Произведения векторов ортогональное проектирование



Скачать 185.44 Kb.
Дата03.05.2016
Размер185.44 Kb.

Раздел 2

Произведения векторов


Раздел 2

ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

§2.1. Ортогональное проектирование





M

l

M*




Определение

2.1.1.

Определение



2.1.2.

Прямую l, с расположенным на ней ненулевым вектором , будем называть осью.

Вектор называется направляющим вектором оси l.


Пусть дана точка M , не лежащая на оси l , тогда основание перпендикуляра, опущенного из M на ось l - точку M* будем называть ортогональной проекцией точки M на ось .

Рисунок 2.1.1.
Примером оси может служить ось координат - прямая, проходящая через начало координат, направляющим вектором которой служит один из базисных векторов.

Определение

2.1.3.


Ортогональной проекцией вектора на ось l называется вектор , лежащий на оси l, начало которого есть ортогональная проекция начала вектора на ось l, а конец - ортогональная проекция конца вектора 1).

Выполним нормировку направляющего вектора , то есть заменим его на вектор и рассмотрим нормированный базис на оси l. (Рис. 2.1.1.)



Определение

2.1.4.


Численным значением ортогональной проекции вектора на ось l называется координата вектора в базисе .

Определение

2.1.5.


Углом между ненулевыми векторами и называется величина наименьшего из двух углов, образуемых этими векторами при совмещении их начал.

Численное значение ортогональной проекции вектора на ось l обозначим как . Из рис. 2.1.2. очевидно, что , где есть угол между и .





Рисунок 2.1.2.
Свойства ортогональных проекций
1.1. Проекция суммы двух векторов равна сумме проекций этих векторов
.
Данное свойство иллюстрирует рис. 2.1.3.










l

Рисунок 2.1.3.

1.2. Если вектор умножить на вещественное число, то его проекция также умножится на это число



.
Заметим, что свойства 1.1 и 1.2 можно объединить в следующее утверждение:
Проекция линейной комбинации векторов равна той же линейной комбинации проекций

.
Справедливость свойств 1 и 2 вытекает из определения операции ортогонального проектирования и правил действия с векторами.

Свойства численных значений ортогональных проекций


2.1. ;
2.2. .
Или, объединяя 2.1 и 2.2,
.
Отметим, что эти равенства следуют из свойств ортогональных проекций и свойств координат векторов.

§2.2. Скалярное произведение векторов и его свойства

Определение

2.2.1.


Скалярным произведением ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
В случае, когда хотя бы один из сомножителей есть нулевой вектор, скалярное произведение считается равным нулю.

Скалярное произведение векторов и обозначается как . По определению: где - угол между векторами-сомножителями. При этом, согласно определению 2.1.5., .


Заметим также, что, если , то справедливо равенство .

Свойства скалярного произведения




1.


при и тогда и только тогда, когда и взаимно ортогональны;


2.


(коммутативность). Следует из определения скалярного произведения и свойств косинуса);


3.


(дистрибутивность).







Доказательство:
Если , то 3 очевидно. Пусть , тогда

Свойство доказано.


4. ;


5. ;

(заметим также, что условия и равносильны);


6. При и .

§2.3. Выражение скалярного произведения в координатах

Пусть задан базис и два вектора и , координатные разложения которых в этом базисе имеют вид и .


По свойствам 3 и 4 скалярного произведения

В случае ортонормированного базиса эта формула упрощается, поскольку для попарных скалярных произведений базисных векторов справедливо равенство:

,
где ij так называемый символ Кронекера. Откуда, для скалярного произведения векторов в ортонормированном базисе, получаем формулу

,
из которой следуют полезные соотношения:
,

а для и .


Отметим, что последнее равенство в сочетании с условием приводит к неравенству Коши-Буняковского :



Задача


2.3.1.

Найти расстояние между двумя точками в ортонормированной системе координат, если известны радиус-векторы этих точек.



Решение:


Пусть задана ортонормированная система координат и радиус-векторы двух точек и в ней. Тогда, используя решение задачи 1.7.1., из равенства


и свойств скалярного произведения, получаем

.

§2.4. Векторное произведение векторов и его свойства


Определение

2.4.1.


Упорядоченная тройка некомпланарных векторов {, , } называется правой, если (после совмещения их начал) кратчайший поворот от вектора к вектору виден из конца вектора совершающимся против часовой стрелки. В противном случае упорядоченная тройка некомпланарных векторов {, , } называется левой.




Определение

2.4.2.


Векторным произведением неколлинеарных векторов и называется вектор такой, что

1. , где - угол между векторами и .

2. Вектор ортогонален вектору и вектору .

3. Тройка векторов {, , } правая.


В случае, когда сомножители коллинеарны (в том числе, когда хотя бы один из сомножителей есть нулевой вектор), векторное произведение считается равным нулевому вектору.

Векторное произведение векторов и обозначается как . Из определения 2.4.2. следует, что


1. равен площади параллелограмма, построенного на векторах и .
2. Для коллинеарности ненулевых векторов и необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было равно нулю.

Свойства векторного произведения


1. (антикоммутативность, следует из определения 2.4.2. и нечетности функции )
2. (следует из определения векторного произведения и того факта, что векторы и ортогональны одной и той же плоскости при неколлинеарных и и ).
3. (дистрибутивность).

Для доказательства дистрибутивности векторного произведения воспользуемся следующими вспомогательными утверждениями:




Лемма


2.4.1.

Пусть даны два вектора и , начала которых находятся в общей точке на оси l. Тогда результат поворота суммы векторов и на угол вокруг оси l равен сумме результатов поворота каждого из этих векторов вокруг оси l на угол .







Утверждение леммы 2.4.1. будем обозначать как l



.


Его справедливость ясна из рис. 2.4.1.


Рисунок 2.4.1.


Лемма


2.4.2.

Если , то вектор равен результату поворота проекции вектора на плоскость, перпендикулярную вектору , вокруг вектора на угол по часовой стрелке.






Доказательство:







O








Рисунок 2.4.2.

Лемма доказана.



Проведем две плоскости, одна из которых проходит через точку O - общее начало векторов и , перпендикулярно , а вторая проходит через векторы и .

Ортогональная проекция вектора на плоскость, перпендикулярную , будет лежать на линии пересечения построенных плоскостей, и тогда из определения векторного произведения следует



,

поскольку . (Рис. 2.4.2.)

Следовательно, в рассматриваемом случае

,

где означает ортогональное проектирование вектора на плоскость, перпендикулярную вектору .


Докажем теперь дистрибутивность векторного произведения.







Доказательство свойства 3:
Если , то 3 очевидно.

Пусть , тогда в силу утверждений лемм 2.4.1., 2.4.2. и свойства 1.1 из §2.1.








Свойство доказано.





§2.5. Выражение векторного произведения в координатах

Пусть задан базис такой, что векторы образуют правую тройку, и два вектора и , координатные разложения которых в этом базисе имеют вид и .


По свойствам 2 и 3 векторного произведения

Обозначим через и попарные векторные произведения базисных векторов следующим образом: .
Подставив эти обозначения в выражение для и использовав формулу связывающую определители квадратных матриц 2-го и 3-го порядков (см. теорему 1.1.1.), получим
.

Случай ортонормированного базиса

Пусть исходный базис ортонормированный, образующий правую тройку векторов, тогда по определению 2.4.2., .

Тогда для векторного произведения векторов в ортонормированном базисе получаем


Из вышеприведенных формул вытекают полезные следствия:





Следствие

2.5.1.


Для того чтобы векторы и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы в любой декартовой системе координат
, или же, .


Следствие

2.5.2.


В ортонормированной системе координат площадь параллелограмма, построенного на векторах и , вычисляется по формуле
,
причем для плоского случая .

§2.6. Смешанное произведение


Определение

2.6.1.


Смешанным (или векторно-скалярным) произведением векторов , и , обозначаемым как (, , ), называется число ( [,],).


Теорема


2.6.1.

Абсолютная величина смешанного произведения векторов (,,) равна объему параллелепипеда, построенного на векторах , и . При этом, если тройка векторов , , некомпланарная и правая, то их смешанное произведение положительно, а если тройка некомпланарная и левая, то - отрицательно.







Доказательство:

Если коллинеарен , то утверждение теоремы очевидно. Пусть неколлинеарен , тогда, по определению скалярного произведения,



,












Рисунок 2.6.1.
Теорема доказана.

где S = | [,] | есть площадь параллелограмма, построенного на векторах и , а - высота параллелепипеда с основанием S, откуда (см. рис. 2.6.1.)

.

Наконец,



,
что и позволяет сделать заключение о знаке смешанного произведения.

Свойства смешанного произведения

Для смешанного произведения справедливы тождества:

1. ;


2. ;
3. ,
справедливость которых следует из определения смешанного произведения и теоремы 2.6.1.

Отметим, наконец, что смешанное произведение равно нулю, если среди сомножителей имеется хотя бы одна пара коллинеарных векторов.



§2.7. Выражение смешанного произведения в координатах

Пусть задан базис и три вектора , и , координатные разложения которых в этом базисе имеют вид , и .


По свойствам векторного произведения имеем

где векторы были определены в §2.5.


Из этого определения вытекает, что , поэтому для , получим

поскольку выражение, стоящее в больших круглых скобках, является разложением определителя 3-го порядка по последней строке. (См. теорему 1.1.1.)
Замечания: 1. Из последней формулы и теоремы 2.6.1. следует справедливость теоремы 1.6.3.

2. В случае ортонормированного правого базиса , поэтому в таком базисе

3. Для введенных в §2.5. векторов справедлива



Теорема


2.7.1.

Тройка векторов образует базис (называемый взаимным базису ).







Доказательство:
Для доказательства достаточно показать, что векторы линейно независимы.
Предположим противное. Пусть существуют, не равные одновременно нулю, числа такие, что . Умножив последовательно обе части этого равенства скалярно на , , получим

. (2.7.1.)

Для девяти выражений имеем , где . Действительно, выражения суть смешанные произведения некомпланарных векторов и потому отличны от нуля. Остальные шесть выражений будут смешанными произведениями векторов, среди которых имеется пара равных, и, следовательно, равными нулю.

Подставляя значения выражений в систему равенств (2.7.1.), получим, что все , , что противоречит сделанному предположению о линейной зависимости векторов .
Теорема доказана.


§2.8. Двойное векторное произведение

Определение

2.8.1.


Двойным векторным произведением векторов , и называется вектор [.

Для ряда задач оказывается полезным применение формулы


,
доказательство которой приводится в приложении 4 (см. §Пр.4.5.).

§2.9. Замечания об инвариантности произведений векторов

Операции векторных произведений были введены независимо от координатного представления сомножителей и, значит, независимо и от используемого базиса. С другой стороны, естественным представляется вопрос о возможности (и, соответственно, целесообразности) введения операций произведения векторов непосредственно в координатной форме.


В общем случае, каждой упорядоченной паре векторов и , имеющих в базисе координатные представления и , естественно поставить в соответствие девятку попарных произведений , которую можно записать в виде матрицы

(2.9.1.)
На первый взгляд, зависимость компонент этой матрицы от выбора базиса делает координатный способ введения произведений векторов малоцелесообразным, ибо, в общем случае, придется давать их определение для каждого из возможных базисов. Однако было замечено, что существуют некоторые линейные комбинации чисел , инвариантные (то есть не изменяющиеся) при замене базиса, которые можно принять за определение произведений векторов в координатном представлении.
Покажем, в качестве примера, что сумма элементов матрицы 2.9.1., стоящих на ее главной диагонали, не меняется при переходе от одного ортонормированного базиса к другому.

Пусть даны два ортонормированных базиса и с матрицей перехода .

Согласно §1.8., в этом случае для базисных векторов имеют место соотношения , а для координат соответственно

.
Пусть - символ Кронекера (см. §2.3.). Из условия ортонормированности базисов и имеем
.
Отметим, что полученные здесь соотношения являются свойством матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому.

Найдем теперь выражение для линейной комбинации в базисе , используя зависимости между компонентами матрицы перехода и определение символа Кронекера


.
Полученное равенство доказывает инвариантность суммы при замене одного ортонормированного базиса другим, которая может быть принята в этих базисах за определение скалярного произведения векторов.


1) Верхний символ будет использоваться для условного обозначения различного рода операций, например: проектирования, поворота, отражения, дифференцирования и т.д.


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница