Область значений и ядро линейного преобразования



Дата03.05.2016
Размер37 Kb.

Область значений и ядро линейного преобразования.



Определение 1. Пусть линейное преобразование линейного пространства L над полем P. Множество {(x) |xL} называют областью значения линейного преобразования и обозначают L или (L).

Теорема 1. Область значений линейного преобразования линейного пространства L является подпространством линейного пространства L.

Теорема 2. Пусть e1,…,en – базис линейного пространства Ln и – линейное преобразование Ln. Тогда базис Ln совпадает с базисом системы векторов {e1,…,en}.

Следствие. dim Ln равна рангу системы векторов e1,…,en.

Пусть А = -



e1en

  матрица линейного преобразования линейного пространства Ln в базисе e. Тогда известны координатные столбцы векторов e1,…,en в базисе е. Пусть ранг матрицы А равен r и Mr – её базисный минор. Для удобства будем считать, что он расположен в левом верхнем углу матрицы А. Тогда векторы e1,…,en составляют базис системы векторов {e1,…,en}. В силу следствия теоремы 2, e1,…,en – это базис области значений Ln и dim Ln = r = r(A).



Определение 2. Число r называют рангом линейного преобразования .
Пример 1. Матрица A линейного преобразования линейного пространства А3 в базисе е1, е2, е3 имеет вид:

А=. Найти базис и размерность А3.



Решение. Найдём ранг матрицы А

А = М2 = = r(A)

M3 = 0, отсюда r(A) = 2. Базисные столбцы – это первый и второй столбцы А. Значит, базис А3 составляют векторы e1=e1+2e2+e3, e2=e1+2e2 и поэтому A3 =1 +2e2+e3, e1+2e2>. dim А3 =2.

Определение 3. Пусть – линейное преобразование линейного пространства L над полем Р. Множество векторов {x | xLn, (x) = 0} называют ядром линейного преобразования и обозначают . Другими словами, – это множество всех векторов из L, которые при преобразовании переходят в нуль.

Очевидно, что , т.к. 0 = 0 и 0.



Теорема 2. Ядро линейного преобразования линейного пространства L является подпространством пространства L.

Теорема 2. Множество векторов линейного преобразования линейного пространства Ln с базисом 1,…,еn) = e и матрицей = преобразования в базисе е совпадает с множеством решений однородной системы уравнений

(1)

Следствие. Если r(A)=n, то система имеет одно решение – только нулевое; поэтому =0. Если r(A)=r<n, то система имеет бесконечно много решений. Её ФСР состоит из (nr) решений. Они и составляют базис . Размерность ядра равна (nr), т.е. dim=nr.

Определение. Число (nr) = dim называют дефектом линейного преобразования n-мерного линейного пространства L.

Теорема 3. Сумма размерности области значений линейного преобразования n мерного линейного пространства Ln и размерности его ядра равна размерности Ln, то есть

dimL + dim = n.
Пример 2. В линейном пространстве А3 в базисе е1, е2, е3 матрица А линейного преобразования имеет вид: =. Найти базис и размерность ядра преобразования .

Решение. Находим ранг матрицы А. М2 == 3 – 2 , r2, M3 = 0, r (A) = 2. Значит r < n (2 < 3). Составляем систему уравнений АX = 0, где Х =

(2)

Она имеет бесконечно много решений и её ФСР состоит из nr=3–2=1, одного решения. Поэтому dim = 1. Решаем систему (2).



Основные неизвестные – х1, х2, свободные – х3.



x1

x2

x3

–3

1

1

Значит ФСР системы (2) является (–3, 1,1). Базис состоит из одного вектора, например, a=–3e1+e2+e3 и =<3e1 +e2–5e3 >.








База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница