Номера задач из "упражнений" указаны в таблице ниже



страница26/26
Дата04.05.2016
Размер1.06 Mb.
1   ...   18   19   20   21   22   23   24   25   26

Контрольные вопросы


  1. Приведите содержательные примеры ситуаций выбора в условиях риска.

  2. В приведенных примерах выделите ходы природы и опишите их в виде лотерей.

  3. Что в рассмотренной игре 2 является стратегиями?

  4. В дереве решений рассмотренной игры 3 выделите все простые и сложные лотереи.

  5. Как соотносится рандомизация с принципом рациональности?

  6. Приведите содержательные примеры рандомизации действий, что в этих случаях является стратегиями, исходами, выигрышами?

  7. Сколько бы лично вы согласились заплатить за участие в игре, описанной в ситуации «Петербургский парадокс»? Что это говорит о вашей склонности к риску?

Упражнения


  1. В рассмотренную игру 2 (научно-исследовательские работы) введите учет дисконтирования, если дополнительно известно, что исследования длятся 1 год, а после налаживание производства происходит еще в течение 2 лет, а ежегодный коэффициент дисконтирования для фирмы составляет . Изменится ли результат принятия решения?

  2. Как в предыдущей задаче на результате скажется тот факт, что с вероятностью 0.05 исследования продуктаА могут затянуться на дополнительный год, но при этом вероятность успеха реализации товара возрастает до 0.8?

  3. Индивидуум имеет функцию полезности типа Неймана—Моргенштерна, а элементарная функция полезности строго возрастает и зависит только от одного аргумента (денег). Лотерея $3 и $5 с вероятностями 1/2 и 1/2 и лотерея $3 и $9 с вероятностями 2/3 и 1/3 для него эквивалентны. Может ли быть верным, что этот индивид а) рискофоб; б) нейтрален к риску; в) рискофил?

  4. Пусть есть одно благо (деньги), элементарная функция полезности потребителя имеет вид , а начальный запас (гарантированная сумма) денег равен $9. Существует лотерейный билет, который может выиграть $0 с вероятностью 0,5 (если выпадет «орел») и $7 с вероятностью 0,5 («решка»). Рассмотрите три альтернативные ситуации:

(1) За какую сумму х потребитель купил бы такой билет?

(2) За какую сумму употребитель согласился бы сам эмитировать (продать) такой лотерейный билет (можно считать, что его гарантированный запас состоит из 9-ти билетов по $1 выигрывающих в состоянии мира «орел» и 9-ти по $1 на «решку»)?

(3) Если потребителю подарят такой билет, за какую сумму он бы его продал?


  1. Рассмотрим следующую игру: если игрок называет число а, то получает дополнительно к имеющейся у него сумме сумму а с вероятностью 1/3 и (–а) с вероятностью 2/3. Какое число назовет игрок, предпочтения которого описываются функцией полезности Неймана—Моргенштерна с элементарной функцией полезности а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ;

  2. Предпочтения судовладельца описываются функцией полезности типа Неймана—Моргенштерна с элементарной функцией полезности от богатства х вида u(х), причем u имеет положительную убывающую производную. Он владеет богатством $40 000 и может потерять в случае аварии судна $10 000.

(A) Пусть вероятность аварии равна 0,02 и известно, что он застраховался на сумму $9 000. Возможно ли, что цена страхования на $1 равна $0,02? Если нет, то больше или меньше, чем $0,02? Объясните.

(B) Пусть цена страхования на $1 равна $0,02 и известно, что он застраховался на сумму $11000. Возможно ли, что вероятность аварии равна 0,02? Если нет, то больше или меньше, чем 0,02? Объясните.

(C) Пусть вероятность аварии равна 0,01 и известно, что цена страхования на $1 равна $0,02. Возможно ли, что он застраховался на сумму $10 000? Если нет, то больше или меньше, чем $10 000? Объясните.

Лекция 2.4. Байесовское принятие решений

Решение о зонте


До сих пор мы рассматривали лотереи, которые происходят по времени после принятия решения индивидуумом. Однако во многих ситуациях принятия решений случайный ход природы по смыслу должен предшествовать принятию решения. Рассмотрим простую ситуацию подобного рода. Пусть выигрыши заданы в табл. 2. Дерево решений показано на рис. 26.

Табл. 2. Выигрыши в ситуации принятия решения о зонте.




Взять зонт (З)

Пойти без зонта (БЗ)

Дождь (R)

20

– 60

Нет дождя (не R)

– 30

50

Обозначим (субъективную) вероятность дождя через p. Если индивид берет зонт, то получает ожидаемый выигрыш , и если он не берет зонт, то ожидаемый выигрыш составляет .



Рис. 26. Дерево для принятия решения о зонте

При некотором значении вероятности дождя индивиду безразлично, брать ли зонт или нет. В данном случае эта вероятность задана уравнением



,

и составляет



.

Если при этом априорная вероятность дождя составляет 0.3, то следует принять решение идти без зонта (). Если индивид слышал прогноз погоды, то он может использовать эту информацию при принятии решения. При этом ожидаемая полезность рассчитывается на основе соответствующих условных (апостериорных) вероятностей. Если, например, прогноз былД («будет дождь»), и условно по этому факту вероятность дождя равна P(R|Д) = 0.75. С учетом этого (0.75 > 0.5) делаем вывод, что нужно взять с собой зонт. Если прогноз был О («облачно») или Я («ясно»)с соответствующими условными вероятностями дождяP(R|О) = 0.4 и P(R|Я) = 0.09, то при этих вероятностях индивиду не стоит брать зонт.


Разведка нефти


Более сложная ситуация представлена следующими двумя играми.

Игра «разведка на нефть». Нефтяной компании принадлежит некоторый участок. В наличии или отсутствии нефти можно убедится с помощью бурения, которое стоит 30 млн. руб. Если нефть имеется, то прибыль с месторождения составит 70 млн. руб. По предварительным данным шансы, что на участке есть нефть, составляют 60%. Стоит ли компании бурить скважину, если ее интересует суммарная ожидаемая прибыль?

По поводу этой ситуации можно сказать, что до принятия решения уже имеет место некоторое состояние (свершившийся факт), но лицу, принимающее решения, неизвестно, какое именно состояние имеет место. В экономической теории принято говорить, что есть некоторое состояние природы (или состояние мира). В рассматриваемой ситуации принятия решения имеется два возможных состояния природы: «на участке есть нефть» и «на участке нет нефти». Предполагается, что индивидуум имеет некоторые представления о том, с какой вероятностью может иметь место то или иное состояние мира. В данном случае компания считает, что два состояния имеют вероятности 0,6 и 0,4 соответственно. Чтобы принять правильное решение, компания должна учесть имеющиеся риски.





Рис. 26. Дерево принятия решения о бурении в игре «разведка на нефть»

На рис. 26 эта ситуация принятия решения изображена в виде дерева. Тот факт, что компания не знает, есть ли нефть на участке, в терминах дерева решений означает, что в момент принятия решения компании неизвестно, в правой или левой вершине она находится. Этот факт на дереве отображается с помощью так называемого информационного множества. На рисунке информационное множество изображено с помощью контура, содержащие обе вершины, которые фирма не может отличить. Из каждой вершины информационного множества идут ветви, которые соответствуют одинаковым возможным действиям: не бурить скважину или бурить.

Вероятность левой вершины — 0.6, а правой — 0.4. С учетом этих вероятностей можем рассчитать ожидаемые выигрыши от действий, которые можно осуществить в данном информационном множестве. Если компания решит не бурить скважину, то она в любом случае получит 0, так что ожидаемый выигрыш равен нулю. Если компания решит бурить скважину, то ожидаемый выигрыш будет равен. Таким образом, выгодно произвести бурение.

Здесь «Природа» ходит первой, но компания не знает, как сходила «Природа», поэтому их ходы при моделировании ситуации с помощью дерева решений можно поменять местами. При этом дерево «выворачиваается» (см. рис. 27). Такая операция позволяет сделать дерево решений более обозримым и позволяет применить к нему несложную обратную индукцию.



Игра (разведка на нефть с сейсмическим исследованием). Нефтяной компании принадлежит участок, и она хочет определить, есть ли на нем нефть. По предварительным данным шансы, что на участки есть нефть составляют 60%. Компания может предпринять сейсмические исследования, которые стоят 2 млн руб. Если на участке есть нефть, то сейсмические исследования укажут на это в 80% случаев. Если на участке нет нефти, то сейсмические исследования укажут на это в 90% случаев. Точно в наличии или отсутствии нефти можно убедится только с помощью бурения, которое стоит 30 млн руб. Если нефть имеется, то общая прибыль с месторождения (без учета перечисленных издержек) составит 70 млн руб.



Рис. 27. Решение о бурении — «вывернутое» дерево решений

На рис. 28 описанная ситуация принятия решений изображена в виде дерева. При этом решение о бурении без проведения сейсмического исследования представлено в «свернутом» виде, поскольку мы уже провели выше соответствующий анализ.





Рис. 28. Дерево принятия решения о проведении сейсмического исследования.

Попробуем анализировать представленное дерево решений с конца. Пусть сейсмическое решение дало положительный результат — находимся в информационном множестве . Однако в какой именно вершине мы находимся неизвестно, поэтому точно не знаем, каким будет выигрыш в случае тех или иных действий. Вероятность попадания в левую вершину равна, а в правую — . Общая вероятность попадания в это информационное множество равна. Вероятность попадания в левую вершину, уже попав в данное множество , тогда составляет



.

Аналогично, для правой вершины



.

Тогда ожидаемая полезность компании при бурении скважины в ситуации, когда сейсмическое исследование дало положительный результат () составляет



,

т.е. превышает понесенные затраты на исследование, и, значит, следует принять решение о бурении скважины.

Проводя аналогичные рассуждения для информационного множества (исследование показало отрицательный прогноз), получаем, что компании не выгодно производить бурение, и итоговая ожидаемая полезность с учетом вероятностей результатов исследования составит:

,

и т.к. в случае отказа от исследования выгодно производить бурение, ориентируясь на ожидаемую полезность 12 (как было показано ранее), то исследование выгодно провести (16 > 12).

Можно описанную логику анализа представить как «выворачивание дерева наизнанку» (см. рис. 29). Ветка, соответствующая отказу от сейсмического исследования, изображена в развернутом виде. На получившемся дереве решение находится обычной обратной индукцией. Это дерево существенно проще чем то, что изображено на рис. 28, которое, тем не менее, полезнее тем, что изображает ситуацию с содержательной точки зрения и демонстрирует порядок ходов в явном виде.



Рис. 29. «Выворачивание» дерева решений о сейсмическом исследовании

Опишем общий алгоритм анализа принятия решения в информационном множестве:

• Надо рассчитать вероятности попадания в каждую из вершин информационного множества при данных предыдущих действиях индивидуума, перемножая вероятности вдоль пути от начальной вершины.

• Эти исходные вероятности надо нормировать к единице (т. е. использовать правило Байеса), разделив их на общую вероятность попадания в информационное множество.

• Выявить оптимальные действия в данном информационном множестве, т. е. дающие максимальный ожидаемый выигрыш по рассчитанным условным вероятностям. Заменить информационное множество на конечные вершины, приписав этим вершинам соответствующий ожидаемый выигрыш.

Необходимо отметить, что этот алгоритм не подходит, если индивид может забывать информацию, которой владел ранее.


Контрольные вопросы


  1. Приведите примеры того, как новая информация о ситуации может повлиять на изменение решения индивида в условиях риска.

  2. В приведенных примерах опишите информационные множества и принципы формирования условных вероятностей о состояниях мира. Что в данном случае будет являться стратегиями поведения для принимающего решение индивида?

  3. В чем содержательный смысл информационного множества?

  4. В чем содержательный смысл «выворачивания» дерева решений?

Упражнения


  1. Игра «Вахтер». На входе в некоторое учреждение стоит вахтер. В учреждение могут войти посетители двух типов: «свои» и «чужие» (будем их для краткости обозначать A и B). Некоторые посетители кажутся вахтеру своими, а некоторые — чужими (фактически, в игре есть 2 типа вахтера — обозначим их соответственно a и b). Вахтер точно не знает, «свой» перед ним или «чужой»и может только проверить у посетителя наличие пропуска. При этом если посетитель окажется своим, то выигрыш вахтера составит –1, а если чужим, то 1. Если вахтер пропускает человека без проверки, то ему уже все равно, свой тот или нет, и выигрыш вахтера составляет 0.

Опишите игру в виде дерева решений «единого вахтера», который не обращает внимания на то, что ему кажется и в виде дерева, в котором учтены подозрения вахтера (aиb). Как вахтеру использовать свои подозрения при принятии решения проверять или не проверять документы?

Список литературы


  1. Орлов А.И. Теория принятия решений. Учебное пособие. - М.: Издательство "Март", 2004.

  2. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр: Учеб.пособие для ун-тов. — М.: Высш. шк., Книжный дом «Университет», 1998.

  3. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М., 1970

  4. Воробьев Н.Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М., 1984

  5. Исследование операций: методологические основы и математические методы (под ред. Дж. Моудера и С. Элмаграби). — М.: Мир, 1981.

  6. Исследование операций: модели и применение (под редакцией Дж. Моудера и С. Элмаграби) — М.: Мир, 1981.

  7. Вагнер Г. Основы исследования операций. — М.: Мир, 1972.

  8. Кочетов Ю. Курс лекций по теории принятия решений.
    (http://www.math.nsc.ru/LBRT/k5/)

  9. Евланов Л Г. Теория и практика принятия решений. — М.: Экономика, 1984.

  10. Э.Х. Гимади. О некоторых математических моделях и методах планирования крупномасштабных проектов //Модели и методы оптимизации. Труды Института математики. Новосибирск. Наука. Сиб. Отд–ние. 1988. с. 89–115.

  11. М. Гэри, Д. Джонсон. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982. с. 154–191.

  12. С.В. Севастьянов. Введение в теорию расписаний. Новосибирск. 2003. 173 с. http://www.math.nsc.ru/LBRT/k4/seva_Ucheb.pdf

  13. Э. Мулен. Кооперативное принятие решений: Аксиомы и модели. М.: Мир, 1991.

1   ...   18   19   20   21   22   23   24   25   26


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница