Решение систем уравнений с двумя переменными степени выше первой



Скачать 57.05 Kb.
Дата10.11.2016
Размер57.05 Kb.
Решение систем уравнений с двумя переменными степени выше первой.
Решение системы - это упорядоченная пара чисел (x; y), обращающая каждое уравнение системы уравнений с двумя переменными в верное числовое равенство.

Решить систему - значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

  1. Системы, в которых одно из уравнений линейное, как правило, решаются следующим образом. Из линейного уравнения одна из переменных выражается через другую и подставляется во второе уравнение. Если в системе оба уравнения нелинейные, то применяют также комбинирование уравнений с целью получения нового уравнения, которое можно разложить на простые множители.

Пример 1. Решите систему уравнений:



Решение. а) Из второго уравнения системы: поэтому

полученное выражение для y подставим во второе уравнение системы, получится одно уравнение с одним неизвестным х (метод подстановки). Решение каждой из этих систем сводится к решению квадратного уравнения.

Ответ:

Самостоятельно:

Решить систему уравнений, заменив ее совокупностью двух систем:



б) Сложим оба уравнения: вычтем из второго уравнения первое: Таким образом,

Умножим первое уравнение на второе: Тогда





Ответ:

Самостоятельно:

Решить систему уравнений методом почленного умножения:





в) Умножим первое уравнение на (-1), второе на 2 и сложим:

Получившееся уравнение называется однородным уравнением второй степени. В нем каждое слагаемое является одночленом второй степени относительно переменных x,y .Такие уравнения решают следующим образом. Заметим, что y=0 не является решением уравнения (т.к. если y=0, то из уравнения вытекает, что x=0, а пара чисел (0;0) не является решением исходной системы). Поэтому можно разделить обе части на :



Это уравнение является квадратным относительно отношения . Решаем его и получаем:В каждом случае выражаем x через y и подставляем в одно из уравнений исходной системы (выберем первое как наиболее простое).

Находим соответствующие значения y.



Ответ:
Самостоятельно:

Решить системы уравнений





  1. Многочлен с двумя переменными называется симметрическим, если Иными словами, многочлен является симметрическим, если он не изменяется, когда переменные x и y меняются местами. Например, многочлены являются симметрическими,

а многочлены и симметрическими не являются.

Многочлены и называются элементарными симметрическими многочленами. Оказывается, что любой симметрический многочлен можно представить в виде многочлена относительно элементарных симметрических многочленов. Последнее утверждение часто оказывается полезным при решении систем, в которых оба уравнения симметрические. А именно, такие системы сильно упрощаются при замене и



Пример 2.Решите систему уравнений:



Решение.

Получаем:

Значит,

Ответ:

Самостоятельно:

Решить системы уравнений:





  1. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени

Обычно задачу с помощью системы уравнений решают по следующей схеме:

  1. Вводят обозначения неизвестных и составляют систему уравнений.

  2. Решают систему уравнений.

  3. Возвращаясь к условию задач и использованным обозначениям, записывают ответ.

Задача.

Два бегуна стартовали один за другим с интервалом в 2 мин. Второй из них, пробежав 1 км, догнал первого и, продолжая бег, на расстоянии 5 км от места старта повернул обратно. На обратном пути тон снова встретился с первым бегуном, причем эта встреча произошла через 20 мин после старта первого бегуна. С какой скоростью бежал каждый бегун?



Решение.

Пусть x км/ч – скорость первого бегуна, y км/ч - скорость второго бегуна.

Составим таблицу для первого уравнения:






S,км

v,км/ч

t,ч

1 бегун

1

x



2 бегун

1

y



Составим таблицу для второго уравнения:





t,ч

v,км/ч

S,км

1 бегун



x



2 бегун



y



Решая систему уравнений

найдем, что она имеет два решения:из которых только первое соответствует смыслу задачи.



Ответ: скорость первого бегуна 12 км/ч, а второго – 20 км/ч.

Самостоятельно:

Задача.

Расстояние в 360 км легковой автомобиль прошел на 2 ч быстрее, чем грузовой. Если скорость каждого автомобиля увеличить на 30 км/ч, то грузовой затратит на весь путь на 1ч больше, чем легковой. Найдите скорость каждого автомобиля.



  1. Системы неравенств с двумя переменными.

Пара чисел значений переменных x и y является решением как первого, так и второго неравенства системы, т.е. является общим решением неравенств этой системы. Такую пару чисел называют решением системы неравенств с двумя переменными. Множеством решений системы неравенств с двумя переменными является пересечение множеств решений входящих в нее неравенств. На координатной плоскости множество решений системы неравенств изображается множеством точек, представляющих собой общую часть множеств, задаваемых неравенствами, входящими в систему. Графический способ решения систем неравенств с двумя переменными

Чтобы построить на координатной плоскости решение системы неравенств, надо:



  1. выполнить равносильные преобразования системы так, чтобы удобно было строить графики всех неравенств, которые входят в систему;

  2. построить эти графики и найти пересечение областей.

Пересечение областей представляет собой решение системы неравенств.

Пример 3


Изобразите в координатной плоскости множество решений системы неравенств:

Множеством решений первого неравенства является круг с радиусом 2 и центром в начале координат. Множеством решений второго неравенства является полуплоскость. Множеством решений системы является пересечение этих множеств, т.е. полукруг.



Самостоятельно:

Изобразите в координатной плоскости множество решений системы неравенств:





База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница