Потенциальный барьер имеет вид, представленный на рисунке 1



Скачать 26.96 Kb.
Дата02.11.2016
Размер26.96 Kb.
Задача 4.15.
Частица массы , обладающая энергией , падает на прямоугольный потенциальный барьер высотой и шириной . Энергия частицы . Найдите значения энергии частицы , при которых она будет беспрепятственно проходить через этот барьер. Вычислите первые два значения для электрона при эВ и нм.
Решение:
Потенциальный барьер имеет вид, представленный на рисунке 1:


Рисунок 1
Потенциальная энергия имеет вид:

Составим уравнение Шредингера:
Для области 1 (): (1)

Для области 2 (): (2)



Для области 3 (): (3)
Обозначим и и перепишем дифференциальные уравнения (1), (2), (3) в виде:
(4)
(5)
(6)
Решения дифференциальных уравнений (4), (5), (6) имеют вид:
(7)
(8)
(9)
Каждое уравнение соответствует сумме дебройлевских волн, распространяющихся в данной области пространства. Будем считать, что частица движется слева направо, тогда - сумма падающей и отражённой дебройлевских волн. Из этого можем заключить, что так как соответствует падающей волне, то коэффициент . Волновая функция соответствует прошедшей волне де Бройля, поэтому волна в области 3, распространяющаяся в отрицательном направлении оси отсутствует, поэтому коэффициент . С учётом вышеизложенного перепишем уравнения (7), (8), (9) в следующем виде:
(10)
Теперь воспользуемся граничными условиями, накладываемыми на волновую функцию, а именно непрерывностью и гладкостью. Исходя из условия непрерывности волновой функции в точках и , имеем:
(11)

(12)
Первые производные , , имеют вид:
(13)
Из условия непрерывности в точках и :
(14)

(15)
Получим систему 4 уравнений (11),(12),(14),(15):

или
(16)
Из системы уравнений (16) определим :
(17)
Коэффициент прохождения частицы через потенциальный барьер определяется отношением потоков плотностей вероятности прошедшей и падающей волн де Бройля:
(18)
Поток плотности вероятности , соответственно для падающей волны де Бройля , для прошедшей , тогда коэффициент прохождения частицы через потенциальный барьер равняется:
(19)
Соответственно, коэффициент прохождения частицы через потенциальный барьер равняется 1, если:
(20)
Учитывая, что , получим:

Откуда получим, значения энергии, при которых частица может беспрепятственно проходить потенциальный барьер:
(21)
Найдём первых два значения для электрона:


Ответ: значения энергии, при которых частица будет беспрепятственно преодолевать потенциальный барьер данного вида:




База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница