На прямой отмечено 100 точек. Сколько лучей они определяют?



Скачать 379.37 Kb.
страница1/2
Дата20.11.2016
Размер379.37 Kb.
  1   2


5 класс Занятие 1


  1. В клетке находятся 3 кролика. Три девочки попросили дать им по одному кролику. Просьба девочек была удовлетворена, каждой из них дали кролика, и все же в клетке остался 1 кролик. Как это могло случиться?

  2. Два отца и два сына разделили между собой 3 апельсина так, что каждому досталось по одному апельсину. Как это могло случиться?

  3. Из Москвы в Киров вышел пассажирский поезд со скоростью 50 км в час. В то же время из Кирова навстречу первому поезду отправили скорый поезд, делающий 60 км в час. Какой из этих поездов будет дальше от Москвы в момент их встречи?

  4. У Андрея и Сергея вместе 12 яблок, у Сергея и Коли вместе 20 яблок, а у Коли и Андрея - 18 яблок. Сколько яблок у каждого мальчика в отдельности?

  5. На прямой отмечено 100 точек. Сколько лучей они определяют?

  6. Как посадить 9 деревьев в 10 рядов так, чтобы в каждом ряду было по 3 дерева?

  7. Начертите на бумаге 5 прямых линий и так отметьте 10 точек на них, чтобы на каждой линии было ровно по 4 точки.

8. Ученик переписал числовое выражение, значение которого равно 58, но забыл поставить скобки. У него получилось:

6  8 + 20 : 4 – 2

Где в этом выражении должны стоять скобки?


  1. Как нужно расставить скобки, чтобы получить верное равенство:

а) 3248 : 1 6 – 3 315 – 156 2 = 600

б) 350 – 15 104 – 1428 : 14 = 320



  1. По мосту проехало несколько легковых автомобилей и спортивных велосипедов. Сколько было автомобилей и сколько было велосипедов, если известно, что всего по мосту проехало 18 колес (Привести все решения задачи).

5 класс Занятие 2
1. Для нумерации страниц толкового словаря потребовалось 1584 цифры (типографских знаков). Сколько страниц в словаре?

2. Изобразите все числа первого десятка, кроме 7, четырьмя двойками.

3. Найдите значение выражения

99 – 97 + 95 – 93 + 91 – 89 + ... + 7 – 5 + 3 – 1.

4. Отцу 41 год, старшему сыну 13, дочери 10, а младшему сыну 6 лет. Через сколько лет отцу будет столько лет, сколько его детям, вместе взятым?

5. Сумма двух чисел равна 697. Одно из чисел оканчивается цифрой 4. Если эту цифру зачеркнуть, то получится второе число. Найдите эти числа.

6. Из спичек построен дом (рис.1). Переложите две спички так, чтобы дом повернулся другой стороной.





Рис. 4

7. Спичечный рак ползет вверх (рис. 2). Переложите три спички так, чтобы он пополз вниз.

8. Переложив четыре спички, превратите топор (рис.3) в три равных треугольника.

9. Из десяти спичек сделан ключ (рис. 4). Переложите в нем четыре спички так, чтобы получилось три квадрата.

10. Из шести спичек, расположив их без перекрытий, составить четыре равных равносторонних треугольника.

5 класс Занятие 3
1. Сумма двух чисел равна 976. Одно из чисел оканчивается цифрой 8. Если эту цифру зачеркнуть, то получится второе число. Найдите эти числа.

2. Кубик с ребром 50 см окрасили в зеленый цвет и затем распилили на кубики с ребром 10 см. Сколько оказалось неокрашенных кубиков? Сколько кубиков имеют ровно одну окрашенную грань? Сколько кубиков с двумя окрашенными гранями? Сколько кубиков с тремя окрашенными гранями?

3. На 3 склада доставили груз. На первый и второй склады доставили 650 т., на второй и третий – 600 т., а на первый и третий – 670 т. Сколько тонн груза было доставлено на каждый склад в отдельности?

4. Сколько раз к наибольшему однозначному числу надо прибавить наибольшее двузначное число, чтобы получить наибольшее трехзначное число?

5. Часы отстают за каждые сутки на 3 минуты. Их поставили точно. Через какое время часы снова покажут точное время?


  1. Сумма двух чисел равна 495. Одно из этих чисел оканчивается нулем. Если этот ноль зачеркнуть, то получится второе число. Какие это числа.

  2. В трехзначном числе цифры сотен и единиц одинаковы. Найдите все числа такого вида, если известно, что каждое из них делится на 15.

  3. Найдите сумму всех двузначных чисел, меньших 60.

  4. Ребро куба имеет длину полметра. Этот куб разрезали на кубики, длина ребра каждого из которых равна 2 миллиметрам. Кубики затем уложили в одну сплошную прямую линию. Чему равна ее длина?

  5. На одном заводе работают три друга: слесарь, токарь и сварщик. Их фамилии: Борисов, Иванов и Семенов. У слесаря нет ни братьев, ни сестер, он самый младший из друзей. Семенов старше токаря и женат на сестре Борисова. Назовите фамилии Слесаря, токаря и сварщика.


5 класс Занятие 4

  1. В 6 часов утра в воскресенье гусеница начала подниматься по дереву. За день, то есть до 18 часов, она поднимается на 5м, а в течение ночи спускается на 2м. В какой день и час она поднимется на высоту 9 метров?

2. Положите на стол три кучки спичек. В одну кучку положите 11 спичек, в другую – 7, в третью – 6. Перекладывая спички из любой кучки в любую другую, нужно сравнять все три кучки. При этом надо соблюдать такое правило: 1) за каждый ход можно брать спички только из одной кучки, перенося их только в одну кучку; 2) к любой кучке можно добавлять ровно столько спичек, сколько в ней есть. (Задача решается в три хода.)

  1. Сколько треугольников на рисунке 1?


4. На столе лежат 6 шашек в ряд: черная, белая, черная, белая, черная, белая (см. рис. 2а). Требуется переместить шашки таким образом, чтобы слева оказались все белые, а вслед за ними все черные (см. рис. 2б). При этом перемещать на свободное место нужно сразу две рядом лежащие шашки, не меняя порядка в котором они лежат. Раздвигать или сближать шашки не разрешается. (Задача решается в три хода.)



  1. Возьмите 12 спичек и выложите из них такое «равенство»:

Равенство, как видите, неверное, так как получается, что 6 – 4 = 9.

Переложите одну спичку так, чтобы получилось верное равенство.

6. Некий человек должен был перевезти в лодке через реку волка, козу и капусту. В лодке мог поместиться только один человек, а с ним или волк, или коза, или капуста. Но если оставить волка с козой без человека, то волк съест козу, если оставить козу с капустой, то коза съест капусту, а в присутствии человека «никто никого не ел». Человек все-таки перевез свой груз через реку. Как он это сделал? Покажите это средствами PowerPoint



5 класс Занятие 5

  1. В токарном цехе завода вытачивают детали из свинцовых заготовок. Из 1 заготовки 1 деталь. Стружки, получившиеся при изготовлении 6 деталей, можно переплавить и получить еще одну заготовку. Сколько деталей можно сделать таким образом из 36 свинцовых заготовок?

  2. Вдоль сторон квадрата расставлены 12 флажков так, что вдоль каждой стороны располагаются по 4 флажка (см. рис. 1). Можно ли так переставить эти 12 флажков, чтобы вдоль каждой стороны квадрата расположить по 5 флажков? Как расположить эти флажки по 6 с каждой стороны квадрата?

  3. Шестнадцать шашек расположены в четырех рядах по четыре шашки в каждом ряду (см. рис. 2). Уберите шесть шашек так, чтобы в каждом горизонтальном и каждом вертикальном ряду осталось по четному количеству шашек.

  4. Собака гонится за зайцем со скоростью 17 м/с. Заяц бежит со скоростью 14 м/с. Расстояние между ними до погони было 150м. Догонит ли собака зайца, если на расстоянии 520м от зайца растут кусты, где он может спрятаться от собаки?

  5. Заполните пустые клетки (см. рис 3) так, чтобы сумма чисел, стоящих в любых трех соседних клетках, равнялась 13.



  1. Подставьте вместо букв цифры:

Здесь одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, но одни и те же цифры могут быть обозначены разными буквами.

7. Аня, Тамара, Оля и Ира заняли первые четыре места в лыжных соревнованиях, причем никакие две девочки не делили между собой какие-нибудь места. На вопрос: «Кто какое место занял?» – Аня ответила: «Не второе, не четвертое», Тамара сказала: «третье», а Оля заметила, что она была не последняя. Какое место заняла каждая девочка?

5 класс Занятие 6


  1. Скорый поезд шел из Москвы в Петербург без остановок со скоростью 80 километров в час. Другой поезд тоже без остановок шел ему навстречу из Петербурга в Москву со скоростью 120 километров в час. На каком расстоянии будут эти поезда друг от друга за один час до встречи?

  2. Недалеко от берега стоит корабль со спущенной на воду лестницей вдоль борта. У лестницы 10 ступенек. Расстояние между ступеньками 30 см. Самая нижняя ступенька касается поверхности воды. Океан сегодня очень спокоен, но начинается прилив, который поднимает воду за каждый час на 15см. За какое время покроется водой третья ступенька веревочной лестницы?

  3. В девятнадцати кружках, изображенных на рисунке (см. рис. 1) надо расставить числа от 1 до 19 так, чтобы сумма чисел в любых трех кружках, лежащих на одной прямой, равнялась 30.





4. В семнадцати квадратиках, изображенных на рисунке 2, надо расставить пять четверок, три тройки, три двойки и шесть единиц так, чтобы сумма чисел вдоль каждой прямой, изображенной на рисунке, равнялась 11.

5. Когда моему отцу был 31 год, мне было 8 лет, а теперь отец старше меня вдвое. Сколько мне лет теперь?

6. Найдите четыре последовательных четных числа, если известно, что сумма наименьшего и наибольшего из них равна 1202.

7. Средний возраст одиннадцати футболистов команды 22 года. За время игры один из игроков получил повреждение и ушел с поля. Средний возраст оставшихся на поле игроков стал 21 год. Сколько лет футболисту, ушедшему с поля?

5 класс Занятие 7

Ребусы на сложение
Решите ребусы. Подставьте вместо букв и звездочек цифры так, чтобы получились верные математические выражения.

Правила:



  • любую звездочку можно заменить любой цифрой;

  • одинаковым буквам в ребусе должны соответствовать одинаковые цифры;

  • разным буквам в ребусе должны соответствовать разные цифры.



3.











5 класс Занятие 8


  1. Найдите сумму всех трехзначных чисел.

  2. В пятом классе 19 мальчиков и несколько девочек. Каждый из учеников либо лодырь, либо отличник. Среди девочек отличниц столько же, сколько среди мальчиков лодырей. Сколько всего детей в этом классе учатся на «отлично»?

  3. На какое целое число нужно умножить число 7, чтобы в произведении получилось число, изображенное только единицами?

  4. На какое наименьшее число нужно умножить 12345679, чтобы получилось число, изображенное одними четверками?

  5. На какое наименьшее число нужно умножить 333667, чтобы получить число, изображенное одними восьмерками?

  6. Имеющиеся в магазине апельсины были развешены в 24 пакета по 5кг и по 3кг. Вес всех пакетов по 5кг оказался равным весу всех пакетов по 3кг. Какое количество апельсинов находилось в магазине?

  7. Из числа 1234512345123451234512345 вычеркните 10 цифр так, чтобы оставшееся число было максимально возможным.

8. Финди, Ферти, Пит и Пач

На дворе гоняют мяч.

Чудный день, но, как назло,

Бац! И мяч попал в стекло!

Вышел гневный дядя Билл:

– Отвечайте, кто разбил?

Финди пискнул: – Это Ферти!

Ферти: – Это Пач! Да! Да!

Пит сказал: – Не я, поверьте!

Пач: – А Ферти врет всегда!



Кто ж разбил на самом деле?

На решенье – пять минут.

Сопоставьте «заявленья».

И учтите – трое лгут!

Для начала предположим:

Ферти правду говорит.

Но тогда выходит тоже,

Что – пойми – не лжет и Пит.

Предположим, честен Финди...

Так иди за ходом ход.

Не робей! Подумай! Выйдет!

Тот, кто ищет, тот найдет!



5 класс Занятие 9

Об одной геометрической задаче
Двенадцать девочек стали в круг и начали играть в мяч. Каждая девочка бросала мяч своей

соседке слева. Когда мяч обходил весь круг,

его перебрасывали в противоположном

направлении (то есть мяч летел по маршруту

1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-1, а затем по маршруту

1-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1, затем вновь обратно

и так далее...).

Через некоторое время одна девочка сказала:

– Будем лучше бросать мяч через одного человека.

– Но так как нас двенадцать, то половина девочек не

будет участвовать в игре, – живо возразила Наташа.

– Тогда будем бросать мяч через двух третьей!

– Еще хуже: играть будут только четыре... Если хотите, чтобы все девочки играли, нужно бросать мяч через четырех пятой.

Другой комбинации нет, – заявила Наташа.

– А если бросать мяч через 6 человек?

– Это будет та же комбинация, только мяч пойдет в противоположном направлении.

– А если играть через десять, чтобы каждая одиннадцатая ловила мяч? – допытывались девочки.

– Таким способом мы уже играли...

Девочки стали рисовать схемы всех предлагавшихся способов игры и очень скоро убедились в том, что Наташа была права. Только одна схема игры (кроме первоначальной) охватывала всех участниц без исключения (схема а).

Нарисуйте все схемы игры и убедитесь в справедливости слов Наташи.

Предположим, что теперь игроков стало тринадцать. Какие схемы игры существуют и сколько различных схем игры охватывают всех участниц? Сделайте чертежи в PowerPoint (автофигуры, соединительные линии).


Попробуйте обобщить задачу на большее число игроков.

5 класс Занятие 10

Решение логических задач

при помощи графических схем
1. В кафе встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. “Замечательно, что один из нас имеет белые, один черные и один рыжие волосы, но что ни у одного из нас нет волос того цвета, на который указывает его фамилия”, – заметил черноволосый. “Ты прав” – сказал Белов. Каков цвет волос у каждого?

2. Однажды Андрей, Борис, Володя, Даша и Галя договорились вечером пойти в кино. О встрече они решили договориться по телефону. Было решено, что если с кем-то договориться не удастся, то поход в кино отменяется. Вечером у кинотеатра собрались не все, и поэтому посещение кино сорвалось. Кто не пришел к кинотеатру, если Андрей звонил Борису и Володе, Володя звонил Борису и Даше, Борис звонил Андрею и Даше, Даша звонила Андрею и Володе, а Галя звонила Андрею, Володе и Борису?

3. Кто-то принес в класс цветы. Ребята высказали несколько предположений: цветы принесли Андрей и Борис, Андрей и Даша, Андрей и Сергей, Борис и Даша, Борис и Володя, Володя и Галя, Галя и Даша. Учительница сказала, что в одном из этих предположений одно имя названо правильно, а второе – неправильно. Кто принес цветы?

4. Можно ли, сделав несколько ходов шахматными конями из исходного положения, изображенного на рисунке 1, расположить их так, как показано на рисунке 2? (Подсказка: попробуйте представить все возможные ходы графически)





Рис. 1

Рис. 2

5 класс Занятие 11
1. Сколько всего имеется четырехзначных чисел, сумма цифр которых равна трем?

2. Который теперь час, если до конца суток осталось вдвое меньше того времени, которое прошло от их начала?

3. Число выстрелов по мишени уменьшилось на 7, а число попаданий увеличилось на 2. Как изменилось число промахов?

4. Шестизначное число оканчивается цифрой 4. Если эту цифру переставить из конца числа в его начало, то есть приписать ее перед первой, не изменяя порядка остальных пяти, то получится число, которое в четыре раза больше первоначального. Найдите такое число.

5. Через два оборота минутной стрелки часы на башне будут показывать 5 часов утра. Какое время покажут часы через 6 оборотов минутной стрелки?

6. Какая из заштрихованных площадей больше?

Ответ обосновать.
7. Из города А в город В ведут три дороги, а из города В в город С ведут четыре дороги. Сколько различных путей связывают города А и С?

8. Сколько четырехзначных чисел можно записать при помощи цифр 2 и 5?

9. Квадрат со стороной 5 сантиметров разрезали на квадратики со стороной 1 сантиметр. Можно ли из маленьких квадратиков выложить два квадрата так, чтобы были использованы все маленькие квадратики? Если это возможно, то какие квадраты получатся?

10. Квадрат со стороной 7 сантиметров разрезали на квадратики со стороной 1 сантиметр. Можно ли из маленьких квадратиков выложить три квадрата так, чтобы были использованы все маленькие квадратики? Если это возможно, то какие квадраты получатся?



11. Квадрат со стороной 14 сантиметров разрезали на квадратики со стороной 1 сантиметр. Можно ли из маленьких квадратиков выложить три квадрата так, чтобы были использованы все маленькие квадратики? Если это возможно, то какие квадраты получатся?



Занятие 12

Конкурсное занятие


  1. Сколько всего имеется пятизначных чисел, сумма цифр которых равняется четырем?

  2. Андрей, Сергей Максим и Олег решили купить конструктор. Сложив вместе все свои деньги, они набрали 23000 рублей. К сожалению, нужного конструктора в магазине не оказалось, и они решили разобрать каждый свои деньги обратно. К всеобщему удивлению никто не мог вспомнить размер своего вклада. Тем не менее, удалось вспомнить, что у Андрея, Сергея и Олега вместе было 20000 рублей, у Максима и Сергея вместе было 16000 рублей, а у Олега и Сергея вместе было 14000 рублей. Сколько денег должен взять каждый?

  3. Средний вес пяти арбузов 6 кг. После того как один арбуз разбился, средний вес оставшихся арбузов стал 5 кг. Сколько весил разбитый арбуз?

  4. Найдите сумму всех двузначных чисел, наименьшее из которых равно 19, а наибольшее равно 91.

  5. В шахматном турнире участвовали 4 пятых класса: А, Б, В и Г. Определите, какой класс какое место занял, если никакое место не было поделено между классами, и при этом класс «А» занял не второе и не третье место, класс «В» обыграл классы «А» и «Б», а класс «Г» проиграл классам «Б» и «В».

6. Четверо школьников: Андрей, Борис, Виктор и Гоша затеяли спор, кто из них хуже напишет контрольную по информатике. Андрей сказал:"Я напишу – хуже - некуда", но оказалось, что в споре он выиграл не у всех. Борис сказал: "Напишу – лучше - некуда", но нашелся тот, кто помешал ему занять последнее место в споре. Виктор сказал: "У меня не выйдет написать так плохо, чтобы выиграть спор", а Гоша скромно промолчал.

Какое место занял каждый, если известно, что все оценки были разные, и каждый из учеников соврал.



Системы счисления и способы счета Занятие 13

Теория

Система счисления (СС) - способ записи чисел.

Алфавит СС – множество символов для представления любого числа.

Позиционная СС – способ записи чисел, когда имеет значение не только набор используемых символов ее алфавита, но и позиция каждого из них.
Позиционные системы счисления

Разрядом называют позицию символа в числе, а ее номер - номером разряда.

Основание (мощность) СС – количество различных символов (цифр) в ней.

Наименьшая цифра любого числа = 0, а наибольшая = «Основание СС – 1».

Рассмотрим число в СС с основанием «5» (наибольшая цифра = 5-1=4):

2

0

1

3

4

Число

4

3

2

1

0

Номера разрядов

625

125

25

5

1

«Веса» разрядов

У нулевого разряда вес = 1 в любой СС, а каждый очередной разряд имеет вес в «основание СС» раз больше разряда предыдущего по номеру.

Любое число можно представить как сумму произведений цифр на их вес, что позволяет переводить число из одной СС в другую:



201345 = 41+35+125+0125+2625 =4 + 15 + 25 + 0 + 1250 = 129410

Эта запись показывает, что пятеричное число 20134 в десятичной СС равно 1294.



Для перевода из двоичной СС в десятичную и обратно применяют метод таблиц.

Покажем его на примере. Пусть дано число 1001110112. Перенесем его в таблицу:



512

256

128

64

32

16

8

4

2

1

Веса разрядов

0

1

0

0

1

1

1

0

1

1

Число (поразрядно)

Внимание! Заполнять числом таблицу нужно справа налево. Пустые ячейки – нули.

Для перевода числа в десятичную СС следует сложить веса ненулевых разрядов:



256 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 315, то есть 1001110112 = 315

Переведем число из десятичной СС в двоичную. Пусть дано число 475. Тогда:

1)построим таблицу, в которой старший разряд имеет вес ближайший ≤ числу:


256

128

64

32

16

8

4

2

1

Веса разрядов




























Число (поразрядно)

2)берем ближайший вес ≤ заданному числу, в соответствующем разряде ставим «1»

256

128

64

32

16

8

4

2

1

и уменьшаем число на этот вес: 475 – 256 = 224

1

























3)с полученной разностью выполняем те же действия, повторяя их пока число >0.

4)заполняем нулями все промежутки между единицами в таблице



256

128

64

32

16

8

4

2

1

То есть 475 = 1110110112

1

1

1

0

1

1

0

1

1

Задания для самостоятельной работы

Методом таблиц: а) Перевести число 1110112 в десятичную СС

б) Перевести десятичное число 798 в двоичную СС

Занятие 14
1. Один кусок электропровода на 54м длиннее второго. Когда от каждого куска отрезали по 12м, то второй кусок оказался в 4 раза короче первого. Сколько метров провода было в каждом куске первоначально?

2. Коля с папой пошел в тир. Уговор был такой: Коля делает 5 выстрелов и за каждое попадание в цель получает право сделать еще два выстрела. Всего Коля сделал 19 выстрелов. Сколько раз Коля попал в цель?

3. Стенные часы с боем отбивают целые часы и одним ударом каждые полчаса. Сколько ударов в сутки делают эти часы?

4. Если бы школьник купил 11 тетрадей, то у него осталось бы 5 копеек, а на 15 тетрадей у него не хватает 7 копеек. Сколько денег было у школьника?

5. Через мост за день прошло 30 автомобилей и велосипедов, а всего 100 колес. Сколько прошло за день отдельно автомобилей и велосипедов.

6. Какие две цифры нужно приписать справа к числу 123, чтобы получившееся пятизначное число делилось на 72? Найдите все решения.

7. Сколько существует чисел, больших 200 и меньших 1005, которые делятся на 13 без остатка?

8. В ящике 70 шаров, отличающихся лишь цветом: по 20 красных, синих, и желтых, остальные – черные и белые. Какое наименьшее число шаров надо взять, не видя их, чтобы среди них было не менее 10 шаров одного цвета?

9. Можно ли привязать к гвоздям А, B, C, D, E и F веревку так, как показано на рисунке, не разрезая ее на части и не сдваивая?

10. Попробуйте решить задачу 9 экспериментально в среде PowerPoint. Ход решения записать, используя средства анимации.



Занятие 15

Основное правило комбинаторики

1. Из Киева до Чернигова можно доехать пароходом, поездом, автобусом, самолетом; из Чернигова до Новгорода-Северского – пароходом и автобусом. Сколькими способами можно осуществить путешествие по маршруту Киев – Чернигов – Новгород-Северский?

2. В розыгрыше первенства страны по футболу принимают участие 16 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали?

3. Сколько 4х - значных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если:

а) ни одна из цифр не повторяется более одного раза;

б) цифры могут повторяться;

в) цифры могут повторяться, но число должно быть нечетным?

4. На вершину горы ведет 7 дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с нее, если подъем и спуск осуществляются различными путями?

5. Сколькими способами 7 человек могут разместиться в очереди в кассу?

6. В классе изучают 10 предметов. В понедельник 6 уроков, причем все уроки разные. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник?

7. Сколько имеется пятизначных чисел, которые делятся на 5?

8. Сколько есть двузначных чисел, у которых обе цифры четные?

9. Сколько есть пятизначных чисел, у которых все цифры нечетные?

10. Сколько четырехзначных чисел можно написать с цифрами от 0 до 5? Найдите сумму всех этих чисел.

11. Сколько есть пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево (например, таких, как 14541, 32823)?

12. 5 мальчиков и 5 девочек садятся в ряд на 10 расположенных подряд стульев, причем мальчики садятся на места с нечетными номерами, а девочки – на места с четными номерами. Сколькими способами это можно сделать?



Занятие 16
1. В футбольной команде, состоящей из 11 футболистов, необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

2. Сколько существует пятизначных чисел, все цифры которых нечетные?

3. Одновременно бросают три монеты. Сколько разных комбинаций орлов и решек может выпасть?

4. Каждую клетку квадратной таблицы 33 можно покрасить в черный или белый цвет. Сколько существует способов раскраски этой таблицы?

5. Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв: А, Б и В. Словом является любая последовательность, состоящая не более чем из 4 букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо?

6. В магазине “Все для чая” продаются 5 разных чашек, 3 разные блюдца и 4 разные чайные ложки. Сколькими способами можно купить два предмета с разными названиями?

7. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску черную и белую ладьи так, чтобы они не били друг друга?

9. У двух начинающих коллекционеров по 20 марок и по 10 значков. Честным обменом называется обмен одной марки на одну марку или одного значка на один значок. Сколькими способами коллекционеры могут осуществить честный обмен?

10. Сколько существует шестизначных чисел, все цифры которых имеют одинаковую четность?

11. На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (в стопке может быть и одна книга)?

12. Сколькими способами можно поставить 8 ладей на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга?

13. Кубик бросают трижды. Среди всех возможных цепочек результатов есть такие, в которых хотя бы один раз встречается шестерка. Сколько их?



Занятие 17 Уникурсальные графы


Граф–множество точек (вершин), часть из которых соединены линиями (ребрами)

Замкнутое на одной вершине ребро называют петлей.



Степень вершины – это количество соединений ребер в ней.

Вершину назовем четной, если ее степень – четное число.

Вершину назовем нечетной, если ее степень – нечетное число.

Уникурсальный граф – это граф, который можно нарисовать одним росчерком.













Один из популярных способов представления графа - таблица смежности. В ней столько строк и столбцов, сколько вершин в графе, причем столбцы и строки обозначены так же, как и вершины графа, а числовые значения ячеек таблицы указывают количество соединений между вершиной, указанной в заголовке столбца и вершиной, указанной в заголовке строки, при этом одна петля дает два соединения






A

B

C

D

E

F




A

0

1

0

0

0

2

B

1

0

0

1

1

0

C

0

0

0

1

0

0

D

0

1

1

0

0

0

E

0

1

0

0

2

1

F

2

0

0

0

1

0

(обратите внимание – в вершине E одно из ребер - петля!)

  1. Дан кусок проволоки длиной 120см. Можно ли не ломая проволоки, изготовить каркас куба с ребром 10см?

  1. Некоторый граф был начерчен одним росчерком, при этом в вершине А карандаш побывал 3 раза. Определите степень вершины А, если при вычерчивании графа движение карандаша:

а) не с нее начали и не на ней закончили;

б) не с нее начали, но на ней закончили



в) с нее начали, но не на ней закончили;

г) с нее начали и на ней закончили?



(ответить на вопросы, описав решение и изобразив соответствующие 4 графа)

Занятие 18


Орграф удобно представлять так называемой таблицей инциденций, в которой столбцы указывают ребра, а строки – вершины графа. Для обозначения «стартовой» вершины стрелки принято использовать «1», а конечной – «-1», петлю будем обозначать «2», а для обычного ребра в обеих вершинах ставить «1».




E1

E2

E3

E4

E5




V1

0

1

0

1

0

V2

1

0

0

-1

2

V3

0

1

-1

0

0

V4

-1

0

1

0

0

1. Водитель снегоуборочной машины заметил, что если по каждой улице города он проедет ровно по одному разу, то закончит свою поездку на том перекрестке, где находится гараж. На рисунке дана схема улиц города. Найдите, с какого перекрестка должен начать работу водитель, и на каком перекрестке тогда находится гараж? Сколько решений имеет задача?

2. Замените в графе предыдущей задачи все ребра стрелками так, чтобы задача по-прежнему имела решение. В подтверждение укажите маршрут машины.




3. Почтальон Печкин разнес почту во все дома деревни, после чего зашел с посылкой к дяде Федору. На рисунке показаны все тропинки, по которым проходил Печкин, причем, как оказалось, ни по одной из них он не проходил дважды. Каков мог быть маршрут почтальона Печкина? В каком доме живет дядя Федор?


4

. ЗАДАЧА ЭЙЛЕРА. Можно ли поочередно обойти все семь мостов города Кенигсберга, соединяющих районы города с островами на реке Прегель, проходя по каждому мосту ровно один раз?

Занятие 19

1. Мышка находится на прямой между кошкой и норкой. Мышке до норки 20 шагов. Кошке до мышки 5 прыжков. Пока кошка совершит один прыжок, мышка сделает три шага, а 1 кошачий прыжок равен по длине 10 мышиным шагам. Догонит ли кошка мышку?

2. Из трех одинаковых по виду колец одно несколько легче других. Как найти его одним взвешиванием на чашечных весах?

3. Четыре коровы черной и 3 коровы рыжей масти за 5 дней дали такой же надой молока, какой дали 3 коровы черной масти и 5 рыжей масти за 4 дня. Какие коровы более производительны – черной или рыжей масти?

4. Имеется девять пластин и двухчашечные весы. Одна из пластин легче других, но по виду они одинаковы. Как с помощью двух взвешиваний найти более легкую пластину?

5. Сколькими способами можно представить число 50 в виде суммы двух четных положительных чисел? (Представления, различающиеся порядком слагаемых, считаются одинаковыми.)

6. Сколькими способами можно представить число 10 в виде суммы четырех нечетных чисел? (Представления, различающиеся порядком слагаемых, считаются одинаковыми.)

7. В шахматном турнире участвовало 7 человек. Каждый с каждым сыграл по одной партии. Сколько партий они сыграли?

8. На улице, став в кружок, беседуют четыре девочки: Аня, Валя, Галя и Надя. Девочка в зеленом платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом и Валей. Какое платье носит каждая девочка?

9. Возьмите лист бумаги и нанесите на него девять точек так, чтобы они расположились в форме квадрата, как показано на рисунке. Перечеркните теперь все точки четырьмя прямыми линиями, не отрывая карандаша от бумаги.



10. Замените звездочки цифрами.




Занятие 20

Принцип Дирихле




  1. Шесть зайцев посадили в пять клеток. Найдется ли клетка, где сидит более одного зайца?




  1. Доказать, что если в n клетках сидят более n зайцев, то хотя бы в одной из них сидят не менее двух из них.

  2. В классе 16 человек. В диктанте каждый из учеников сделал не более 14 ошибок. Докажите, что в классе есть, по крайней мере, два ученика, которые сделали одинаковое количество ошибок (быть может, и ни одной).

  3. В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и белого. Какое наименьшее количество шариков нужно вынуть из мешка вслепую так, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета.

  4. В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 600000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся две елки с одинаковым количеством иголок.

  5. Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых делится на 11.

  6. В некотором городе проживает более 5 миллионов человек. Докажите, что у каких-то двух из них одинаковое число волос на голове, если известно, что у любого человека на голове менее миллиона волос.

  7. Докажите, что в любой компании из 5 человек есть двое, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании.

Занятие 21

1. Задумано трехзначное число, у которого с любым из чисел 543, 142 и 562 совпадает 1 разряд, а 2 других не совпадают. Какое число задумано?

2. Из 75 одинаковых по виду колец одно кольцо по весу несколько отличается от других. Как за два взвешивания на чашечных весах определить, легче или тяжелее это кольцо, чем остальные?

3. Двое путников одновременно вышли из города А в город В. Первый половину времени, затраченного на переход, проходил по 5км в час, а затем – по 4 км в час. Второй же первую половину пути шел со скоростью 4км в час, а затем – со скоростью 5км в час. Кто пришел в В раньше?

4. Имеются двухчашечные весы и гири массой 1, 2, 4, 8, 16г. На одну чашу весов кладут груз, на другую можно класть гири. Докажите, что весы можно уравновесить, если масса груза равна:

а) 13, 19, 23 и 31г;

б) любому целому числу граммов от 1 до 31 включительно.

5. В очереди за билетами в кино стоят друзья: Юра, Миша, Володя, Саша и Олег. Юра купит билет раньше, чем Миша, но позже Олега; Володя и Олег не стоят радом, а Саша не находится рядом ни с Олегом: ни с Юрой, ни с Володей. Кто за кем стоит? Ответ изобразить графически

6. В соревнованиях по вольной борьбе участвовало 12 человек. Каждый участник должен был встретиться с каждым из остальных по одному разу. Докажите, что в любой момент соревнования имеется два участника, проведших одинаковое число схваток.

7. Каждую из фигур, изображенных на рисунке, разделите на четыре равные части.

Занятие 22


1. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.

2. Из каких разверток можно сложить куб (а) или параллелепипед (б):



3. На коврике изображены семь роз. Нужно тремя прямыми линиями разрезать коврик на семь частей, каждая из которых содержала бы по одной розе.


4. Заполните клетки так, чтобы сумма чисел, стоящих в любых трех соседних клетках, равнялась 15.



Занятие 23

1. Вычислите:

а) 2+4+6+8+10+…+100; б) 3+6+9+12+…+99;

в) 5+10+15+20+25+…+150; г) 7+14+21+28+35+…+98;

д*) x+2x+3x+4x+5x+…+100x; е) 24+28+32+36+40+…+88;

ж*) 7x+8x+9x+10x+11x+…+77x.

2. Найдите площади темной и белой фигур на рисунке 1. Обобщите.

3. Используя рисунок 2, найдите сумму: 1+3+5+7+9+11+13+15. Обобщите. Придумайте правило, как найти сумму n последовательных нечетных чисел, первое из которых равно 1.

4. Вычислите: 13+15+17+19+…+31.

5. Сколько сейчас времени, если оставшаяся часть суток в два раза больше прошедшей?

6. Фокусник просит вас: "Задумайте каждый какое-либо трехзначное число, и припишите к нему точно такое же число. Получившееся шестизначное число умножьте на 2, результат разделите сначала на 7, затем, что получится, на 11, и, наконец, на 13. Назовите получившийся результат". После этого фокусник безошибочно угадывает задуманное вами число. Как он это делает?

7. Старинная задача "о девичьей хитрости". Золотошвея, взяв 20 девушек в ученье, разместила их в восьми комнатах своего дома так, как показано на рисунке 3. По вечерам золотошвея обходила дом и проверяла, чтобы в комнатах на каждой стороне его было по 7 девушек. Однажды к девушкам в гости приехали 4 подружки и, заговорившись, остались у них ночевать, причем все 24 девушки разместились в комнатах так, что вечером золотошвея насчитала в комнатах на каждой стороне дома опять по 7 девушек. На следующий день четыре девушки пошли провожать своих подружек и дома не ночевали. Оставшиеся 16 девушек разместились так, что опять вечером золотошвея насчитала в комнатах с каждой стороны дома по 7 девушек. Как размещались девушки в своих восьми комнатах в двух последних случаях?



Занятие 24

1. Объем деревянного бруска равен 80 см3, ширина 4 см, высота 2 см. Длину этого бруска уменьшили на 3 см. Определите объем оставшейся части.

2. Васе купили аквариум в форме куба, вмещающий 64 л воды (1л =1 дм3). Вася наполнил аквариум водой, недолив 5 см до верхнего края. Сколько литров воды налил он в аквариум?

3. Можно ли из прямоугольных параллелепипедов 1х1х2 сложить куб 3х3х3 (рис. 1)?

4. Можно ли из прямоугольных параллелепипедов 1х1х2 сложить куб 3х3х3, из которого вынут угловой кубик (рис. 2)?

5. На рисунке 3 показан кирпич. Придумайте способ измерения диагонали АВ кирпича с помощью трех таких кирпичей и линейки.



Рис. 4

6. На рисунке 4 изображен куб, сложенный из 27 маленьких кубиков. Сколько прямоугольных параллелепипедов содержится в данном кубе? Сколько всего кубов содержится в данном кубе?

7.Сколько кубиков использовано для построения башни

на рис. 5? Если окрасить эту башню снаружи, то

сколько из них окажутся окрашенными с одной,

двух и трех сторон и сколько из них окажутся

не окрашенными?



Занятие 25 Что может быть хорошего в "худшем случае"…

1. В непрозрачном мешке лежат 5 белых и 2 черных шара.

а) Какое наименьшее число шаров надо вытащит из мешка, чтобы среди них обязательно оказался хотя бы один белый шар?

б) Какое наименьшее число шаров надо вытащит из мешка, чтобы среди них обязательно оказался хотя бы один черный шар?

в) Сколько шаров надо вытащить, чтобы среди них обязательно оказался хотя бы один белый и хотя бы один черный шар?

г) Какое наименьшее число шаров надо вытащить, чтобы среди них обязательно оказались 3 белых и 1 черный шар?

д) Сколько шаров надо вытащить, чтобы среди них оказались 2 шара одного цвета?

2. На карточках написано двузначные числа. Сколько карточек нужно взять не глядя, чтобы, по крайней мере, одно из чисел делилось:

а) на 2; б) на 7; в) на 2 или на 7?

3. В ящике комода, который стоит в темной комнате, лежат 10 коричневых и 10 красных носков одного размера. Сколько носков нужно взять из ящика комода, чтобы среди них оказалась пара одного цвета?

4. В коробке лежат 100 шаров трех цветов – синего, зеленого и белого. Сколько шаров надо вынуть из коробки не глядя, чтобы среди них оказалось 30 шаров одного цвета?

5. В коробке, которая стоит в темной комнате, лежат 10 пар коричневых и 10 пар черных перчаток одного размера. Сколько перчаток нужно взять из коробки, чтобы среди них оказалась пара перчаток одного цвета?

6. Есть 3 ключа от трех дверей с разными замками. Достаточно ли трех проб, чтобы подобрать ключи к дверям?

7. Имеется 3 ключей от пяти комнат с разными замками. Сколько потребуется проб в худшем случае, чтобы подобрать ключи к комнатам?

8. Иван-царевич добыл ключи от комнат в подземелье, но не знал, какой ключ от какой комнаты. Сколько всего комнат, если в худшем случае ему достаточно 21 пробы, чтобы выяснить, какой ключ от какой комнаты?

  1   2


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница