Программа комплексного междисциплинарного вступительного экзамена по программе «Математический анализ» направления 010100. 68 «Математика»



Скачать 86.97 Kb.
Дата03.05.2016
Размер86.97 Kb.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Калмыцкий Государственный Университет»

Факультет математики, физики и информационных технологий

«УТВЕРЖДАЮ»

Декан. Сумьянова Е.В.

«___»_______________2013г.


Программа

комплексного междисциплинарного вступительного экзамена

по программе «Математический анализ» направления 010100.68 «Математика»


  1. Алгебра. Линейная алгебра и геометрия

Действительные и комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Операции над комплексными числами. Модуль и аргумент комплексного числа. Возведение в степень (формула Муавра) и извлечение корней из комплексных чисел.

Векторное пространство. Подпространство. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис и размерность. Координаты вектора, матрица перехода и преобразование координат вектора при переходе от одного базиса к другому. Вещественное евклидовое пространство. Скалярное произведение векторов и его свойства. Неравенство Коши–Буняковского. Длина вектора, расстояние и угол между векторами. Ортогональные и ортонормированные базисы. Процесс ортогонализации.

Операции над матрицами. Обратимые матрицы, критерий обратимости матрицы и формула для обратной матрицы. Определитель квадратной матрицы и его разложение по строке или столбцу. Собственные числа и собственные векторы матрицы, характеристический многочлен, теорема Гамильтона-Кели.

Системы линейных алгебраических уравнений. Подпространство решений однородной системы, его размерность и базис, общее решение. Критерий существования ненулевого решения однородной системы. Неоднородные системы, частное и общее решения. Ранг матрицы, критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений (теорема Кронекера-Капелли).

Многочлены от одной переменной. Операции над многочленами. Корень многочлена, простые и кратные корни. Теорема Безу. Основная теорема алгебры, разложение многочлена с комплексными коэффициентами на линейные множители, формулы Виета. Многочлены нечетных степеней с вещественными коэффициентами.

Вещественные квадратичные формы. Канонический и нормальный вид, закон инерции для вещественных квадратичных форм. Определенные и неопределенные вещественные квадратичные формы, критерий Сильвестра.



  1. Математический анализ.

Понятие множества и операции над ними. Отображение (функция). Композиция функций, обратная функция, график функции. Действительные числа. Существование верхней (нижней) грани; принцип вложенных отрезков; принцип предельной точки; лемма о конечном покрытии.

Последовательность, определение. Предел последовательности и его свойства. Бесконечно малые последовательности и их свойства. Предельный переход и равенства, неравенства для последовательностей. Последовательность Коши. Монотонные последовательности и их свойства. Подпоследовательности.

Предел функции и его свойства. Свойства функций, имеющих предел. Определение и свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций. Предельный переход и равенства, неравенства для функций. Замечательные пределы для функций. Монотонные функции и пределы монотонных функций. Сравнение асимптотического поведения функций. Символы «о» и «О». Сравнение бесконечно малых функций.

Определение и условия непрерывности функции. Точки разрыва функции. Локальные свойства непрерывных функций. Глобальные свойства функций, непрерывных на отрезке. Монотонность. Равномерная непрерывность.

Определение производной, дифференциала и их свойства. Дифференцируемость функции. Касательная. Правила дифференцирования. Лемма Ферма, теорема Ролля, Лагранжа, Коши. Производные элементарных функций.

Производные и дифференциалы высших порядков. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Тейлоровские разложения элементарных функций. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций: монотонность, экстремумы, выпуклость. Экстремум функции. Необходимое и достаточное условия внутреннего экстремума. Асимптоты функции. Вогнутость, выпуклость кривой, функции. Точки перегиба. Правило Лопиталя и его применение к вычислению пределов.

Первообразная. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Методы интегрирования. Определенный интеграл Римана. Необходимое и достаточное условия интегрируемости функции. Интегральные суммы Дарбу и интегралы Дарбу. Классы интегрируемых функций. Свойства определенного интеграла, выраженные равенствами и неравенствами. Формула Ньютона-Лейбница. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Приложения определенного интеграла.

Пространство Rm. Метрика. Метрическое пространство. Предел и непрерывность функции многих переменных. Частные производные, дифференцируемость функции многих переменных. Дифференциал. Частные производные и дифференциал высших порядков. Необходимое и достаточное условие экстремума функции. Условный экстремум. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой ограниченной области.

Несобственный интеграл I и II рода. Признаки сходимости несобственных интегралов. Эталонные интегралы. Теорема Дирихле-Абеля. Абсолютная, условная сходимость несобственных интегралов.

Определение числового ряда. Сходимость числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Необходимое условие сходимости числового ряда. Свойства сходящихся рядов. Признаки сравнения для знакоположительных рядов. Ряд Лейбница.

Необходимый признак сходимости функционального ряда. Равномерная, абсолютная сходимость ф.р. Степенные ряды. Функциональные свойства суммы степенного ряда в интервале сходимости. Ряд Тейлора. Ряд Фурье.

Условия интегрируемости, основные свойства. Сведение кратного интеграла к повторному. Замена переменных. Понятие о несобственном кратном интеграле, зависящем от параметра. Примеры приложений.

3. Комплексный анализ

Производная функции комплексного переменного (ф.к.п.) в точке. Дифференцируемость в области. Понятие функции аналитической в области. Интегрирование ф.к.п. Сведение интеграла к криволинейным интегралам 1,2 рода в R2 . Условие существования криволинейного интеграла от ф.к.п.. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши для простого и составного контура. Интеграл типа Коши. Его бесконечная дифференцируемость. Теорема Морера. Принцип максимальности модуля. Лемма Шварца. Теорема единственности.

Степенной ряд, круг и радиус сходимости. Теорема Абеля. Формула Коши-Адамара. Равномерная сходимость степенного ряда внутри круга сходимости. Примеры разложения в степенной ряд функций: еz, sin z, cos z, ln(1+z), (1+z)μ, sh z, chz .

Понятие изолированной особой точки однозначного характера для аналитической функции (и.о.т.о.х). Их характеристика. Критерий устранимой и.о.т.о.х, полюса, существенно особой точки . Теорема Сохоцкого. Определение ряда Лорана функции, аналитической в кольце. Определение вычета функции в и.о.т.о.х .Способы вычисления вычета в зависимости от характера и.о.т.о.х. Основная теорема о вычетах. Применение теории вычетов к вычислению определенных интегралов типа:



, , .

Понятие однолистной и конформной функции на множестве в С. Дробно-линейная функция (д.л.ф.), как пример функции, отображающей конформно расширенную комплексную плоскость на себя. Основные свойства д.л.ф. Примеры д.л.ф., отображающих круговые области и полуплоскости. Элементарные функции 1/2 (z+1/z), ez, z4, z1/4 . Примеры конформного отображения областей элементарными функциями. Многозначные функции z1/n, ln z, Arcsin z, Arctg z. Понятие об аналитическом продолжении. Теорема о монодромии.

4. Функциональный анализ

Понятие мощности множества. Свойства счетных множеств. Множества мощности континуума. Примеры счетных множеств и множеств мощности континуума. Определение метрического пространства. Примеры: Rn, Cn,, m, c, S, l, С[a,b], L[a,b]. Сходящиеся последовательности элементов метрического пространства, их свойства. Открытые и замкнутые в метрическом пространстве множества. Всюду плотные и нигде не плотные множества. Фундаментальные последовательности. Полные метрические пространства. Примеры полных и неполных пространств. Теорема Бэра. Теорема о вложенных шарах.

Меры на кольцах и алгебрах. Мера Лебега и ее свойства. Мера Лебега – Стилтьеса. Измеримые функции и их свойства. Сходимость почти всюду и сходимость по мере. Теорема Егорова. Теоремы Лебега и Рисса о сравнении сходимости почти всюду и по мере. Интеграл Лебега от простой функции. Интеграл Лебега от произвольной измеримой функции. Свойства интеграла Лебега . Полная аддитивность и абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Теоремы Лебега, Леви, Фату о предельном переходе под знаком интеграла Лебега.

Сепарабельные метрические пространства. Примеры сепарабельных и несепарабельных метрических пространств. Компактные и предкомпактные множества в метрических пространствах, их свойства. Критерий компактности Хаусдорфа. Критерий компактности в Rn, Cn,, m, c, S, l, С[a,b], L.

Нормированные пространства. Банаховые пространства. Примеры. Непрерывность линейных операций и нормы. Ряды в нормированных пространствах, сходимость и абсолютная сходимость, связь с полнотой пространства. Базис Шаудера. Фактор –пространства. Линейные непрерывные операторы в банаховых пространствах. Примеры непрерывных операторов. Норма оператора. Теорема Банаха –Штейнгауза (принцип равномерной ограниченности). Обратные операторы. Теоремы о существовании обратных операторов. Линейные непрерывные функционалы. Общий вид линейного непрерывного функционала в пространствах Rn, Cn,, m, c, S, l, С[a,b], L. Теорема Хана - Банаха. Сопряженные пространства. Рефлексивные пространства.

Евклидовы и унитарные пространства. Гильбертовы пространства. Примеры.Ортогональность. Теорема об ортогональном разложении гильбертова пространства. Ортонормированные системы. Процесс ортогонализации Шмидта. Ряды Фурье по ортонормированным системам. Полнота и замкнутость ортонормированных систем. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Резольвента и спектр линейного оператора. Точечный непрерывный и остаточный спектр. Ограниченность, замкнутость и непустота спектра. Спектральный радиус. Тождество Гильберта. Спектр сопряженного оператора. Компактные операторы. Примеры. Свойства компактных операторов. Компактность интегрального оператора в С[a:b]. Спектр компактного оператора.

5. Аналитическая и дифференциальная геометрия.

Преобразование декартовой прямоугольной системы координат на плоскости и в пространстве. Уравнения прямой на плоскости и в пространстве. Условие параллельности и ортогональности прямых. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы. Центр кривой 2-го порядка. Общее уравнение плоскости в пространстве. Условия параллельности и ортогональности прямых и плоскостей. Теорема о вычислении расстояния от точки до плоскости (нормальное уравнение плоскости).

Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов пространства и их свойства.

Каноническое уравнение поверхностей второго порядка.

Понятие кривой на плоскости и в пространстве. Кривизна и кручение регулярной кривой. Формула Френе. Понятие поверхности. Первая и вторая квадратичные формулы поверхности, их применения. Гауссова и средняя кривизна поверхности.

6.Дифференциальные уравнения. Уравнения с частными производными.

Теорема существования и единственности Коши-Пикара. Условие полного дифференциала. Понятие об интегрирующем множителе. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1 –го порядка и его решение методом Лагранжа. Уравнение Бернулли. Однородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка. Общая теория линейных дифференциальных уравнений n-го порядка (линейная независимость, фундаментальные решения, общее решение). Построение фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Определение устойчивости, примеры. Лемма и теорема Ляпунова. Системы дифференциальных уравнений.

Постановка задачи математической физики. Классификация уравнений с частными производными. Общее решение уравнений с частными производными. Задача Коши. Краевые задачи. Задача Штурма – Лиувилля. Корректная постановка задачи математической физики. Примеры корректных и некорректных задач. Уравнение теплопроводности, краевые условия. Принцип максимума-минимума решения уравнения теплопроводности, следствия. Гармонические функции. Уравнение колебания струны, метод Фурье для решения уравнения колебания струны. Формула Пуассона. Теорема о среднем. Принцип максимума –минимума и его следствия . Определение функции Грина. Задача Дирихле.



Рекомендуемая литература:

  1. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.1, Т. 2. Москва, Дрофа.2002

  2. Зорич В.А. Математический анализ. Т.1, Т. 2. Москва, Дрофа.2002

  3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1, 2. Москва, Высшая школа.2001

  4. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б. Математический анализ. Москва, Дрофа. 2004

5. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре.- Наука.2001

6. Кострикин А.И. Введение в алгебру.- Наука. 2002



7. Кострикин А.И. Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия.- Наука.2001

  1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения .-Москва. Наука. 2000.

9. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-Москва. Наука. 2002.
Программа обсуждена и утверждена на заседании Ученого Совета факультета МФИТ 20 февраля 2013 года.


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница