Программа по курсу «Функциональный анализ»



Дата03.05.2016
Размер36 Kb.



ПРОГРАММА


по курсу «Функциональный анализ»
Факультет математический

Специальность 010101 – Математика


Семестр 5 – 6

Лекции 76 час.

Практические занятия 68 час.

Самостоятельная работа 84 часа

Форма проверки экзамен 5 – 6 семестр

зачет 5 семестр

Составитель: Пуляев В. Ф., профессор, доктор физ.-мат. наук



Содержание лекционного материала

Линейные нормированные пространства ( ЛНП )

Введение. Линейные пространства: определение, примеры. Линейная независимость, базис. Конечномерные пространства. Примеры.

Вспомогательные неравенства (Гельдера, Минковского). Норма в линейном пространстве. Примеры норм.

Шары и топология в ЛНП. Предел в ЛНП и его свойства. Сходимость в конкретных пространствах. Ряды в ЛНП.

Полные (банаховы) ЛНП. Полнота пространств , , . Примеры пространств, не являющихся полными.

Доказательство полноты пространства.

Теорема о вложенных шарах. Замкнутые множества. Теорема Бэра. Пополнение пространства.

Теорема об эквивалентности норм в конечномерном пространстве и следствия из неё.

Принцип сжимающих отображений: непрерывные отображения в ЛНП, сжимающие отображения. Доказательство принципа сжимающих отображений.

Применение принципа сжимающих отображений к скалярным уравнениям, алгебраическим системам, интегральным и дифференциальным уравнениям.



Основные принципы теории линейных непрерывных операторов

Линейные непрерывные операторы и их свойства: определение, примеры. Критерий непрерывности линейных операторов.

Алгебраические операции над операторами. Норма линейного оператора, её свойства. Полнота пространства .

Принцип равномерной ограниченности. Равномерная и поточечная сходимость операторов.

Применение принципа равномерной ограниченности к задачам анализа.

Обратимые операторы и их свойства. Теорема Банаха об обратном операторе: доказательство вспомогательного утверждения.

Доказательство теоремы Банаха. Применение теоремы Банаха для получения оценок решения уравнений.

Линейные непрерывные функционалы. Общий вид функционалов в конкретных пространствах. Теорема Хана – Банаха и следствия из неё.

Доказательство теоремы Хана – Банаха. Применение теоремы Хана – Банаха к задаче об отделимости выпуклых множеств.

Гильбертовы пространства

Пространство со скалярным произведением. Неравенство Коши – Буняковского. Гильбертово пространство. Ортогональность.

Ортогональное дополнение к подпространству. Проекция вектора на подпространство; её вычисление в случае конечномерного подпространства. Теорема о существовании проекции.

Ортонормированные системы. Критерий полноты. Ряды Фурье. Равенство Парсеваля – Стеклова. Общий вид функционалов в .



Вопросы спектральной теории линейных непрерывных операторов.

Теория Фредгольма – Рисса – Шаудера

Обратимые операторы: обратимость . Свойства обратимых операторов.

Спектр линейного непрерывного оператора, его свойства. Непустота спектра. Спектральный радиус.

Формула для вычисления спектрального радиуса.

Компактность множеств в нормированных пространствах. Примеры. Критерий компактности в конкретных пространствах.

Вполне непрерывные операторы и их свойства. Вполне непрерывность оператора Гильберта – Шмидта.

Сопряженные операторы: определение, существование и свойства. Примеры. Вполне непрерывность сопряженного оператора.

Свойства решений линейных уравнений. Замкнутость образа оператора , где – вполне непрерывный оператор.

Доказательство теоремы Фредгольма.

Спектр вполне непрерывного оператора.

Вполне непрерывные самосопряженные операторы. Теорема Гильберта – Шмидта.

Интегральные уравнения. Производная Фреше

Линейные интегральные уравнения. Характеристические числа и собственные функции. Теоремы Фредгольма. Уравнения с вырожденными ядрами.

Интегральные уравнения с симметричными ядрами.

Производная отображений, её свойства. Дифференцирование сложной функции.



Применение производной к нахождению экстремумов функционалов.
Литература

Учебники:

  1. Основная:

  1. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.

  2. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа.

  3. Шилов Г. Е. Математический анализ (спецкурс).

  1. Дополнительная:

  1. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.

  2. Садовский В. А. Теория операторов.

Задачники:

  1. Очан Ю. С. Сборник задач и теорем по теории функций действительной переменной.

  2. Пуляев В. Ф., Цалюк З. Б. Задачи по функциональному анализу.

  3. Антоневич А. Б., Князев Н. П., Радыно Я. В. Задачи и упражнения по функциональному анализу.


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница