Теплопроводность в дробном исчислении: приложения к нестационарным методам определения теплофизических характеристик веществ и к задаче стефана

Специальность 01.04.14 – Теплофизика и теоретическая теплотехника

диссертации на соискание ученой степени

кандидата технических наук

Махачкала 2011

«Институт проблем геотермии Дагестанского научного центра»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Назаралиев Магомед–Шафи Ахмедович.
Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Вавилов Владимир Платонович

доктор технических наук, профессор

технический университет»

Защита состоится 19 октября 2011 г. в 15 часов на заседании объединенного диссертационного совета ДМ 002.071.01 при учреждении Российской академии наук «Институт проблем геотермии Дагестанского научного центра РАН» по адресу: 367030, г. Махачкала, пр. И.Шамиля, д.39а, актовый зал

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке УРАН «ИПГ ДНЦ».

Автореферат разослан «__9__» сентября 2011г.

Ученый секретарь объединенного

диссертационного совета

ДМ 002.071.01 д.т.н. Базаев А.Р.



ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Современные технологии создали вещества с нано – и фрактальной структурой с принципиально новыми свойствами, нашедшие широкое применение в энергетических системах, строительстве, медицине и, в целом, народном хозяйстве. Теплофизические характеристики таких веществ имеют определяющее значение при их использовании на практике. Все более востребованными становятся нестационарные методы измерения и контроля теплофизических характеристик веществ. Обработка результатов нестационарных методов измерения теплофизических параметров требует развития фундаментальных аспектов теории теплопроводности с учетом сложной природы явлений тепломассопереноса в гетерофазных системах. Одним из фундаментальных аспектов исследования явлений тепломассопереноса в сложных системах является учет нелокальных эффектов таких, как нелокальность по времени (эффект памяти) и нелокальность по координате (эффект пространственных корреляций).

Фундаментальной физической причиной необходимости учета нелокальных эффектов в сложных системах является медленная релаксация корреляционных связей, когда многочастичные функции распределения не распадаются на произведения одночастичных функций распределения. В результате нарушаются условия выполнения принципа локального равновесия, традиционные методы «сокращенного» описания в статистической физике становятся непригодными, поэтому необходимо исходить из принципа локального неравновесия. Исследование неравновесных процессов в условиях принципа локального неравновесия приводит к необходимости учета эффектов памяти (нелокальность по времени) и пространственных корреляций (нелокальность по координате) и развития принципиально новых методов анализа, основанных на применении математического аппарата интегродифференцирования дробного порядка – дробного исчисления.

Отметим, что учет нелокальных эффектов в рамке традиционного подхода приводит к появлению в дифференциальных уравнениях интегрального оператора, ядро которого несет информацию о природе нелокальности. Для решения таких уравнений интегральные операторы представляются в виде ряда дифференциальных операторов с возрастающим показателем порядка дифференцирования и при наличии малого параметра ограничиваются несколькими членами ряда. В отсутствие малого параметра такой подход оказывается непродуктивным и полученные уравнения не всегда удается решать.

Операция дифференцирования дробного порядка, представляя определенное сочетание операций дифференцирования и интегрирования, открывает новый подход к теории нелокальных дифференциальных уравнений. Дробное исчисление, внося в теорию дополнительные параметры в виде показателей производных дробного порядка, дает возможность использования широкого класса функций и открывает, тем самым, принципиально новые возможности интерпретации экспериментальных данных и создания адекватных количественных моделей процессов нелокального переноса. В этой связи развитие математического аппарата интегродифференцирования дробного порядка как фундаментальной основы исследования нелокальных процессов переноса и его приложений для определения теплофизических параметров по результатам нестационарных методов измерения пространственно – временного распределения температуры становится актуальным направлением современного естествознания.

– получить фундаментальные решения нелокальных уравнений теплопроводности на основе математического аппарата дробного исчисления;

– исследовать влияние нелокальности по времени и координате на распределение температуры при рассмотрении диффузионного и конвективного механизмов переноса тепла;

– разработать метод определения температуропроводности и параметров нелокальности по времени и координате на основе решения нелокального уравнения теплопроводности и экспериментальных данных нестационарных методов определения распределения температуры;

– разработать математическую модель нелокального переноса тепла на основе дробного исчисления для задачи без начальных условий и его приложения к определению температурных волн в полуограниченных средах;

– на основе математического аппарата дробного исчисления разработать математическую модель задачи Стефана и приложить ее к системе вода – лед.

1. Полученные на основе решения нелокального уравнения теплопроводности в производных дробного порядка по времени и координате для неограниченной прямой трехпараметрическое семейство решений и закономерности влияния параметров нелокальности.

2. Новое двухпараметрическое семейство решений нелокального уравнения теплопроводности в производных дробного порядка по времени и координате для полупрямой и асимптотическое поведение этих решений.

3. Метод определения температуропроводности и параметров нелокальности по экспериментальным данным нестационарных методов определения распределения температуры по координате и времени и решениям нелокального уравнения теплопроводности для полупрямой.

4. Математическая модель задачи Стефана на основе нелокального уравнения теплопроводности. Новый закон зависимости координаты межфазной границы от времени и от показателей производных дробного порядка по времени и координате.

Научная новизна работы.

1. Разработаны математические модели диффузионного и конвективного переноса тепла на основе нелокального уравнения теплопроводности в производных дробного порядка по времени и координате и изучены особенности переноса тепла для случаев неограниченной и полуограниченной прямых.

2. Получены фундаментальные закономерности распределения температуры в зависимости от показателей производных дробного порядка по времени и координате.

3. Разработан метод определения температуропроводности и параметров нелокальности по времени и координате на основе решений нелокального уравнения теплопроводности и экспериментальных данных нестационарного метода определения теплофизических характеристик веществ.

4. На основе уравнения теплопроводности в производных дробного порядка по времени разработана математическая модель нелокального переноса тепла для задачи без начальных условий.

5. Установлена зависимость характерных значений глубины проникновения и времени запаздывания температурных волн в поверхностных слоях земли от параметра нелокальности по времени.

6. Предложена обобщенная модель задачи Стефана на основе нелокального уравнения теплопроводности в производных дробного порядка и на ее основе получена новая зависимость координаты межфазной границы от времени и параметров нелокальности по времени и координате.

7. Обнаружена область аномальной зависимости координаты межфазной границы от параметров нелокальности по времени и координате.

Развитая в работе теория нелокальной теплопроводности в дробном исчислении и его приложения к нестационарным методам измерения теплофизических характеристик веществ могут быть использованы в академических и отраслевых институтах, работающих по соответствующей тематике. Предложенный в работе метод расчета температуропроводности принят ОАО «Геотермнефтгаз» (г. Махачкала) для обработки каротажных данных скважин. По материалам диссертационной работы читается спец. курс «Концепция фрактала и компьютерное моделирование», выполняются дипломные работы на математическом факультете Дагестанского государственного университета.

1. XIV международная конференция по химической термодинамике. С.-Петербург, 2002.

2. Международная конференция «Возобновляемая энергетика: проблемы и перспективы». Махачкала, 2005.

3. Школа молодых ученых «Актуальные проблемы освоения возобновляемых энергоресурсов». Махачкала, 2006.

4. Школа молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». Нальчик-Эльбрус, 2007.

5. Российская заочная конференция «Современные наукоемкие технологии». Москва, 2007.

6. Школа молодых ученых «Актуальные проблемы освоения возобновляемых энергоресурсов». Махачкала, 2008.

7. Международный Российско-Абхазский симпозиум. «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Нальчик-Эльбрус, 2009.

8. Всероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара, 2010.

9. Международный Российско-Болгарский симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Нальчик, 2010.

10. II Международная конференция «Возобновляемая энергетика: Проблемы и перспективы». Махачкала, 2010.

11. I Всероссийская конференция молодых ученых «Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики». Кабардино-Балкарская республика, пос. Терскол, 2010.

12. II Международный Российско-Казахский симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Кабардино-Балкарская республика, Нальчик, 2011.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 23 работах, из которых 6 – статьи в научных рецензируемых журналах из перечня ВАК

Излагается современное состояние уравнений теплопроводности в производных дробного порядка по времени и координате [Mainardi F., Luchko Y., Pagnini G. 2001; Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. 2006; Podlubny I. 1999; Povstenko Y.Z. 2005, Hristov J. 2005] и отмечены нерешенные задачи.

Дается анализ современного состояния нестационарных методов определения температуропроводности [Parker W.J., Jenkins R.J., Butler C.P., Abbot. 1961; Л.П. Филиппов. 1984; Вавилов В.П. 1991; Фокин В.М., Чернышов В.Н. 2004].

Вторая глава посвящена разработке математической модели переноса тепла на основе уравнения теплопроводности в производных дробного порядка. Рассматривается уравнение с учетом диффузионного и конвективного и переноса

(1)

Здесь дробная производная по времени (производная Капуто) задается выражением:

а дробные производные по координате (производная Рисса) определены выражениями:

Здесь – температура, – безразмерный коэффициент температуропроводности, – коэффициент температуропроводности, – коэффициент теплопроводности, – удельная изобарная теплоемкость, – плотность вещества, – безразмерная скорость, – скорость конвективного потока среды,

где - функция Миттаг-Леффлера,

На асимптотическое поведение распределения температуры влияет учет нелокальности по координате. Рассмотрены различные случаи начального распределения температуры. В случае дельта-источника, когда из (2) получаем

В частном случае, полагая в (3) , имеем

Далее, полагая β=2 и γ=1, получим решение

Исследовано влияние учета нелокальности по координате и времени на распределение температуры. Далее, на рисунках - безразмерная температура. Как следует из рисунка 1а влияние нелокальности по времени (пунктирная кривая) и нелокальности по координате (точечная кривая) качественно отличаются. Нелокальность по времени влияет на распределение температуры в начальное время, а нелокальность по пространству влияет на асимптотическое поведение распределения температуры. Исследовано влияние учета нелокальности по времени и координате на распределение температуры с учетом конвективного переноса тепла (рис.1б). Учет нелокальности по времени приводит к смещению максимума распределения температуры в область меньших значений координаты.

Рис.1. Распределение безразмерной температуры по координате для различных значений параметров α, β; D=1. а) без конвекции V=0; б) с конвекцией V=1.

Показано, что существует характерное время, определяющее характер влияния учета нелокальности на распределение температуры: при при . Характер распределения температуры по координате, определяемый решениями (5) и (6) зависит от соотношения и . На рисунке 2а вблизи начала координат при уменьшении значения параметра β величина температуры увеличивается при и уменьшается при . Однако распределение температуры вблизи начала координат для случаев и качественно отличается. В области значений времени как видно на рисунке 2б, зависимость распределения температуры вблизи начала координат от учета нелокальности по координате и времени меняется наоборот: при учете нелокальности по координате величина температуры вблизи начала координат уменьшается.

Рис.2. Зависимости безразмерной температуры от .

а) , б)

Такой характер зависимости распределения температуры вблизи начала координат от соотношения между и объясняется природой сингулярности функций (5) и (6) при , когда . Для решения (5) ; для решения (6) .

где – заданные начальное и граничное условия. Решение (7) в частных случаях совпадает с известными традиционными решениями.

[Тихонов А.Н., Самарский А.А. 1972, Фарлоу С. 1985, Лыков А.В. 1967]

Рассматривая случай и , получим

где - интеграл вероятностей. Если же , то имеем новое решение:

Полагая в (7) , получим следующее выражение

которое при совпадает с известным решением .

В остальных случаях имеем новый класс решений. Исследовано влияние учета нелокальности по времени и координате на распределение температуры. В частности, на рисунке 3 приведены результаты расчета распределения температуры для полуограниченной прямой.

Качественный характер влияния учета нелокальности на зависимость температуры от координаты в случае полуограниченной прямой аналогичен случаю неограниченной прямой: асимптотическое поведение температуры зависит от учета нелокальности по координате.

Рис.3 Зависимость безразмерной температуры от .

В §2.3 анализированы экспериментальные данные по определению распределения температуры для органического стекла, полученные в работе [Власов А.Б. 2004]. Метод расчета заключается в определении значений безразмерной температуропроводности и параметров нелокальности α и β. Для расчета использовалась формула (8). Подставляя заданные значения и экспериментально определенные значения температуры в формулу (8) определяем значения параметров D, α, β. На рис. 4. приведены значения температуропроводности и параметров нелокальности, рассчитанные по экспериментальным данным.

Анализ экспериментальных данных для с приводит к результатам, аналогичным на рис.4. Предлагаемый метод анализа позволяет получить более подробную информацию о температуропроводности, определяя и неоднородность его распределения вдоль образца. При этом важно, как показывает расчет, что существует локальная область значений параметров α и β, однозначно определяющая значение температуропроводности.

Учитывая, что первый интеграл при обращается в нуль, а во втором интеграле, используя результат

получаем решение в виде

Здесь - граничное значение температуры. На практике часто возникают задачи, когда граничное условие задается в виде . Представляя интеграл (9) в виде

и используя результаты

получим известное решение задачи о бегущих температурных волнах (задачи без начальных условий) в виде

Полученное решение находит широкое применение в различных задачах прикладного характера.

В § 3.2 рассматривается задача без начальных условий на основе нелокального по времени уравнения теплопроводности. В этом случае уравнение теплопроводности имеет вид

,

граничное условие первого типа . Производная по времени определена соотношением

Получено общее решение в виде

где . Рассмотрен случай, когда , где - частота изменения температуры. Окончательно (10) принимает вид

При решение (11) переходит в известное решение [Тихонов А.Н., Самарский А.А. 1972]:

Как видно из (11), учет эффектов памяти приводит к перенормировке характерного масштаба затухания и времени запаздывания температурных волн. Для характерного масштаба затухания температурных волн имеем , где - характерный масштаб затухания при отсутствии учета эффектов памяти (α=1). Для характерного времени запаздывания температурных волн имеем: , где - характерное время запаздывания температурных волн без учета эффектов памяти. Глубина проникновения тепла в почву зависит от периода колебаний температуры на поверхности и параметра нелокальности .

В § 3.3. рассмотрены некоторые прикладные аспекты задачи без начальных условий. Отметим, что, несмотря на накопленный экспериментальный материал и многочисленность теоретических построений, в изучении теплофизических свойств сложных пористых многофазных сред, которыми являются большинство осадочных горных пород, недостаточное внимание уделяется такой важной теплофизической характеристике среды, как ее температуропроводность. На рис. 5 приведены результаты экспериментальных и расчетных данных распределения температуры в верхних слоях Земли.

Предложенный в § 2.3 метод определения температуропроводности позволяет найти ее на основе данных измерений распределения температуры в поверхностных слоях Земли. Экспериментальная кривая (сплошная кривая) взята из работы [Амирханов Х.И., Суетнов В.В., Левкович Р.А., Гаирбеков Х.А. 1972] и соответствует результатам режимных наблюдений на геотермической станции (г. Избербаш 10.05.1959 г). Пунктирная и точечная кривые соответствуют расчетным кривым по формуле

На рисунке 6 приведены результаты расчета температуропроводности как функции координаты по методу, предложенному в §2.3.

С краевыми условиями

В (13,14) – безразмерный коэффициент температуропроводности, – коэффициент температуропроводности, – безразмерные время и координата, – характерные время и масштаб, - количество тепла, выделяемое или поглощаемое в процессе таяния льда или замерзания воды. Физический смысл условия Стефана заключается в равенстве потоков тепловой энергии с учетом скрытой теплоты выделяемой или поглощаемой на границе между фазами в зависимости от направления движения фазовой границы. Решения задачи имеют вид

Причем зависимость координаты межфазной границы от времени имеет вид , где константа определяется уравнением, которое получается из условия Стефана

В § 4.2 задача Стефана обобщена на основе нелокальных уравнений теплопроводности в производных дробного порядка. Уравнения в задаче Стефана в производных дробного порядка имеют вид

Граничные условия:

где - координата подвижной границы раздела фаз. Условие (16) обобщает известное условие Стефана и совпадает с ним, когда и . В остальных случаях мы имеем нетривиальное обобщение условия Стефана. Решения задачи Стефана в производных дробного порядка имеют вид:

Зависимость координаты межфазной границы от времени имеет вид

где уравнение для определения дается выражением

Здесь

где - функция Ломмеля от двух аргументов.

В §4.3 рассмотрена система вода-лед. Принципиальное отличие закона от ранее известных заключается в том, что зависит от двух параметров α и β. Для случая системы вода – лед проведены расчеты и анализирована зависимость координаты межфазной границы при различных α и β. Показано, что в области значений параметров α=1 и β=1 значения координаты межфазной границы аномально растут.

Для определения значения функции установим, как зависит от параметров α, β для случая системы вода-лед. Исходя из значений параметров температура льда воды

,, ,

, уравнение для определения принимает вид

Численные значения приведены в виде таблицы для нескольких значений α, β. В таблице по строке меняются значения , по столбцу меняются значения с шагом 0.05. Исходя из этих значений и определяя для фиксированных и , можно определить зависимость координаты от α и β. На рисунке 7а приведены результаты расчета зависимости от значений α для некоторых фиксированных значений β. Для значения β=1.8 эта зависимость имеет монотонно возрастающий характер при уменьшении значения параметра α. Для значения β=1.05 эта зависимость становится немонотонной и имеет пороговый характер. На рисунке 7б приведены результаты расчета зависимости от значений β для некоторых фиксированных значений α. Как следует из рисунка, характер зависимости от значений β определяется значением параметра α. Для значения α=0.7 эта зависимость имеет монотонно убывающий характер при уменьшении значения параметра β. Для значений α=1 эта зависимость становится немонотонной и имеет пороговый характер. Общая зависимость от параметров α, β приводится на рисунке 8. Как видно, вблизи области значений α=1,β=1 значения функции аномально растут.

Рис.8 Зависимость безразмерной координаты межфазной границы от параметров α, β для значения τ =20.

Таким образом, нелокальные уравнения теплопроводности, благодаря наличию двух новых параметров α и β, которые являются показателями производных дробного порядка по времени и координате, значительно расширяют область применимости задачи Стефана, позволяя тем самым создать адекватные количественные модели процессов переноса тепла с учетом фазовых переходов.

Настоящая диссертационная работа посвящена развитию нелокальной теории теплопроводности на базе дробного исчисления и ее приложениям к нестационарным методам определения теплофизических характеристик среды и задаче Стефана.

Основные теоретические положения и практические результаты работы следующие:

1. Построена математическая модель нелокального переноса тепла для случаев неограниченной и полуограниченной сред на основе уравнения теплопроводности в производных дробного порядка по времени и координате.

2. Получено трехпараметрическое семейство решений нелокального уравнения теплопроводности для неограниченной прямой с учетом диффузионного и конвективного механизмов переноса тепла.

3. Установлено, что учет нелокальности по времени и по пространству по разному влияют на распределение температуры вблизи источника тепла. На асимптотическое поведение распределения температуры влияет учет нелокальности по координате.

4. Построена модель переноса тепла для полупространства с учетом нелокальности по пространству и координатам.

5. Разработан метод определения температуропроводности и параметров нелокальности по времени и координате на основе решений нелокального уравнения теплопроводности.

6. Получено решение задачи о бегущих температурных волнах (задача без начальных условий). Исследована зависимость температуропроводности и параметра нелокальности от глубины на основе данных по измерению распределения температуры в верхних слоях земли.

7. Построена математическая модель задачи Стефана на основе нелокального уравнения теплопроводности. Получен новый закон движения границы фаз от времени и от показателей производных дробного порядка по времени и координате. Для системы вода-лед установлено существование области значений параметров нелокальности по времени, где значения координаты межфазной границы становятся аномально большими.

1. Мейланов Р.П., Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д., Шабанова М.Р. Уравнение параболического типа с дифференцированием дробного порядка // Вестник Дагестанского научного центра РАН. – 2006. – С. 11–15. (из перечня ВАК)

2. Бейбалаев В.Д., Шабанова М.Р. Численный метод решения начально-граничной задачи для двумерного уравнения теплопроводности с производными дробного порядка // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. ФМН. – 2010. №5(21). – С. 244 – 251. (из перечня ВАК)

3. Мейланов Р.П., Шабанова М.Р. Задача Стефана в дробном исчислении // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной Академии наук. – 2010. Т.12. №1. С. 53 – 56. (из перечня ВАК).

4. Мейланов Р.П., Шабанова М.Р. Задача Стефана // Нелинейный мир. – 2011. Т.9. №7. – С. 477 – 481. (из перечня ВАК).

5. Мейланов Р.П., Шабанова М.Р. Особенности решений уравнения теплопроводности в производных дробного порядка // Журнал технической физики. – 2011. Т.81, № 7. – С. 1– 6. (из перечня ВАК).

6. Алхасов А.Б., Мейланов Р.П., Шабанова М.Р. Уравнение теплопроводности в производных дробного порядка // Инженерно-физический журнал. – 2011. Т.84. №2. – С. 309 –317. (из перечня ВАК).

7. Мейланов Р.П., Рамазанова А.Э., Шабанова М.Р. Равновесная

термодинамика систем с фрактальной структурой // Тезисы докладов XIV международная конференция по химической термодинамике. – С.-Петербург 2002. – С. 232 – 233.

8. Мейланов Р.П., Шабанова М.Р., Янполов М.С. Обобщенное уравнение Фоккера-Планка в задачах тепломассопереноса // Материалы международной конференции «Возобновляемая энергетика: проблемы и перспективы». – Махачкала. – 2005.– C. 278 – 282.

9. Шабанова М.Р. Обобщенное уравнение теплопроводности в задачах теплопереноса // Материалы Школы молодых ученых «Актуальные проблемы освоения возобновляемых энергоресурсов» Махачкала. – 2006. – C. 244 –249.

10. Мейланов Р.П., Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д., Шабанова М.Р. Обобщенная задача диффузии на полупрямой // Современные наукоемкие технологии. – 2007. – №8. – С. 82–84.

11. Мейланов Р.П., Шабанова М.Р. Уравнение теплопроводности для сред с фрактальной структурой // Современные наукоемкие технологии. – 2007. –№8. – С. 84 – 85.

12. Мейланов Р.П., Шабанова М.Р. Особенности теплопереноса в средах с фрактальной структурой // Материалы Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». – Нальчик-Эльбрус. – 2007. – С. 104 –109.

13. Мейланов Р.П., Шабанова М.Р. Уравнение теплопроводности в производных дробного порядка и приложение к задачам геотермии // Сборник научных трудов «Тепловое поле Земли и методы его изучения» – Москва РГГУ. – 2008. – С. 145 –150.

14. Шабанова М.Р. Инвариантные свойства уравнения теплопроводности с производными дробного порядка // Материалы Школы молодых ученых « Актуальные проблемы освоения возобновляемых энергоресурсов». Махачкала. – 2008. – С. 219 – 221.

15. Мейланов Р.П., Магомедов Р.М., Шабанова М.Р., Ахмедова Г.М. Задача без начальных условий для нелокального уравнения теплопроводности // Материалы Международного Российско-Абхазский симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». – Нальчик-Эльбрус. – 2009. – C. 162 – 165.

16. Назаралиев. М.А., Мейланов Р.П., Бейбалаев В.Д., Шабанова М.Р. Особенности фазовой траектории фрактального «брюсселятора» // Труды Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи». – Самара. – 2010. – С. 204 –210.

17. Мейланов Р.П., Шабанова М.Р. Задача Стефана в дробном исчислении // Труды Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара. – 2010. – С. 192–197.

18. Мейланов Р.П., Шабанова М.Р. Задача Стефана в средах с фрактальной структурой // Материалы Международного Российско-Болгарского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». – Нальчик. – 2010. – С. 163 –165.

19. Мейланов Р.П., Шабанова М.Р. Особенности решений уравнения теплопереноса в производных дробного порядка // Материалы Международного Российско-Болгарского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». – Нальчик.– 2010. – С. 166–169.

20. Мейланов Р.П., Шабанова М.Р., Ахмедова Г.М. Задача Стефана на основе нелокального уравнения теплопроводности // Материалы II Международной конференции «Возобновляемая энергетика: Проблемы и перспективы». – Махачкала . – 2010. – С. 160­­–­­­­164.

21. Бейбалаев В.Д., Мейланов Р.П., Назаралиев М-Ш.А., Шабанова М.Р. Численное решение нелокального уравнения теплопроводности // Материалы II Международной конференция «Возобновляемая энергетика: Проблемы и перспективы». – Махачкала . – 2010. – С. 221­­–­­­­225.

22. Мейланов Р.П., Шабанова М.Р. Об определении производной Рисса // Материалы I Всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики». – Кабардино-Балкарская республика пос. Терскол. – 2010. – С.125 –129.

23. Шабанова М.Р. Аномальные решения нелокальной задачи Стефана // Материалы II Международного Российско-Казахского симпозиума «Уравнения смешанного типа, родственные проблемы анализа и информатики». – Нальчик. – 2011. – С. 215 – 218.

Подписано в печать 02.09.2011г.

Формат 60х84_1/16. Печать ризографная. Бумага офсетная.

Гарнитура «Таймс». Усл. п. л. 1. Тираж 100 экз.

Тел.: +7-928-264-88-64, +7-903-477-55-64, +7-988-2000-164