Отчет по практике. «Решение трехмерных параболических уравнений методом конечных элементов». студента 5 курса



Скачать 97.04 Kb.
Дата03.05.2016
Размер97.04 Kb.


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

КЕМЕРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Математический факультет

Кафедра ЮНЕСКО по новым информационным технологиям

 

 



 

 

 



Отчет по практике.

«Решение трехмерных параболических уравнений методом конечных элементов».

студента 5 курса

Михайлова Сергея Олеговича

Специальность 010501 – «Прикладная математика и информатика»

 

 



 

 

Научный руководитель:



к.ф-м.н С.Н. Карабцев

_____________________

 

 

Работа защищена с оценкой



«___» (_________________)

“____” _____________2012г.

 

Зав. кафедрой ЮНЕСКО по НИТ,



д.ф.-м.н., профессор

________________ К.Е. Афанасьев

 

 

Кемерово 2012


Оглавление


Оглавление 2

Введение 3

Постановка задачи 4

Решение уравнения с помощью метода конечных элементов. 5

Конечно – разностное решение дифференциального уравнения 8

Формат хранения разреженных матриц. 9

Получение портрета матрицы 10

Тестовы рассчеты 12

Вывод. 19

Список литературы 20





Введение


Целью данной работы является решение трехмерного параболического уравнения методом конечных элементов.

Задачи:


  1. Рассмотрение теоретических основ и способов замены производной по времени.

  2. Изучение способов хранения разреженной матрицы.

  3. Реализация решения параболического уравнения методом конечных элементов.

  4. Проведение тестовых расчетов.


Постановка задачи


Дано уравнение:


(1)

с граничными условиями:




(2)




 – полная граница области.

 – пространственные координаты.



 – вектор единичной нормали.

С помощью этого уравнения могут быть описаны нестационарные задачи переноса тепла и течения грунтовых вод (фильтрационное течение).

Если задача описывает перенос тепла, то

 – температура,

 – коэффициенты теплопроводности в направлениях x, y, z,

 – источник тепла внутри тела, который считается положительным, если тепло подводится к телу,

 - представляет собой некоторый параметр материала или комбинацию таких параметров.

Если задача описывает фильтрационное течение, то



 – (потенциал жидкости) пьезометрический напор, измеряемый от дна водоносного слоя,

коэффициенты проницаемости в направлениях x, y, z,

 – коэффициент упругоемкости.

 – могут изменяться со временем.

 – тензор коэффициентов проницаемости(теплопроводности).

Решение уравнения с помощью метода конечных элементов.


В качестве элемента дискретизации будет рассмотрен тетраэдр. Тогда, используя метод Галеркина, искомую функцию на элементе можно аппроксимировать как


(3)

где


 – значение функции в узлах элемента,

 – базисная функция

И
(4)


спользуя линейную аппроксимацию на элементе, получим соотношение в каждом узле элемента



Из системы линейных уравнений (4) мы получим коэффициенты a, b, c, d. Это решение может быть получено с помощью метода Крамера.

Где


(5)


 – объем тетраэдра.

 , , ,


(6)

.
Где остальные коэффициенты определяются с помощью циклической перестановки индексов в последовательности, 

Согласно (3)


(7)


г
(8)


де

Применяем критерий Галеркина к уравнению (1) получаем




(9)

Разбиваем интеграл на два и применяем к первому формулу Грина, получаем




(10)

Подставляем в (10) выражение (3) и получаем


(11)

Где



(12)




Матрица , также называется матрицей демпфирования, Матрица  – матрица жесткости,  – вектор нагрузки [1,3,4,5].


Конечно – разностное решение дифференциального уравнения


Для того чтобы получить значения  в каждой точке временного интервала, необходимо решить линейное дифференциальное уравнение (11). Существует два распространенных метода решения уравнений такого типа. Один из таких методов заключается в приближенной замене частной производной по времени ее конечно-разностным аналогом с применением центрально – разностной схемы. Другой метод состоит в применение метода Галеркина уже не к пространственной, а временной области. Из двух подходов, первый метод менее требователен к затратам ресурсов ЭВМ и поэтому более предпочтительный.

Р
(13)


ассмотрим две временные точки  и , которые находятся на расстоянии  друг от друга. Для первой производной в средней точке интервала  имеем приближенное соотношение

Если рассматривать узловые значения как функции времени, то можно записать




(14)

Т
(15)


ак как  вычисляется в средней точке временного интервала, в этой точке также должны быть вычислены  и . Эти величины определяются по приближенным формулам




(16)

П
(17)


одставляя выражение (14), (15) и (16) в дифференциальное уравнение (11), получаем соотношение

к
(18)


оторое может быть преобразовано к виду

Т
(19)


ак как соотношение записано в средней точке интервала, то можно вычислять значение именно в этой точке. Эти узловые значения могут быть определены путем исключения из уравнения (17) с помощью формулы (15) членов содержащих . Такой способ приводит к уравнению

[3,5].

Формат хранения разреженных матриц.


В связи с увеличением затрат вычислительных ресурсов ЭВМ и необходимости постоянно хранить как минимум две глобальные матрицы размерностью  (где  – число точек разбиения), был использован компактный способ хранения разреженных матриц – формат CSIR.

Это один из распространенных способов хранения разреженных матриц. В нем разреженная матрица хранится с использованием следующих массивов

-aelem, который содержит все ненулевые элементы матрицы, перечисленные в строчном порядке.

-jptr, который содержит столько же элементов, сколько aelem и для каждого из них указывает, в каком столбце находится данный элемент.

-iptr, который хранит число элементов, равное элементов увеличенной на единицу размерности СЛАУ. Его i-й элемент указывает с какой позиции в массивах aelem и jptr начинается начинается i-я строка матрицы. Соответственно iptr[i+1] - iptr[i] равно числу ненулевых элементов в i-й строке. Последний элемент iptr[n+1] равен числу элементов в aelem, увеличенному на единицу.

Для хранения симметричных матриц и ненулевой диагональю та же схема, со следующими изменениями:

-Элементы главной диагонали хранятся отдельно в массиве adiag

-вместо массива aelem используется массив altr, в котором таким же образом хранятся только поддиагональные элементы матрицы. Для него формируются массивы jptr и iptr [2].


Получение портрета матрицы


Для того чтобы сформировать разреженный формат матрицы, необходимо знать портрет ненулевых элементов матрицы.

Одним из способов получения портрета матрицы жесткости, является метод символического умножения матрицы связности узлов (инцидентности) и ее транспонированной матрицы, где результатом этого умножения и будет портрет ненулевых элементов матрицы жесткости метода конечных элементов.



 – число узлов.

 – число элементов.

 - матрица связности размерности .

 - транспонированная матрица связности размерности .



Портрет матрицы жесткости, совпадает с портретом матрицы демпфирования, так что позволяет хранить массивы iptr и jptr в одном экземпляре, для двух матриц.

Алгоритм формирования портрета матрицы имеет линейную скорость. Также алгоритм, для экономии памяти, позволяет во время формирования портрета, исключать элементы связанные с узлами Дирихле, так как в процессе включения граничного условия Дирихле, соответствующие столбцы и строки матрицы обнуляются. Но в этом случае портреты матрицы демпфирования и матрицы жесткости не будут совпадать [6].

Тестовы рассчеты


Тестовые расчеты для кубической области .

 ,  ,  .

рис.1

Временной интервал .

Тестовые расчеты были проведены на сетках:



  1. 397 точек, 1503 элемента, с шагом по времени  = 2.

  2. 2241 точек, 9310 элементов, с шагом по времени  = 0,5.

  3. 12742 точек, 58338 элементов, с шагом по времени  = 0,125.

  4. 80461 точек, 404187 элементов, с шагом по времени  = 0,0325.

Ниже представлены графики относительных погрешностей пробных функций, для этих четырех случаев.

Для 1-го случая – кривая погрешности синего цвета.

Для 2-го случая – кривая погрешности красного цвета.

Для 3-го случая – кривая погрешности зеленого цвета.

Для 4-го случая – кривая погрешности черного цвета.

Квадратичная пробная функция

Дано уравнение (1), в котором взяты 

с граничными условиями:





На рис.2 представлен график относительных погрешностей.



рис.2

Кубическая пробная функция

Дано уравнение (1), в котором взяты 

с граничными условиями:



На рис.3 представлен график относительных погрешностей.



рис.3

Тестовые расчеты для области .



 ,  ,  .


рис.4

Временной интервал .

Тестовые расчеты были проведены на сетках:



  1. 385 точек, 1296 элемента, с шагом по времени  = 18.

  2. 1690 точек, 6602 элементов, с шагом по времени  = 4,5.

  3. 9358 точек, 41853 элементов, с шагом по времени  = 1,125.

  4. 58482 точек, 291425 элементов, с шагом по времени  = 0.28125.

Ниже представлены графики относительных погрешностей пробных функций, для этих четырех случаев.

Для 1-го случая – кривая погрешности синего цвета.

Для 2-го случая – кривая погрешности красного цвета.

Для 3-го случая – кривая погрешности зеленого цвета.

Для 4-го случая – кривая погрешности черного цвета.
Квадратичная пробная функция

Дано уравнение (1), в котором взяты 

с граничными условиями:



На рис.5 представлен график относительных погрешностей.


рис.5

Кубическая пробная функция

Дано уравнение (1), в котором взяты 

с граничными условиями:





На рис.6 представлен график относительных погрешностей.




рис.6


Вывод.


Все цели и поставленные задачи в данной работе были выполнены. Была реализована программа на Fortran для решения поставленной задачи. Проведены тестовые расчеты на различных по мелкости разбиения сетках, на нескольких пробных функциях и в разных областях. Были построены графики изменения относительной погрешности, относительно увеличения числа узлов сетки.

Список литературы


  1. Афанасьев К. Е., Терентьев А. Г. Применение метода конечных элементов в задачах со свободными границами //Динамика сплошной среды с нестационарными границами /Чуваш, ун-т. – Чебоксары, 1984.

  2. Баландин М.Ю., Шурина Э.П., Методы решения СЛАУ большой размерности – Новосибирск: изд-во НГТУ, 2000.

  3. Зенкевич О. Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред . - М.: Недра, 1974.

  4. Коннор Д., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. - Л.: Судостроение, 1979.

  5. Сеггерлинд Л. Применение метода конечных элементов – М.:Мир,1979.

  6. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. – М.: Мир, 1988.




База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница