Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни



Скачать 71.43 Kb.
Дата03.05.2016
Размер71.43 Kb.

Міністерство освіти і науки, МОЛОДІ ТА СПОРТУ України


ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ В.Н. КАРАЗІНА


ФУНКЦІОНАЛЬНИЙ АНАЛІЗ

______________________________________________________________________________

(назва навчальної дисципліни)



Програма


вибіркової навчальної дисципліни
підготовки бакалавр_з математики _______
(назва освітньо-кваліфікаційного рівня)
напряму _ 6.040201-математика___________

(шифр і назва напряму)
спеціальності___ ______________________________

(шифр і назва спеціальності)
(Шифр за ОПП________)

Харків


2012 рік

РОЗРОБЛЕНО ТА ВНЕСЕНО: Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна

(повне найменування вищого навчального закладу)

РОЗРОБНИКИ ПРОГРАМИ: Кадець Володимир Михайлович, кандидат фіз-мат наук, доцент

Програма затверджена Вченою радою механіко-математичного факультету

__________________________________________________________________________________

Протокол № 5 від “20” квітня 2012 року.
“_____”______________20__ р. Голова Вченої ради ___________________ ( Жолткевич Г.М )

(підпис) (прізвище та ініціали)



Вступ

Програма вивчення вибіркової навчальної дисципліни “функціональний аналіз” складена відповідно до освітньо-професійної програми підготовки бакалавр з математики

напряму (спеціальності) 6.040201 “математика”.

Предметом вивчення навчальної дисципліни є функціональний аналіз

Міждисциплінарні зв’язки: Для розуміння курсу функціонального аналізу необхідно вивчити курси математичного аналізу, лінійної алгебри та теорії міри та інтегралу. У подальшому курс використовується у курсах математичної фізики, теорії оптимізації та багатьох спецкурсах.
Програма навчальної дисципліни складається з таких змістових модулів:

1. Лінійні та нормовані простори, класичні теореми про лінійні оператори та функціонали.

2. Елементи теорії операторів.

3. Оператори у гілбертовому просторі

4. Додаткові розділи.

1. Мета та завдання навчальної дисципліни


1.1. Метою викладання навчальної дисципліни “функціональний аналіз” є надання майбутнім спеціалістам знань у галузі сучасного функціонального аналізу

1.2.Основними завданнями вивчення дисципліни “функціональний аналіз” є навчання студентів теоретичним основам і методам функціонального аналізу та застосуванню цих методів у інших математичних дисциплінах


1.3. Згідно з вимогами освітньо-професійної програми студенти повинні:

знати :

– термінологію теорії метричних та топологічних просторів;

– основні факти про нормовані та банахові простори, підпростори та фактор-простори, класичні приклади банахових просторів;

– стандартні форми теореми Гана-Банаха та методи застосування цієї теореми;

– принцип рівномірної неперервності, теорему про замкнений графік та та методи застосування цих теорем;

– теореми про загальний вигляд лінійного функціоналу;

– критерії компактності у нескінченновимірних просторах;

– елементи спектральної теорії операторів у банахових просторах;

– теорію компактних операторів;

– термінологію гілбертова простору, стандартні приклади, загальні теореми та теорію рядів Фур’є у гілбертовому просторі;

– спектральну теорію самоспряжених та унітарних операторів у гілбертовому просторі;

– функції від операторів;

– теореми про нерухомі точки та їх застосування;

– початкові відомості про слабку збіжність та рефлексивні простори

– теорему Крейна-Мільмана та її застосування.

вміти :

– знаходити границі послідовностей елементів різних просторів;

– досліджувати множини у нормованих просторах на опуклість, лінійність, замкненість, відкритість;

– перевіряти повноту систем елементів за допомогою теореми Гана-Банаха;

– досліджувати оператори у нормованих просторах на лінійність, неперервність, ін’єктивність; сюр’єктивність;

– досліджувати спектральні властивості операторів;

– досліджувати оператори у гілбертовому просторі на самоспряженість та унітарність;

– застосовувати мову функціонального аналізу у задачах математичного аналізу, диференційних та інтегральних рівнянь.

– користуватися компактністю у нескінченновимірних просторах.
На вивчення навчальної дисципліни відводиться 216 годин / 7 кредитів ECTS (1кр.-36 г.)


2. Інформаційний обсяг навчальної дисципліни
Модуль 1. Лінійні та нормовані простори, класичні теореми про лінійні оператори та функціонали.
Тема 1. Нескінченновимірні лінійні простори.

1. Упорядковані множини та лема Цорна

2. Теорема існування базиса Гамеля

3. Лінійні операції над підмножинами

4. Лінійні оператори. Ин’єктивність и сюр’єктивність.

5. Факторпростір. Ин’єктивізація лінійного оператора.

6. Гіперпідпростори та гіперплощини
Тема 2. Теорема Гана-Банаха в лінійних просторах.

1. Опуклі функціонали. Функціонал Минковського.

2. Теорема Гана – Банаха в аналітичній формі

3. Застосування теореми Гана – Банаха: Інваріантне середнє на комутативній півгрупі.


Тема 3. Нормовані та банахови простори.

1. Норма. Одинична куля. Зв’язок між одиничною кулею і нормою.

2. Підпростори, факторпростори.

3. Простори Лебега.

4. Критерій повноти у термінах рядів. Приклади повних та неповних просторів.
Тема 4. Неперервні оператори.

1. Критерій неперервності оператора. Норма оператора та методи її обчислення.

2. Поточкова збіжність. Повнота простору операторів. Спряжений простір.

3. Продовження операторів по неперервності.


Тема 5. Теорема Гана - Банаха у нормованих просторах.

1. Теорема Гана - Банаха про продовження та її застосування.

2. Теорема Гана - Банаха в геометричній формі.

3. Теореми про загальний вигляд лінійного функціонала.


Модуль 2. Елементи теорії операторів.
Тема 6. Теорема про замкнений графік.

1. Відкриті відображення. Теореми Банаха про відкриті відображення та про обернений оператор.

2. Графік. Теорема Банаха про замкнений графік.

3. Застосування: доповнювані підпростори та проектори, базис Шаудера – критерій через оператори часткових сум.


Тема 7. Принцип рівномірної обмеженості.

1. Теорема Банаха - Штейнгауса.

2. Критерій поточкової збіжності. Застосування до рядів Фур’є.
Тема 8. Алгебра операторів.

1. Формула обернення.

2. Спектр оператора. Замкненість та обмеженість спектра.

3. Резольвента. Теорема про непустоту спектру.


Тема 9. Компакти та компактні оператори.

1. Передкомпактність та компактність. Теорема Риса.

2. Критерії компактності множин у класичних просторах.

2. Компактні оператори. Апроксимація компактних операторів скінченновимірними.

3. Оператори типу “скалярний + компактний”.

4. Спектр компактного оператора.


Модуль 3. Оператори у гілбертовому просторі.
Тема 10. Гілбертові простори.

1. Аксіоми. Нерівність Коши. Рівність паралелограму.

2. Відстань від точки до підпростору. Ортопроектор.

3. Загальний вигляд лінійного функціоналу у гілбертовому просторі.

4. Ортонормовані системи, ортогоналізація та ряди Фур’є.
Тема 11. Самоспряжені оператори.

1. Білінійні та квадратичні форми. Норма самоспряженого оператора.

2. Теорема про границі спектру самоспряженого оператора.

3. Компактні самоспряжені оператори.


Тема 12. Функції від оператору.

1. Поліноми від оператору. Теорема про відображення спектру.

2. Неперервні функції від самоспряженого оператору та їх застосування.

3. Борелівські функції від самоспряженого оператору.

4. Модуль оператора. Унітарні оператори. Формула полярного розкладення.
Модуль 4. Додаткові розділи.
Тема 13. Теореми про нерухомі точки.

1. Теорема Банаха.

2. Теорема Брауера та принцип Шаудера.

3. Застосування: Теорема Ломоносова про інваріантні простори.

Тема 14. Слабка збіжність та рефлексивність.

1. Критерії слабкої та слабкої із зірочкою збіжності у конкретних просторах.

2. Теорема Алаоглу.

3. Бідуальний простір та критерії рефлексивності. Приклади рефлексивних та нерефлексивних просторів.

Тема 15. Теореми Крейна-Мільмана.

1. Крайні точки. Теорема Крейна-Мільмана у стандартному вигляді.

2. Теорема Крейна-Мільмана у інтегральній формі.

3. Застосування: теорема Стоуна-Веєрштраса та теорема Ляпунова про векторні міри.


3. Рекомендована література

1. Кадець В.М. Курс функціонального аналізу та теорії міри. Підручник. – Львів: Видавець І.Е. Чижиков, 2012. – 590 с. – (Серія “Університетська бібліотека”)

2. Березанский Ю. М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г., Функциональный анализ, Київ: «Вища школа», 1990.

3. Банах С., Курс функціонального аналізу, Київ, «Рад. школа», 1948.



4. Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, М., «Наука», 1965.


4. Форма підсумкового контролю успішності навчання: залік, єкзамен


5. Засоби діагностики успішності навчання контрольні роботи та колоквіуми




База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница