Тема Занимательные и логические задачи



Скачать 60.75 Kb.
Дата10.11.2016
Размер60.75 Kb.
Тема 1. Занимательные и логические задачи

Вы познакомитесь с некоторыми известными занимательными задачами.

Цель темы – на примере занимательных задач продемонстрировать учащимся некоторые способы логических рассуждений, указать примеры нетривиальных логических ошибок, повысить интерес к математике.

08-01-01. Различные задачи

1. История про Буратино и его подсчеты мнимых затрат в харчевне "Три пескаря".

После того, как Буратино, лиса Алиса и кот Базилио по пути в Страну Дураков подкрепились в харчевне "Трех пескарей" тремя корочками хлеба, зажаренным барашком, да еще гусенком, парочкой голубей на вертеле, печеночкой, шестью жирными карасями и мелкой сырой рыбой на закуску, вся компания решила подремать и отдохнуть. Когда хозяин разбудил Буратино, в комнате уже никого не было, и Буратино пришлось расстаться с одним золотым из тех пяти, которые ему дал Карабас Барабас.

Однако, спохватившись, хозяин вспомнил, что еда и ночлег для троих путешественников стоили не золотой (30 сольдо), а всего лишь 25 сольдо. Он послал слугу догнать Буратино и отдать 5 сольдо. Слуга вручил Буратино 3 сольдо и взял 2 сольдо себе за труды.

Бедный Буратино бежал среди темной ночи по дороге и соображал: "Сначала на каждого из нас пришлось по 10 сольдо затрат, потом слуга вернул каждому по 1 сольдо. Получается, что на каждого из путешественников пришлось по 9 сольдо, всего 27, да еще слуга взял 2 сольдо. Вместе — 29 сольдо, а в золотом — 30 сольдо. Куда девался один сольдо?"



Решение. Если бы наивный Буратино ходил в школу, как велел папа Карло, он бы еще до нападения разбойников на темной дороге сообразил бы, на что ушли его денежки. Все затраты составили сольдо, из них за еду и ночлег ушло 25 сольдо. Оставшиеся 2 сольдо достались слуге.

Выражение , составленное Буратино, не имеет ни какого отношения к реальным затратам, и лишь создало путаницу в голове у деревянного человечка.



2. Задача о головах и ногах животных в зверинце, решение которой приводит к противоречию, если ограничиваться только двуногими и четвероногими животными и не принимать во внимание змей, не имеющих ног.

В зверинце при цирке содержатся дикие животные. Если пересчитать их по головам и ногам, то получится 11 голов и 20 ног. Среди этих животных четвероногих вдвое больше, чем двуногих. Сколько животных содержится в зверинце?



Решение. Если предполагать, что животные либо двуногие, либо четвероногие, то придем к странному результату. Пусть обозначает число двуногих. Тогда по условию число четвероногих равно , и получаем систему:

Эта система не имеет решений.

Для ответа на поставленный в задаче вопрос нужно догадаться, что у некоторых животных, например, у змей, вообще нет ног. После этого решение получить нетрудно: если число двуногих, то у них ног, у четвероногих ног, поэтому всего ног. Так как по условию всего 20 ног, то , . Следовательно, в зверинце двуногих животных два, четвероногих — четыре, не имеющих ног – пять.

3*. История с тремя путешественниками в пустыне.

В пустыне, в половине дня пути до ближайшего оазиса два бедуина встретили умирающего от голода путешественника. Из запасов продовольствия у них осталось только 8 сухарей: у одного было 3 сухаря, у другого — 5. Бедуины сжалились над путешественником и поровну разделили свои запасы на троих. Прощаясь, благодарный путешественник вручил своим спасителям 8 золотых монет. Как бедуинам справедливо разделить между собой деньги?



Решение. Первому бедуину из своих трех сухарей досталось 8/3 сухаря, путешественник из них получил 3 - 8/3 = 1/3 сухаря. Из пяти сухарей второго бедуина путешественник получил 5 – 8/3 = 7/3 сухаря. Таким образом, 1/3 сухаря обошлась путешественнику в одну золотую монету. Первому бедуину причитается 1 монета, второму — 7.

4*.Султан и три мудреца.

Однажды могущественный султан решил проверить мудрость трех своих мудрецов. Он призвал их во дворец и повелел слугам повязать каждому из мудрецов на лоб черную повязку. При этом каждый мудрец видел цвет повязки у остальных мудрецов и не мог видеть цвет своей собственной повязки.

"Мудрецы мои", — произнес султан, "вы останетесь здесь, в этой комнате, где нет зеркал, до тех пор, пока каждый из вас не определит цвет своей повязки. Вам разрешается знать только, что повязки либо черного, либо красного цвета и что среди вас есть хотя бы один мудрец с черной повязкой. Я запрещаю вам говорить друг с другом. Как только один из вас определит цвет своей повязки, пусть он на следующий день явится ко мне. Ответивший правильно будет щедро вознагражден, а ответивший неправильно — казнен".

Через три дня три мудреца явились к султану и сообщили, что у них черные повязки.

Как они рассуждали?

Решение. Скорее всего, каждый мудрец в первый день рассуждал так: "Решу вначале более простую задачу. Пусть у султана всего лишь два мудреца, и я вижу у второго мудреца на лбу черную повязку. Тогда он, видя у меня на лбу красную повязку, сразу поймет, что него черная повязка и утром второго дня пойдет к султану. Если же на следующий день он не пойдет к султану, то моя повязка — черная, и я сам пойду к султану утром следующего, третьего дня".

Но здесь три мудреца, и я вижу, что у двух мудрецов передо мной черные повязки. Предположим, что у меня на лбу красная повязка. Каждый из них, видя у меня на лбу красную повязку, а у другого мудреца — черную, рассуждал бы так: "Если бы на мне была красная повязка, то мудрец, который не видит перед собой черной повязки, а видит две красные, на следующий день пойдет к султану и скажет, что него черная повязка. Если же утром второго дня он не пойдет к султану, то моя повязка – черная, и я сам пойду к султану утром третьего дня. Другими словами, если бы у меня была красная повязка, то остальные два мудреца, равные мне мудростью, рассуждали бы так, как я при решении более простой задачи, и они оба пошли бы к султану утром третьего дня."

Но утром третьего дня ни один из двух других мудрецов к султану не пошел. Поэтому мудрец понял, что у него на лбу не красная повязка, и на следующий день сам пошел к султану.

В итоге, в начале четвертого дня все мудрецы дружно пришли к султану и сообщили, какого цвета повязка у каждого из них.


Контрольные вопросы

1. Какие примеры занимательных задач вы знаете?
Задачи и упражнения
1. Предположим, что у Вас в кармане две монеты на сумму 15 копеек, и одна из них не пятак. Что это за монеты?

2. Какое наибольшее число воскресений может быть в году?

3. Вдоль улицы стоят 100 домов. Сколько девяток может входить в запись номеров этих домов?

4. В один стакан налито молоко, в другой стакан — такое же количество воды. Из стакана с молоком берут чайную ложку молока и переливают ее в стакан с водой. После тщательного перемешивания чайную ложку смеси переливают обратно в стакан с молоком. Чего при этом окажется больше – воды в молоке или молока в воде?

5. Король хотел сместить своего премьер- министра, но при этом не хотел его сильно обидеть. Он позвал премьер-министра к себе, положил при нем два листка бумаги в портфель и сказал: "На одном листке я написал «Уходите», а на втором — «Останьтесь». Листок, который вы вытащите, решит вашу судьбу". Премьер-министр догадался, что на обоих листках было написано «Уходите». Как же он, однако, умудрился в этих условиях сохранить свой пост?

6. Начальник тюрьмы велел привести трех заключенных и сказал им: "Перед вами три красных и два черных кружка. Я завяжу вам глаза и прикреплю каждому на лоб один кружок. Оставшиеся кружки я положу себе в карман. Первый из вас, кто определит цвет своего кружка, будет освобожден". Один из заключенных добился освобождения. Как он это сделал?

77. Трем мудрецам завязывают глаза и каждому приклеивают на лоб по два кружка, взятых из четырех красных и четырех белых. Затем с их глаз снимают повязку, и по очереди задают вопрос: "Знаете ли вы, какого цвета кружки у вас на лбу?" Каждый из них отвечает отрицательно. Затем еще раз задают тот же вопрос первому мудрецу, и снова получают отрицательный ответ. Но когда вторично задают вопрос второму мудрецу, он отвечает утвердительно. Какого цвета кружки на лбу у второго мудреца?

8. Человек разглядывает портрет. "Чей это портрет вы разглядываете?" – спрашивают у него, и человек отвечает: "В семье я был единственным ребенком. И все же отец того, кто на портрете — сын моего отца". Чей портрет разглядывает человек?
Ответы и указания
Задача 1. Указание. Эти монеты 5 коп и 10 коп. Видно, что одна из монет не пятак.

Задача 2. Указание. В каждом году 52 целые недели и еще один или два дня. Поэтому наибольшее число воскресений может быть 53.

Задача 3. Указание. Предполагая, что использованы все номера от 1 до 100, получаем 18 номеров, в записи которых одна цифра 9, и еще число 99, в записи которого две цифры 9.

Задача 4. Указание. Одинаково.

Задача 5. Указание. Предложить премьер-министру прочитать то, что написано на оставшемся листочке.

Задача 6. Указание. Если каждый из заключенных заявит, что у него красный кружок, то либо первый, либо второй, либо третий точно назовет цвет своего кружка.

Задача 7. Указание. Перебор всех возможных случаев приводит к тому, что второй мудрец в нескольких случаях может угадать цвет кружков, и во всех этих случаях у него один красный и один белый кружок.

Задача 8. Указание. Человек разглядывает портрет своего ребенка, так как братьев у этого человека не было.


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница