Учебное пособие «Физика природной среды»



страница25/26
Дата10.05.2016
Размер1.48 Mb.
1   ...   18   19   20   21   22   23   24   25   26

6.3. Статистика волн и применение спектральных методов

Всякий, кто вглядывался в неспокойное море, знает, что редко удается дать его простое описание, используя плоские волны. Поверхность реального океана в любое мгновение имеет сходство с довольно нерегулярной пространственной картиной впадин и гребней различных размеров, форм и ориентации. В следующий момент возникает новая, очень сложная картина, часто мало похожая на предыдущую. Дать описание и понимание динамики случайного состояния поверхности моря призваны статистические, вероятностные методы.

Для полной характеристики морского волнения необходимо знать бесконечномерный закон распределения возвышения волновой поверхности, однако для практических целей обычно применяются более простые вероятностные характеристики, описывающие волнение лишь приближенно. К таким характеристикам относятся энергетический спектр волнения и функции распределения элементов волн. Параметризуя спектры и функции распределения и используя равномасштабную изменчивость параметров, можно получить данные, необходимые для описания волнового климата, так как от статистики параметров нетрудно перейти к статистическому описанию той реальной волновой поверхности, которая непосредственно воздействует на суда, сооружения и берега.

6.3.1. Расчет энергетического спектра

Вычисление энергетических спектров морского волнения на основе реальных данных осуществляется в соответствии с хорошо известными в теории математической статистики алгоритмами.

Остановимся кратко на двух используемых методах расчета энергетических спектров. Первый метод (метод Блекмана–Тьюки) заключается в расчете автокорреляционной функции, которая затем сглаживается и с помощью преобразования Фурье дает спектр.

Разработанный недавно метод быстрого преобразования Фурье (БПФ) позволяет непосредственно подсчитать коэффициенты Фурье временных рядов без промежуточной оценки автоковариационной функции. В методе БПФ ряд сначала разделяют на очень малые части (где возможно, вплоть до отдельных точек), для которых очень легко подсчитать коэффициенты Фурье, а затем на основе коэффициентов Фурье для коротких рядов получается спектр полного ряда. Для ряда N точек по методу БПФ нужно выполнить только 2N log2 N операций по сравнению с N2 операциями, необходимыми по методу Блекмана–Тьюки. Поэтому понятно, что метод БПФ стал очень популярным при анализе длинных геофизических временных рядов; однако, поскольку часто необходимо иметь данные о автокорреляционной функции, то метод Блекмана–Тьюки, хотя он и более медленный, является иногда предпочтительным, так как дает как автоковариацию, так и спектр.

Рассмотрим временной ряд y(t), состоящий из величин, заданных в четном числе регулярно расположенных точек при временах t = 0, Δ, 2Δ, ..., (N – 1)Δ. Из этих величин может быть составлен ряд Фурье для гармоник основной частоты fI = I/NΔ (размерность — цикл в секунду). Поскольку точки с данными разделены конечным интервалом времени, только конечное число гармоник входит в ряд Фурье. Наивысшая частота, которая может быть обнаружена с помощью данных, отобранных через интервалы Δ, это fN/2 =1/2 Δ, что является 1/2 N-ой гармоникой. Эта частота называется частотой Найквиста. Дискретный ряд Фурье для такого представленного в цифровом виде сигнала есть конечная сумма вида

где ωn = 2πm/NΔ.

Коэффициенты Фурье записываются как



Из этих коэффициентов Фурье можно составить энергетический спектр, который является мерой распределения дисперсий по различным составляющим ряда Фурье. Энергетический спектр для случая дискретной выборки имеет вид:

Здесь T = NΔ — протяженность временного ряда.

Естественным видом представления энергетического спектра является график зависимости S(ω) от ω. В некоторых случаях, однако, когда ω изменяется в широких пределах, удобнее пользоваться логарифмическим масштабом частоты. Тогда целесообразно построить зависимость ω S(ω) от lg ω так, что полная площадь под построенной кривой остается равной полной дисперсии для временного ряда. Можно иллюстрировать распределение дисперсии по частотам, строя квадрат коэффициентов Фурье (am)2 при дискретных частотах ωm. Результирующий график называется периодограммой или линейным спектром Фурье.



6.3.2. Интерпретация волновых спектров

Анализ энергетических спектров волнения используется для более глубокого понимания серийных экспериментальных данных. Например, пики в спектре являются прямым свидетельством наличия большой энергии в узких частотных полосах вокруг пиков.

Спектры часто показывают такие регулярные черты, как области степенных законов, в которых S(ω) ~ (ω)a. Простой пример того, как вид спектра может быть связан с физикой изучаемого явления, получается при рассмотрении равновесной области спектра поверхностных гравитационных волн.

Большая часть спектра (рис. 6.3.1), построенного в логарифмических шкалах, дает резкую зависимость типа 10-5. Этот спектральный закон был обнаружен Р. Филлипсом и может быть объяснен следующим образом.

Рассмотрим волны достаточно больших длин и периодов, так что капиллярным эффектом можно пренебречь. В равновесных условиях такие волны будут терять энергию главным образом при обрушении с той же скоростью, с какой они получают ее от ветра. Скорость потери энергии при обрушении волн, зависящая только от g (ускорение силы тяжести) и ω (частоты), определяет форму спектра в этом диапазоне частот. Рассматривая S(ω) как спектр возвышений поверхности, видим, что S(ω) должно иметь размерность [L2T]



Здесь α — безразмерная постоянная, S(ω) является единственной комбинацией степеней g и ω с размерностью S(ω), коэффициент (2π)-4 вводится для удобства. В настоящее время наиболее широкое применение нашла аппроксимация частотного спектра ветрового морского волнения, предложенная Давиданом И. В., учитывающая разделение его гравитационной области на три частотных интервала. Она имеет следующий вид:

Параметрами в аппроксимации служат: частота основного спектрального максимума ωmax; верхняя и нижняя границы переходного интервала гравитационной области ωp1, ωn; нулевой момент спектра, усеченного на частоте ω = ωn и величина n. Через ωp2 обозначена верхняя граница равновесной области спектра.

На стадии развития волнения четыре из перечисленных параметров ωn, ωp1, m0n) и n связаны с безразмерной частотой основного спектрального максимума ω̃max = U ωmax/g (U — скорость ветра на высоте 10 м) следующими соотношениями:



Из приведенных соотношений видно, что достаточно знать частоту основного спектрального максимума и скорость ветра, чтобы рассчитать частотный спектр ветровых волн.

Полезны и другие статистические распределения волновых полей. Например, важной статистической характеристикой при регистрации волны является распределение амплитуды смещений в анализируемом волновом поле. Это распределение может характеризоваться вероятностью того, что некоторая заданная волна имеет амплитуду, превышающую определенную величину. Аналогичные вероятностные распределения могут быть построены для волновых наклонов или для течений. Такого рода статистические характеристики имеют общепризнанный интерес в области теории и наблюдения гравитационных поверхностных волн.


1   ...   18   19   20   21   22   23   24   25   26


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница