопластические задачи строительной механики в ansys ю. П. Артюхин



Скачать 62.16 Kb.
Дата07.05.2016
Размер62.16 Kb.
Упругопластические задачи строительной механики в ANSYS

Ю. П. Артюхин

Казанский государственный университет, Казань, Россия

Пакет ANSYS является универсальным средством при решении многих задач механики деформируемого тела. Тем не менее, неизвестна достоверность ряда результатов ANSYS, в особенности в нелинейных задачах. Ниже предпринята попытка дать оценку решений некоторых упругопластических задач строительной механики, получаемых в ANSYS, в сравнении с точными модельными решениями [1] следующих задач: анализ несущей способности фермы, упругопластическая деформация растянутого стержня, упругопластический изгиб балки. В качестве модели упругопластичности использована теория течения для материала с изотропным упрочнением, для которого справедливы уравнения Прандля-Рёйсса и условия пластичности Губера-Мизеса:



, ,

где – компоненты девиаторов напряжений и деформаций, – интенсивность нормальных напряжений, – интенсивность приращения пластических деформаций, – модуль сдвига. Пусть экспериментальная зависимость между напряжениями и деформациями аппроксимируется билинейным представлением с двумя модулями: (упругий модуль) и (пластичный модуль).



1. Анализ несущей способности фермы. Поставим задачу определения упругопластических перемещений и напряжений в трехстержневой ферме при действии вертикальной нагрузки F. Все стержни одним концом шарнирно прикреплены друг с другом, другим концом  к плоскости. Стержень 2 расположен вертикально и имеет длину l = 100 дюйм = 254 см, стержни 1 и 3 наклонены к стержню 2 под углом  = 30°. Все стержни имеют площадь поперечного сечения S = 1 дюйм2 = 6.4516 см2, изготовлены из одного материала без упрочнения, моделируемого билинейной аппроксимацией с модулем упругости E = 3·107 фунт/дюйм2 = 2.10921·106 кг/см2, напряжением текучести Т = 3·104 фунт/дюйм2 = 2109.21 кг/см2 (1 фунт = 453.592 г = 0.453592 кг), . Решение упругой задачи в усилиях имеется в [2]. Вычисления показывают, что в стержне 2 развиваются пластические деформации при нагрузке P1 = 31.3 т, предельная нагрузка PТ = 37.2 т. Напряжения в стержнях 1 и 2 при нагрузке F = P1: N1 = 1581.91, N2 = 2109.21. Упругое вертикальное смещение нижнего узла при нагрузке P1 равно u2 = 0.254 см. Аналогичное перемещение uТ этого узла при нагрузке PТ находится из условия совместности деформаций стержней и равно uТ = 0.339 см.

Если при достижении фермой потери несущей способности при F = PТ снять нагрузку, то произойдет разгрузка стержней. Упругие деформации исчезнут, но сохранятся остаточные напряжения, деформации и перемещения. Остаточные напряжения O1 = O3 = 229.358, O2 = -397.259, а остаточные вертикальные перемещения составляют 0.037 см.

Задача упругопластического деформирования конструкции является физически нелинейной, так как зависимость между напряжениями и деформациями нелинейна. Задача решается методом последовательных нагружений (метод упругих решений), на каждом этапе которого решается упругая (линейная) задача с кусочно-переменным модулем упругости. Этот модуль на каждом шаге нагружения корректируется по кривой напряжения – деформация, т.е. ведется итерационный процесс. Если итерационный процесс сходится, то его принимают за решение нелинейной задачи. В ANSYS этот процесс автоматизирован с помощью выбора шага нагружения и разбиения процесса на этапы и подэтапы. Нелинейные свойства материала задаются командами TB, TBDATA. Второй аргумент команды TB может быть BISO – модель изотропного упрочнения материала, BKIN – модель кинематического упрочнения и другие модели. Команда TBDATA определяет экспериментальные табличные данные зависимости напряжения – деформации (точки излома кривой по напряжениям).

При проведении итерационного процесса на экране появляется графическое окно, в котором демонстрируется динамика процесса сходимости решения в различных нормах по перемещениям и усилиям в зависимости от числа итераций. В данном случае для двумерного двух узлового элемента LINK1 с 2 степенями свободы понадобилось порядка 15 итераций для совпадения результатов с точным решением.

2. Упругопластические деформации при растяжении стержня. На стальной стержень (билинейная модель с изотропным упрочнением: модуль упругости E = 2·106 кг/см2, пластический модуль Ep = 2·104 кг/см2, напряжение текучести Т = 1600 кг/см2) действует продольная нагрузка P на расстоянии a от края x = 0. Края стержня x = 0 и x = l закреплены. Длина стержня: l = 3a, a = 100 см, площадь поперечного сечения F = 10 см2.

Рассматривая упругопластические деформации найдем Pу – наибольшую нагрузку, при которой стержень еще будет в упругом состоянии: Pу = 1.5ТF = 24000 кг. Упругое перемещение точки приложения нагрузки будет равно 0.08 см. Если справа от нагрузки напряжения достигнут предела текучести при сжатии -Т, то можно определить нагрузку Pуп, которая приводит к этому состоянию: Pуп = 32160 кг. При этой нагрузке напряжения равны: уп = {1616, -1600}, а деформации будут{0.0016, -0.0008}. Отсюда перемещение точки приложения нагрузки равно 16 мм. Решение этой задачи в пакете ANSYS с помощью элемента LINK1 при 3 итерациях дает такие же результаты.



3. Упругопластические деформации при изгибе балки. Рассмотрим изгиб шарнирно опертой балки силой P, приложенной в середине пролета (длина балки 2L = 600 см). Сечение балки прямоугольное шириной b = 10 см, высотой h = 15 см. Материал балки идеально упругопластический с модулем упругости E = 2·106 кг/см2 без упрочнения, имеющий предел текучести Т = 2500 кг/см2, предельная сила, при которой балка еще работает в пределах упругости, Pу = 6250 кг, предельная сила Pпp = 9375 кг, P = 9240 кг. Величина силы P выбирается для решения задачи изгиба балки, находящейся в упругопластическом состоянии, при нагружении по 6 шагам в цикле от Pу с шагом 598 кг. Разница между предельной пластической нагрузкой и нагрузкой P составляет 135 кг. При большем значении нагрузки P итерационный процесс в программе ANSYS расходится.

Если обозначить половину расстояния пластической зоны от точки приложения силы до границы упругой зоны по оси x для силы P через c0, а для силы Pпp через c, то c0 = 97.08 см, c = 100 см и мало отличаются между собой.

Интегрируя уравнения моментов при Pу, получаем функцию упругого прогиба wу= 9.25926·10-8(-5.4·107+900x2-x3), из которой находим максимальный прогиб под силой, равный –5 см. Для получения упругопластического прогиба разобьем пролет на две области: упругопластическую (|x| < c0) и упругую (|x| > L-c0). В упругопластической и упругой областях точные значения прогибов балки примут вид:

, ,

причем в упругопластической области изгибная жесткость будет переменной величиной по длине пролета.

Точное значение максимального прогиба от действия силы P равно 9.30879 см. Для предельной силы Pпp максимальный прогиб составляет 11.11 см.

Вычислим фиктивный упругий прогиб W под нагрузкой P:



.

Согласно закону о разгрузке остаточный прогиб wО при снятии силы P равен разности прогибов текущего и фиктивного упругого прогиба:





wО2 = -2.02233+0.00674109·x

Максимальный остаточный прогиб составляет -1.91679 см.

Учитывая симметрию задачи относительно нагрузки, будем решать в ANSYS задачу изгиба защемленной консоли нагрузкой P/2. В этом случае прогиб консоли на конце будет равен максимальному прогибу опертой балки по абсолютной величине. Для расчета выберем конечный элемент Beam23  двумерный плоский пластичный балочный элемент (балка Бернулли-Эйлера), который имеет 3 степени свободы в 2 узлах (перемещения и угол поворота). Разбивая половину длины балки на 5 элементов, используя метод Ньютона-Рафсона с адаптивным спуском решения нелинейных уравнений и задавая точность вычислений по смещениям и углам поворота 0.0001 в норме L1, получим значения прогибов в 5 узлах. Аналогичные значения получим для упругого и остаточного прогиба. Решение ANSYS совпадает с точным решением только для предельно-упругой нагрузки Pу. При дальнейшем увеличении нагрузки итерационный процесс начинает расходиться. Разница максимальных прогибов с точным решением составляет 9.6% с недостатком. Область пластических деформаций затрагивает только полтора элемента (c0 = 90 см.), в то время как точное значение c0 = 97 см. Теоретически можно улучшить результаты, если разбить балку на большее число элементов. К сожалению, программа не позволяет этого сделать, так как при увеличении количества элементов итерационный процесс расходится. Сходимость достигается 120 итерациями.

Применим другой элемент из библиотеки ANSYS Beam189 – пространственный элемент (балка Тимошенко), имеющий 6 степеней свободы в каждом узле. Всего – 4 узла, один из которых является ориентационным и предназначен для указания направления локальной системы координат элемента. Для сходимости достаточно 6 итераций в норме L2.

Из полученных результатов следует, что значение максимального прогиба при активном процессе нагружения равно 10.3675 см, при разгрузке равно – 2.9607 см. Результаты, даваемые элементом Beam189, завышены. При использовании элемента Beam23 результаты получаются заниженными. Среднеарифметические значения этих результатов отличаются на 0.9 и 1.3%.

На рисунке показано сравнение остаточного (верхняя кривая), упругого (средняя кривая) и упругопластического прогибов (нижняя кривая). Приведено окончательное сопоставление точного решения со среднеарифметическими значениями результатов, полученными на основе элементов Beam23 и Beam189. Эти графики демонстрирует поразительное совпадение средних значений прогибов с точными прогибами.

Литература

1. Артюхин Ю.П. Строительная механика в пакетах «MATHEMATICA» и «ANSYS». – Казань: Казанский гос. ун-т, 2009. – 120 с.



2. Тимошенко С.П., Гере Дж. Механика материалов. – М.: Мир, 1976. – 669 с.


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница