Сверление квадратных отверстий: миф или реальность



Скачать 273.36 Kb.
Дата11.11.2016
Размер273.36 Kb.


Министерство образования и науки Удмуртской Республики

Автономное профессиональное образовательное учреждение

Удмуртской Республики

«Ижевский политехнический колледж»

(АПОУ УР «Ижевский политехнический колледж»)

Исследовательская работа

на тему

«Сверление квадратных отверстий: миф или реальность»

Выполнил:

Мясников Владислав Николаевич,

студент 1 курса специальности

«Технология машиностроения»


Руководитель:

Валиуллина Надежда Михайловна, преподаватель



Ижевск

2015

Оглавление:


1.

Введение

3

2.

Рело Франц (1829-1905)

4

3.

Анализ результатов исследования популярности метода сверления квадратных отверстий

6

4.

История

9

5.

Свойства

10




5.1.

Основные геометрические характеристики

10







5.1.1.

Симметрия

10







5.1.2.

Построение циркулем

11




5.2.

Свойства, общие для всех фигур постоянной ширины

11




5.3.

Экстремальные свойства

11







5.3.1.

Наименьшая площадь

12







5.3.2.

Наименьший угол

12







5.3.3.

Наименьшая центральная симметрия

13







5.3.4.

Качение по квадрату

13

6.

Применение

15




6.1.

Сверление квадратных отверстий

15




6.2.

Двигатель Ванкеля

15




6.3.

Грейферный механизм

16




6.4.

Крышки для люков

16




6.5.

Кулачковый механизм

16




6.6.

Каток

17




6.7.

Плектр

17

7.

Треугольник Рёло в искусстве

17




7.1.

Архитектура

18




7.2.

Форма и цвет

18




7.3.

Литература

18

8.

Вариации и обобщения

18




8.1

Многоугольник Рёло

19




8.2

Трёхмерные аналоги

19

9.

Вывод

20

10.

Перечень литературы и используемых интернет-источников

21




Приложение

22

1. Введение
Актуальность:  В ходе обучения по специальности «Технология машиностроения»  я буду учиться определять технологическую последовательность обработки деталей, выполнять необходимые расчеты, подбирать инструмент, корректировать режим работы станка по результатам пробной обработки деталей.  

В  современном  мире,  при  быстро  развивающихся  технологиях  нельзя  обойти  стороной  фигуру  постоянной  ширины  —  треугольник  Рёло,  позволяющий  сократить  затраты  при  производстве  и  конструировании  деталей.

Треугольник Рёло, в настоящее время, используется во многих сферах деятельности по всему миру, включая машиностроение, архитектуру, искусство, музыку и др.

Знание различных способов получения отверстий, в том числе квадратных, позволит в моей будущей профессиональной деятельности разрабатывать экономически-выгодные технологические процессы получения деталей, используемых в машиностроении.


 Объектом  исследования  является  треугольник  Рёло.

Цель  исследования:  изучение фигуры постоянной ширины, треугольника Рело, изучение метода получения квадратного отверстия.

Для  решения  поставленной  цели  были  выделены  следующие  задачи  исследования



  • изучить  главные  свойства  треугольника  Рёло;

  • составить анкету, выявляющую интерес студентов к процессу получения квадратного отверстия с помощью дрели и провести анкетирование (приложение 1);

  • изучить  видео  материал  про  треугольник  Рёло;

  • изучить  области  использования  треугольника  Рёло. 

Методами  исследования  являются  изучение  документации  и  информационных  материалов, наблюдение, анкетирование,  анализ.

2. Рело Франц (1829-1905)
          Франц Рело родился 30 сентября 1829 г. в Эшвейлере, близ Ахена, в семье, для которой техника была традиционным занятием. Получив начальное образование в школе и некоторую техническую подготовку в семье, он начал работать на заводе, вначале учеником, а затем конструктором и техником. Работая, он усиленно занимался самообразованием, в частности изучал труды Редтенбахера. С 1850 по 1852 г. он слушал лекции в Политехническом институте в Карлсруэ, всецело находившемся в те годы под влиянием Редтенбахера. Значение Редтенбахера для немецкой технической школы не ограничивалось его исследованиями в области прикладной механики. Он сам говорил: «Мои педагогические стремления направлены не только на развитие научной теории машины, но и на повышение культуры лиц, занятых в промышленности». Следуя указаниям своего учителя, Рело кроме технических предметов изучал историю и английский язык. По окончании института он некоторое время изучал естественные науки и философию в Берлинском и Боннском университетах. Еще в студенческие годы Рело начал работать над исследованиями в области машиностроения. В 1854 г. он в соавторстве с Моллем издал первый том «Конструирования в машиностроении». В 1856 г. Рело был приглашен на должность профессора механико-технического отделения Цюрихского политехникума, где ему пришлось работать вместе с Цейнером  и Кульманом. В 1864 г. он перешел в Берлинский ремесленный институт на кафедру машиностроения. В 1866 г. этот институт (основанный в 1821 г.) был преобразован в Ремесленную академию, директором которой Рело пробыл с 1867 по 1879 г. В 1879 г. на базе Ремесленной и Строительной академий было основано Берлинское высшее техническое училище. В Германии в первой половине века кинематикой не занимались. Впервые этот предмет Рело начал читать в 1871 г. в Швейцарии в Цюрихском политехникуме. Затем продолжил его в Берлинском ремесленном институте, а позже — в Ремесленной академии. Одновременно он начал издавать «Кинематические сообщения» и другие мемуары по прикладной теории машин. Несколько позже начал чтение курса кинематической геометрии Аронгольд, затем Шелль издал трактат по теоретической механике «Теорию движения и сил», в котором значительное внимание уделил кинематике. В 1875 г. Рело опубликовал первый том «Теоретической кинематики». Рело был не только ученым, но и практиком: он был членом жюри на международных выставках в Париже (1867), Вене (1873), Филадельфии (1876), в Сиднее-Мельбурне (1879—1881). Анализируя состояние германской промышленности, он требовал повышения качества ее изделий. Немецкие экспонаты на Филадельфийской выставке он охарактеризовал убийственным «billing und schlecht» (дешево и плохо).

Критически относился он и к милитаристским тенденциям в развитии германской промышленности. В первом «Письме из Филадельфии» Рело, например, писал: «Посмотрим в машинном зале: кажется, что семь восьмых пространства отведено под огромные пушки Круппа, «машины для убийства», как их назвали, которые стоят как угроза всем мирным изделиям, выставленным другими нациями! Неужели в этом заключается выражение немецкой мысли?» Рело много работал и в области истории техники. В «Теоретической кинематике» истории машин посвящена отдельная глава (изданная также и отдельным оттиском). Введение, примечания к отдельным параграфам трактата также насыщены историческими сведениями. Можно сказать, что Рело подходил исторически к исследованию всех вопросов кинематики. Как и его учитель Редтенбахер, Рело любил искусство. Он перевел на немецкий язык «Песнь о Гайавате» Лонгфелло, много рисовал и гравировал по дереву, писал о «художественном стиле в машиностроении». Его «Путешествие по Индии» — блестящий образец художественной прозы. Рело был прекрасным лектором, умевшим заинтересовать и увлечь слушателей: «Лекции Рело можно назвать блестящими по обработанности и изяществу изложения; лекции по кинематике интересны по оригинальности изложения», — так отзывался о них Ф. Е. Орлов. В Берлинском высшем техническом училище Рело создал кабинет кинематических моделей (свыше 800 моделей), долго служивший образцом для высших технических школ Германии и других стран. Рело пользовался большим авторитетом среди ученых в области прикладной механики. Но у него было и много противников, борьба с которыми зачастую принимала с обеих сторон резкие формы и особенно обострилась на рубеже столетий. Умер Рело 20 августа 1905 г.



3. Анализ результатов исследования популярности
метода сверления квадратных отверстий

Для того чтобы выяснить, знают ли студенты нашего колледжа о методе получения квадратных отверстий с помощью дрели, нами был проведен письменный опрос. Было опрошено 124 студента. Для обработки полученных данных я воспользовался темой «Статистическая обработка данных» дисциплины Алгебра и начала математического анализа. Сначала данные опроса я упорядочил по группам, затем составил таблицу распределения ответов. Таблица распределения позволила построить графики в виде гистограмм. Я получил некоторые основные числовые характеристики полученной информации:



  • объем измерения равен 124, так как обрабатывались ответы 124 участников опроса.

  • размах измерения равен 118, то есть разности между наибольшим (121) и наименьшим (3) результатами измерения

Опрос показал, что только 63 человека предполагают, что бывают квадратные отверстия, 35 студентов уверены, что квадратные отверстия можно получить сверлением, 78 человек желают узнать о таком способе, но поверили, что квадратные отверстия можно получить сверлением лишь 52 человека, менее 50% опрошенных. Данный опрос показал, что студенты все-таки любознательный народ и не против заглянуть за пределы программы по математике, чтобы узнать что-то новое.






4. История

Рёло не является первооткрывателем этой фигуры, хотя он и подробно исследовал её. В частности, он рассматривал вопрос о том, сколько контактов (в кинематических парах) необходимо, чтобы предотвратить движение плоской фигуры, и на примере искривлённого треугольника, вписанного в квадрат, показал, что даже трёх контактов может быть недостаточно для того, чтобы фигура не вращалась.




Иллюстрация 1: Леонардо да Винчи, манускрипт A, фрагмент листа 15v

Некоторые математики считают, что первым продемонстрировал идею треугольника из равных дуг окружности Леонард Эйлер в XVIII веке. Тем не менее, подобная фигура встречается и раньше, в XV веке: её использовал в своих рукописях Леонардо да Винчи. Треугольник Рёло есть в его манускриптах A и B, хранящихся в Институте Франции, а также в Мадридском кодексе.


Иллюстрация 2: Mappamundi. Леонардо да Винчи, примерно 1514 год

Примерно в 1514 году Леонардо да Винчи создал одну из первых в своём роде карт мира. Поверхность земного шара на ней была разделена экватором и двумя меридианами (угол между плоскостями этих меридианов равен 90°) на восемь сферических треугольников, которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рёло, собранными по четыре вокруг полюсов.

Ещё раньше, в XIII веке, создатели церкви Богоматери в Брюгге использовали треугольник Рёло в качестве формы для некоторых окон.

5. Свойства

Треугольник Рёло является плоской выпуклой геометрической фигурой.



Треуго́льник Рёло́ представляет собой область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне. Негладкая замкнутая кривая, ограничивающая эту фигуру, также называется треугольником Рёло.

Треугольник Рёло является простейшей после круга фигурой постоянной ширины. То есть если к треугольнику Рёло провести пару параллельных опорных прямых, то независимо от выбранного направления расстояние между ними будет постоянным. Это расстояние называется шириной треугольника Рёло.

Среди прочих фигур постоянной ширины треугольник Рёло выделяется рядом экстремальных свойств: наименьшей площадью, наименьшим возможным углом при вершине, наименьшей симметричностью относительно центра. Треугольник получил распространение в технике  — на его основе были созданы кулачковые и грейферные механизмы, роторно-поршневой двигатель Ванкеля и даже дрели, позволяющие сверлить квадратные отверстия.

Название фигуры происходит от фамилии немецкого механика Франца Рёло. Он, вероятно, был первым, кто исследовал свойства этого треугольника; также он использовал его в своих механизмах.



5.1. Основные геометрические характеристики


Если ширина треугольника Рёло равна , то его площадь равна



периметр

радиус вписанной окружности



а радиус описанной окружности



.

5.1.1. Симметрия


Треугольник Рёло обладает осевой симметрией. Он имеет три оси симметрии второго порядка, каждая из которых проходит через вершину треугольника и середину противоположной дуги, а также одну ось симметрии третьего порядка, перпендикулярную плоскости треугольника и проходящую через его центр. Таким образом, группа симметрий треугольника Рёло состоит из шести отображений (включая тождественное) и совпадает с группой симметрий правильного треугольника.

5.1.2. Построение циркулем


Треугольник Рёло можно построить с помощью одного только циркуля, не прибегая к линейке. Это построение сводится к последовательному проведению трёх равных окружностей. Центр первой выбирается произвольно, центром второй может быть любая точка первой окружности, а центром третьей — любая из двух точек пересечения первых двух окружностей.




5.2. Свойства, общие для всех фигур постоянной ширины


Поскольку треугольник Рёло является фигурой постоянной ширины, он обладает всеми общими свойствами фигур этого класса. В частности:

  • с каждой из своих опорных прямых треугольник Рёло имеет лишь по одной общей точке

  • расстояние между двумя любыми точками треугольника Рёло ширины a не может превышать a;

  • отрезок, соединяющий точки касания двух параллельных опорных прямых к треугольнику Рёло, перпендикулярен к этим опорным прямым;

  • через любую точку границы треугольника Рёло проходит по крайней мере одна опорная прямая;

  • через каждую точку P границы треугольника Рёло проходит объемлющая его окружность радиуса a, причём опорная прямая, проведённая к треугольнику Рёло через точку P, является касательной к этой окружности;

  • радиус окружности, имеющей не меньше трёх общих точек с границей треугольника Рёло ширины a, не превышает a;

  • по теореме Ханфрида Ленца о множествах постоянной ширины треугольник Рёло нельзя разделить на две фигуры, диаметр которых был бы меньше ширины самого треугольника;

  • треугольник Рёло, как и любую другую фигуру постоянной ширины, можно вписать в квадрат, а также в правильный шестиугольник;

  • по теореме Барбье формула периметра треугольника Рёло справедлива для всех фигур постоянной ширины.


5.3. Экстремальные свойства



5.3.1. Наименьшая площадь


Среди всех фигур постоянной ширины  у треугольника Рёло наименьшая площадь. Это утверждение носит название теоремы Бляшке — Лебега (по фамилиям немецкого геометра Вильгельма Бляшке, опубликовавшего теорему в 1915 году, и французского математика Анри Лебега, который сформулировал её в 1914 году). В разное время варианты её доказательства предлагали Мацусабуро Фудзивара (1927 и 1931 год), Антон Майер (1935 год), Гарольд Эгглстон (1952 год), Абрам Безикович (1963 год), Дональд Чакериан (1966 год), Эванс Харрелл (2002 год) и другие математики.

Чтобы найти площадь треугольника Рёло, можно сложить площадь внутреннего равностороннего треугольника



и площадь трёх оставшихся одинаковых круговых сегментов, опирающихся на угол в 60°



то есть


Фигура, обладающая противоположным экстремальным свойством — круг. Среди всех фигур данной постоянной ширины его площадь



максимальна. Площадь соответствующего треугольника Рёло меньше на ≈10,27 %. В этих пределах лежат площади всех остальных фигур данной постоянной ширины.


5.3.2. Наименьший угол
Через каждую вершину треугольника Рёло, в отличие от остальных его граничных точек, проходит не одна опорная прямая, а бесконечное множествоопорных прямых. Пересекаясь в вершине, они образуют «пучок». Угол между крайними прямыми этого «пучка» называется углом при вершине. Для фигур постоянной ширины угол при вершинах не может быть меньше 120°. Единственная фигура постоянной ширины, имеющая углы, равные в точности 120° — это треугольник Рёло.

5.3.3. Наименьшая центральная симметрия


Из всех фигур постоянной ширины треугольник Рёло обладает центральной симметрией в наименьшей степени. Существует несколько различных способов дать определение степени симметричности фигуры. Один из них — это мера Ковнера — Безиковича. В общем случае для выпуклой фигуры  она равна

где  — площадь фигуры,  — содержащаяся в  центрально-симметричная выпуклая фигура максимальной площади. Для треугольника Рёло такой фигурой является шестиугольник с искривлёнными сторонами, представляющий собой пересечение этого треугольника Рёло со своим образом при центральной симметрии относительно своего центра. Мера Ковнера — Безиковича для треугольника Рёло равна



Другой способ — это мера Эстерманна



где  — содержащая  центрально-симметричная фигура минимальной площади. Для треугольника Рёло  — это правильный шестиугольник, поэтому мера Эстерманна равна



Для центрально-симметричных фигур меры Ковнера — Безиковича и Эстерманна равны единице. Среди фигур постоянной ширины центральной симметрией обладает только круг, который (вместе с треугольником Рёло) и ограничивает область возможных значений их симметричности.


5.4. Качение по квадрату


Любая фигура постоянной ширины вписана в квадрат со стороной, равной ширине фигуры, причём направление сторон квадрата может быть выбрано произвольно[22][* 6]. Треугольник Рёло — не исключение, он вписан в квадрат и может вращаться в нём, постоянно касаясь всех четырёх сторон.

Каждая вершина треугольника при его вращении «проходит» почти весь периметр квадрата, отклоняясь от этой траектории лишь в углах — там вершина описывает дугу эллипса. Центр этого эллипса расположен в противоположном углу квадрата, а его больша́я и малая оси повёрнуты на угол в 45° относительно сторон квадрата и равны



где  — ширина треугольника. Каждый из четырёх эллипсов касается двух смежных сторон квадрата на расстоянии



от угла.
Центр треугольника Рёло при вращении движется по траектории, составленной из четырёх одинаковых дуг эллипсов. Центры этих эллипсов расположены в вершинах квадрата, а оси повёрнуты на угол в 45° относительно сторон квадрата и равны



Иногда для механизмов, реализующих на практике такое вращение треугольника, в качестве траектории центра выбирают не склейку из четырёх



дуг эллипсов, а близкую к ней окружность.


Площадь каждого из четырёх не затронутых вращением уголков равна

и, вычитая их из площади квадрата, можно получить площадь фигуры, которую образует треугольник Рёло при вращении в нём



Разница с площадью квадрата составляет ≈1,2 %, поэтому на основе треугольника Рёло создают свёрла, позволяющие получать почти квадратные отверстия.


6. Применение

6.1. Сверление квадратных отверстий



Сверло с сечением в виде треугольника Рёло и режущими кромками, совпадающими с его вершинами, позволяет получать почти квадратные отверстия. Отличие таких отверстий от квадрата состоит лишь в немного скруглённых углах. Другая особенность подобного сверла заключается в том, что его центр при вращении не остаётся на месте, как это происходит в случае традиционных спиральных свёрл, а описывает кривую, состоящую из четырёх дуг эллипсов. Поэтому патрон, в котором зажато сверло, не должен препятствовать этому движению.

Впервые сделать подобную конструкцию удалось Гарри Уаттсу, английскому инженеру, работавшему в США. Для сверления он использовал направляющий шаблон с квадратной прорезью, в котором двигалось сверло, вставленное в «плавающий патрон». Патенты на патрон и сверло были получены Уаттсом в 1917 году. Продажу новых дрелей осуществляла фирма Watts Brothers Tool Works. Ещё один патент США на похожее изобретение был выдан в 1978 году.


6.2. Двигатель Ванкеля


Другой пример использования можно найти в двигателе Ванкеля: ротор этого двигателя выполнен в виде треугольника Рёло. Он вращается внутри камеры, поверхность которой выполнена по эпитрохоиде. Вал ротора жёстко соединён с зубчатым колесом, которое сцеплено с неподвижной шестернёй. Такой трёхгранный ротор обкатывается вокруг шестерни, всё время касаясь вершинами внутренних стенок двигателя и образуя три области переменного объёма, каждая из которых по очереди является камерой сгорания. Благодаря этому двигатель выполняет три полных рабочих цикла за один оборот.

Двигатель Ванкеля позволяет осуществить любой четырёхтактный термодинамический цикл без применения механизма газораспределения. Смесеобразование, зажигание, смазка, охлаждение и пуск в нём принципиально такие же, как у обычныхпоршневых двигателей внутреннего сгорания.

6.3. Грейферный механизм


Ещё одно применение треугольника Рёло в механике — это грейферный механизм, осуществляющий покадровое перемещение плёнки в кинопроекторах. Грейфер проектора «Луч-2», например, основан на треугольнике Рёло, который вписан в рамку-квадрат и закреплён на двойном параллелограмме. Вращаясь вокруг вала привода, треугольник двигает рамку с расположенным на ней зубом. Зуб входит в перфорацию киноплёнки, протаскивает её на один кадр вниз и выходит обратно, поднимаясь затем к началу цикла. Его траектория тем ближе к квадрату, чем ближе к вершине треугольника закреплён вал (идеально квадратная траектория позволила бы проецировать кадр в течение ¾ цикла).

Существует и другая конструкция грейфера, также основанная на треугольнике Рёло. Как и в первом случае, рамка этого грейфера совершает возвратно-поступательное движение, однако её двигает не один, а два кулачка, работа которых синхронизирована с помощью зубчатой передачи.


6.4. Крышки для люков


В форме треугольника Рёло можно изготавливать крышки для люков — благодаря постоянной ширине они не могут провалиться в люк.

В Сан-Франциско, для системы рекуперирования воды корпуса люков имеют форму треугольника Рёло, но их крышки имеют форму равносторонних треугольников.


6.5. Кулачковый механизм





Треугольник Рёло использовался в кулачковых механизмах некоторых паровых двигателей начала XIX века. В этих механизмах вращательное движение кривошипа поворачивает треугольник Рёло, прикреплённый к толкателю передаточными рычагами, что заставляет толкатель совершать возвратно-поступательное движение. По терминологии Рёло, это соединение образует «высшую» кинематическую пару, поскольку контакт звеньев происходит по линии, а не по поверхности. В подобных кулачковых механизмах толкатель при достижении крайнего правого или левого положения остаётся некоторое конечное время неподвижен.


Треугольник Рёло ранее широко применяется в кулачковых механизмах швейных машин зигзагообразной строчки.

В качестве кулачка треугольник Рёло использовали немецкие часовые мастера в механизме наручных часов A. Lange & Söhne «Lange 31».


6.6. Каток


Для перемещения тяжёлых предметов на небольшие расстояния можно использовать не только колёсные, но и более простые конструкции, например, цилиндрические катки. Для этого груз нужно расположить на плоской подставке, установленной на катках, а затем толкать его. По мере освобождения задних катков их необходимо переносить и класть спереди. Такой способ транспортировки человечество использовало до изобретения колеса.

При этом перемещении важно, чтобы груз не двигался вверх и вниз, так как тряска потребует дополнительных усилий от толкающего. Для того, чтобы движение по каткам было прямолинейным, их сечение должно представлять собой фигуру постоянной ширины. Чаще всего сечением был круг, ведь катками служили обыкновенные брёвна. Однако сечение в виде треугольника Рёло будет ничуть не хуже и позволит передвигать предметы столь же прямолинейно.

Несмотря на то, что катки в форме треугольника Рёло позволяют плавно перемещать предметы, такая форма не подходит для изготовления колёс, поскольку треугольник Рёло не имеет фиксированной оси вращения.

6.7. Плектр


Треугольник Рёло — распространённая форма плектра (медиатора): тонкой пластинки, предназначенной для игры на струнах щипковых музыкальных инструментов.




7. Треугольник Рёло в искусстве



7.1. Архитектура


Форма треугольника Рёло используется и в архитектурных целях. Конструкция из двух его дуг образует характерную для готического стиля стрельчатую арку, однако целиком он встречается в готических сооружениях довольно редко. Окна в форме треугольника Рёло можно обнаружить в церкви Богоматери в Брюгге, а также в шотландской церкви в Аделаиде . Как элемент орнамента он встречается на оконных решётках цистерцианского аббатства в швейцарской коммуне Отрив.

Треугольник Рёло используют и в архитектуре, не принадлежащей к готическому стилю. Например, построенная в 2006 году в Кёльне 103-метровая башня под названием «Кёльнский треугольник» в сечении представляет собой именно эту фигуру.

7.2. Форма и цвет



Согласно форкурсу Иоганнеса Иттена, в «идеальной» модели соответствий, часть спектра каждого цвета пребывает в таковом — с формой (геометрической фигурой). Зелёный цвет является «производным»: результатом смешения прозрачно-синего и светло-желтого (без включения ахроматических), а поскольку в этой модели им соответствуют круг и правильный треугольник, именно фигура, называемая И. Иттеном сферическим треугольником, — треугольник Рёло, и соответствует зелёному.



7.3. Литература


В научно-фантастическом рассказе Пола Андерсона «Треугольное колесо» экипаж землян совершил аварийную посадку на планете, население которой не использовало колёса, так как всё круглое находилось под религиозным запретом. В сотнях километров от места посадки предыдущая земная экспедиция оставила склад с запасными частями, но перенести оттуда необходимый для корабля двухтонный атомный генератор без каких-либо механизмов было невозможно. В итоге землянам удалось соблюсти табу и перевезти генератор, используя катки с сечением в виде треугольника Рёло.

8. Вариации и обобщения

8.1. Многоугольник Рёло


Лежащую в основе треугольника Рёло идею построения можно обобщить, используя для создания кривой постоянной ширины не равносторонний треугольник, а звёздчатый многоугольник, образованный отрезками прямых равной длины. Если из каждой вершины звёздчатого многоугольника провести дугу окружности, которая соединит две смежные ей вершины, то полученная замкнутая кривая постоянной ширины будет состоять из конечного числа дуг одного и того же радиуса. Такие кривые (а также ограничиваемые ими фигуры) называются многоугольниками Рёло.

Семейство многоугольников Рёло определённой ширины образует всюду плотное подмножество во множестве всех кривых постоянной ширины . Иными словами, с их помощью можно сколь угодно точно приблизить любую кривую постоянной ширины.

Среди многоугольников Рёло выделяют класс кривых, построенных на основе правильных звёздчатых многоугольников. Этот класс носит название правильных многоугольников Рёло. Все дуги, из которых составлен подобный многоугольник, имеют не только одинаковый радиус, но и одинаковую длину. Треугольник Рёло, например, является правильным. Среди всех многоугольников Рёло с фиксированным числом сторон и одинаковой шириной правильные многоугольники ограничивают наибольшую площадь.

Форма таких многоугольников используется в монетном деле: монеты ряда стран (в частности, 20 и 50 пенсов Великобритании) выполнены в виде правильного семиугольника Рёло. Существует изготовленный китайским офицером велосипед, колёса которого имеют форму правильных треугольника и пятиугольника Рёло.



8.2. Трёхмерные аналоги



Трёхмерным аналогом треугольника Рёло как пересечения трёх кругов является тетраэдр Рёло — пересечение четырёх одинаковых шаров, центры которых расположены в вершинах правильного тетраэдра, а радиусы равны стороне этого тетраэдра. Однако тетраэдр Рёло не является телом постоянной ширины: расстояние между серединами противоположных граничных криволинейных рёбер, соединяющих его вершины, в



раз больше, чем ребро исходного правильного тетраэдра.

Тем не менее, тетраэдр Рёло можно видоизменить так, чтобы получившееся тело оказалось телом постоянной ширины. Для этого в каждой из трёх пар противоположных криволинейных рёбер одно ребро определённым образом «сглаживается». Получающиеся таким способом два различных тела (три ребра, на которых происходят замены, могут быть взяты либо исходящими из одной вершины, либо образующими треугольник) называются телами Мейсснера, или тетраэдрами Мейсснера. Сформулированная Томми Боннесеном и Вернером Фенхелем в 1934 году гипотеза утверждает, что именно эти тела минимизируют объём среди всех тел заданной постоянной ширины, однако (по состоянию на 2011 год) эта гипотеза не доказана.

Наконец, тело вращения, получаемое при вращении треугольника Рёло вокруг одной из его осей симметрии второго порядка, — тело постоянной ширины. Оно имеет наименьший объём среди всех тел вращения постоянной ширины.



9. Вывод
Что  же  я  получил  в  ходе  работы?  Я изучил процесс получения квадратного отверстия с помощью дрели, изучил  литературу,  просмотрел  видео  материалы,  рассмотрел  большое  количество  областей,  где  только  возможно  применение  треугольника  Рёло,  я получил интересный  результат.  Во-первых, применение  данного  треугольника  в  окружающем  нас  мире очень велико и может  быть  гораздо  большим,  чем  мы  могли  бы  подумать. Я провел исследование, знают ли студенты нашего колледжа о методе получения квадратных отверстий с помощью дрели. Было опрошено 124 студента. После анализа были получены результаты, что только 63 человека предполагают, что бывают квадратные отверстия, 35 студентов уверены, что квадратные отверстия можно получить сверлением, 78 человек желают узнать о таком способе, но поверили, что квадратные отверстия можно получить сверлением лишь 52 человека, менее 50% опрошенных. Данный опрос показал, что студенты все-таки любознательный народ и не против заглянуть за пределы программы по математике, чтобы узнать что-то новое.

Во-вторых, этот способ получения квадратных отверстий я смогу использовать в своей профессиональной деятельности при разработке технологических процессов получения деталей в машиностроительном производстве.


10. Перечень используемой литературы и интернет источников
10.1. Используемая литература
1. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни) 10 кл. Год издания 2012 Издательство

Мнемозина.

2. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни) 11 кл. Год издания 2012 Издательство Мнемозина.
10.2. Интернет-источники:
3. http://www.teoretmeh.ru/Relo.htm

4. https://ru.wikipedia.org





База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница