Методические указания по проведению практических занятий для студентов специальностей 230103. 51 «Автоматизированные системы обработки информации и управление»



Скачать 238.15 Kb.
Дата20.11.2016
Размер238.15 Kb.


ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ



КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


КАФЕДРА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Методические указания по проведению практических занятий

РПК «Политехник»

Волгоград

2007


УДК 519. 2 (07)

Т 36
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: Методические указания по проведению практических занятий / Сост. Л. А. Крапивина, А. А. Кулеша, С. В. Мягкова; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2007. – 22 с.


Методические указания по проведению практических занятий для студентов специальностей 230103.51 «Автоматизированные системы обработки информации и управление» (по отраслям), 140212.51 «Электроснабжение» (по отраслям), 151001.51 «Технология машиностроения», 260704.51 «Технология текстильных изделий».
Библиогр.: 5 назв.

Рецензент: В. Ф. Казак


Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

 Волгоградский

государственный

технический



университет, 2007

Практические занятия 1, 2.


Тема: Классическое определение вероятности.

Продолжительность занятия:

230103.51 Автоматизированные системы обработки информации и управление (по отраслям) – 4 часа

140212.51 Электроснабжение (по отраслям) – 2 часа

151001.51 Технология машиностроения – 2 часа

260704.51 Технология текстильных изделий – 2 часа

Цель занятия. Научить студента составлять математическую модель задачи и определять вероятности с использованием формул комбинаторики.

Порядок проведения:


  1. изучить теоретический материал;

  2. разобрать предложенный пример;

  3. выполнить самостоятельно индивидуальные задания;

  4. ответить на контрольные вопросы.

Студент должен:

знать: формулы комбинаторики; определение вероятности, формулу для его вычисления; свойства вероятности; правила сложения и умножения.

уметь: составлять математическую модель задачи и определять вероятности с использованием формул комбинаторики.

1. Элементы комбинаторики


Комбинаторика-это раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из данного множества и расположения их в группы по заданным правилам.

Пусть дано множество из n различных элементов (a1,…an). Выберем из него подмножество, содержащее m элементов, то есть сделаем выборку объёма m.

Выборки могут отличаться друг от друга:

1) составом;

2)порядком расположения элементов.

Если среди элементов выборки есть одинаковые, то объём выборки может превышать объём данного множества.



Например. Телефонные номера. Пусть номер состоит из 12 цифр. Тогда осуществляется выборка 12 элементов из 10 элементного множества. Выборка может содержать одинаковые элементы. Объём выборки превышает объём данного множества.

Число различных выборок объёма m, элементы которых могут повторяться, из множества, содержащего n различных элементов, равно nm.

Пример 1. Буквы азбуки Морзе состоят из символов «·» и «-». Сколько различных букв можно составить, если использовать 5 символов.

Решение: Множество состоит из двух элементов. Выбираем 5 символов, отсюда следует, что элементы выборки могут повторяться. Таким образом, число выборок (букв) равно 25=32.

Если элементы выборки не повторяются, то её объём не может превысить объём данного множества. Число таких выборок определяется по одной из формул:



1. Число различных выборок объёма m из n элементного множества, отличающихся либо порядком элементов, либо составом элементов (самими элементами) называется размещением и определяется:

- порядок важен.

Если n=m, то различные выборки отличаются только порядком элементов.



2. Число выборок состоящих из n элементов и отличающихся только порядком расположения элементов называется перестановками и определяется:

Pn=n!



3. Число различных выборок объёма m из n элементного множества, отличающихся только составом элементов (самими элементами) называется сочетанием и определяется:

-порядок не важен.

Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью правил умножения и сложения.

Правило умножения (произведения): если из некоторого конечного множества первый элемент можно выбрать n1 способами и после каждого такого выбора второй элемент можно выбрать n2 способами, то оба элемента «и первый и второй» в указанном порядке можно выбрать n1·n2 способами.

Правило сложения (суммы): если первый элемент можно выбрать n1 способами, а второй элемент можно выбрать n2 способами, причём первые и вторые способы различны, то любой из указанных элементов, «или первый или второй» можно выбрать n1+n2 способами.

Правила применяются для конечного числа элементов.

Если при выборе элементов из данного множества возможны повторения, то формулы для подсчета числа перестановок, сочетаний и размещений изменятся. Формулы с повторениями отличаются количеством повторений.

Число различных размещений из элементов n групп по m элементов (на m местах) с повторениями равно:

Число перестановок из n элементов, разбитых на m групп по ni (i= 1,2,…m) различных элементов в каждой группе равно:



где

Число различных сочетаний из элементов n групп по m элементов с повторениями равно:



Пример2. Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных книг?

Решение. Число способов равно числу перестановок 5 книг, то есть

P5=5! =1·2·3·4·5=120



Пример3. Составить размещение двух элементов из множества, определить их число.

Решение. Два любых элемента мы выбираем из трёх элементного множества, но расположить выбранные элементы можно в различном порядке (a,b),(b,a)(a,c),(c,a),(c,b),(b,c), порядок важен. Следовательно, применим формулу размещений:



Пример4. Сколькими способами можно выбрать 3 яблока из корзины, в которой 15 яблок.

Решение. Выбираем 3 элемента (яблока) из 15 элементного множества. Порядок выбора не важен, так как множество однородное. Число способов выбрать 3 яблока из 15, вычислим по формуле сочетаний:

способов.

Пример5. На карточках написаны буквы л,т,е,о. Сколькими способами можно из этих карточек составить слово “лето”.

Решение. Только одним способом, располагая буквы, именно, в порядке л,е,т,о можно прочесть слово “лето”. Любая другая выборка данных букв образует другое слово.

Пример6. В урне 7 белых и 5 чёрных шаров. Сколькими способами можно выбрать из урны 4 шара, среди которых белых будет 2.

Решение. 7 белых+5 чёрных=12 шаров

2 белых+2чёрных=4 шара

2 белых шара из 7 имеющихся в урне белых шаров можно выбрать способами, а остальные (4-2)=2 чёрных шара выбираем из имеющихся 5 чёрных шаров способами. При этом выбору белых шаров соответствует выбор чёрных шаров. Поэтому общее число различных выборок вычислим по правилу умножения:

способов.



Пример7. В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зелёных карандашей. Сколькими способами можно достать 3 карандаша одного цвета.

Решение. Выбрать 3 синих карандаша из 5 можно способами, или 3 красных карандаша из 4 выбираем способами, или 3 зелёных из 3 имеющихся зелёных выбираем способами. Так как любой из выборов есть выбор 3 карандашей одного цвета, то по правилу сложения :



Пример8. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Решение. Всего элементов (цифр) n=6. Числа составляются трёхзначные, поэтому выбираем три элемента, m=3. Цифры при составлении числа могут повторяться, но при этом порядок расположения цифр в числе важен (например, 123, 132, 231…). По формуле размещений с повторениями имеем:



Пример9. Сколько различных анаграмм можно составить из букв слова “решение”.

Решение. Всего элементов (букв) в слове «решение» семь, n=7. Буква «е» повторяется три раза, n1=3, буквы «р», »ш», «н», «и» не повторяются, то есть n2=m3=n4=n5=1

По формуле перестановок с повторениями имеем:





Пример10. Набор костяшек домино представляет собой всевозможные пары, составленные из символов «пусто», «один», «два», «три», «четыре», «пять», «шесть» с повторениями. Сколько всего костяшек домино в комплекте?

Решение. Всего элементов n=7. На каждой костяшке два символа m=2, но символы могут повторяться.

По формуле сочетаний с повторениями имеем:




2. Задачи на применение формул комбинаторики.


1. Пусть буквы некоторой азбуки образуются как последовательности точек, тире и пробелов. Сколько различных букв можно образовать, если использовать 5 символов?

Ответ: 243

2. На станции 7 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда?

Ответ: 840

3. Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять места в аудитории, в которой стоит 20 одноместных столов?

Ответ: 27907200

4. Сколько четырёхзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр: 1, 3, 5, 7, 9.

Ответ: 120

5. Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?

Ответ: 120

6. Сколькими способами можно с помощью букв K, L, M, N обозначить вершины четырёхугольника?

Ответ: 24

7. Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов может он выбрать?

Ответ: 5040

8. Из лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить 5 человек в командировку. Сколькими способами это можно сделать, если заведующий лабораторией должен ехать в командировку?

Ответ: 210

9. На полке стоит 12 книг: англо-русский словарь и 11 художественных произведений на английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если словарь нужен ему обязательно?

Ответ: 55

10. В библиотеке читателю предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?

Ответ: 720

11. В отделе работают 5 ведущих и 8 старших научных сотрудников. В командировку надо послать двух ведущих и трёх старших научных сотрудников. Сколькими способами может быть сделан выбор сотрудников, которых надо послать в командировку?

Ответ: 560

12.Сколько существует различных семизначных телефонных номеров, если в каждом номере нет повторяющихся цифр?

Ответ: 604800

13. В электричке 12 вагонов. Сколько существует способов размещения 4 пассажиров, если в одном вагоне должно быть не более одного пассажира?

Ответ: 11880

14. Сколькими способами 3 награды могут быть распределены между 10 участниками соревнования?

Ответ: 720

15. Сколькими способами можно расставить на полке 7 различных книг, чтобы определённые три книги стояли рядом?

Ответ: 720

16. Комплексная бригада состоит из 2 маляров, 3 штукатуров и 1 столяра. Сколько различных бригад можно создать из рабочего коллектива, в котором 15 маляров, 10 штукатуров и 5 столяров.

Ответ: 63000

17. Известно, что 7 студентов сдали экзамен по теории вероятностей на “хорошо” и “отлично”. Сколькими способами могли быть поставлены им оценки?

Ответ: 128

18. Сколько можно составить четырёхзначных чисел так, чтобы любые две соседние цифры были различны?

Ответ: 6561

19. Из 4 первокурсников, 5 второкурсников и 6 третьекурсников надо выбрать 3 студента на конференцию. Сколькими способами можно осуществить этот выбор, если среди выбранных должны быть студенты разных курсов?

Ответ: 120

20. Сколькими способами можно рассадить 5 человек за круглым столом? (Рассматривается только расположение относительно друг друга.)

Ответ: 24

21. Сколькими способами можно распределить 15 выпускников по трём районам, если в одном из них имеется 8, в другом – 5 и в третьем – 2 вакантных мест?

Ответ: 135135

22. В урне 12 белых и 8 чёрных шаров. Сколькими способами можно выбрать 5 шаров, чтобы среди них было: а) 5 чёрных; б) 3 белых и 2 чёрных?

Ответ: а) 56, б) 6160

23. Игральная кость бросается 3 раза. Сколько существует вариантов выпадения очков в данном опыте?

Ответ: 216

24. Сколько анаграмм можно получить, переставляя буквы в слове:

а) ГОРА; б) ИНСТИТУТ?

Ответ: а) 24 б) 3360

25. Сколько существует таких перестановок семи учеников, при которых три определённых ученика находятся рядом друг с другом?

Ответ: 720

3. Основные определения теории вероятностей.


Случайным событием называют любой исход опыта, испытания, эксперимента.

Пример: В урне цветные шары. Извлечение шара - испытание. Появление шара определенного цвета - событие.

Событие является результатом испытания.

При осуществлении некоторых условий событие называют:


  1. достоверным, которое обязательно произойдет;

  2. невозможным, которое заведомо не произойдет;

  3. случайным, которое может либо произойти, либо не произойти.

Пример: Условие: t-20°C.

  1. Вода в жидком состоянии - достоверное событие.

  2. Вода в твердом состоянии - невозможное событие.

Пример: Брошена монета. Появление «герба» или «решки»- событие случайное.

Теория вероятностей не занимается единичными событиями, их результат предсказать невозможно.

Если случайные события наблюдается многократно при одинаковых условиях, то они подчиняются определенным закономерностям. Изучение вероятностных закономерностей- предмет теории вероятностей.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном испытании.



Пример: Из урны с белыми и черными шарами извлечен один шар. Появление белого шара исключает появление черного шара. События «появление белого шара» и «появление черного шара» - несовместны.

События называются единственно возможными, если появление в результате испытания одного и только одного из них является достоверным событием.

События называются равновозможными, если ни одно из них не является более возможным чем другое.

Пример: Появление «герба» и «решки» при одном бросании монеты - равновозможные события.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания достоверно появится хотя бы одно.



Пример: Событие - появится «герб». Событие - появится «решка». События образуют полную группу.

Два события называют противоположными, если они образуют полную группу.



Пример: Лотерейный билет. События: «выигрыш» и «проигрыш»- противоположные события.

4. Теоретические задания.


1. Определите среди следующих событий достоверные, невозможные, случайные:

А1 - появление 10 очков при бросании игральной кости;

А2 - появление 10 очков при бросании трёх игральных костей;

А3 - появление 20 очков при бросании трёх игральных костей;

А4 - наугад выбранное двузначное число не больше 100;

А5- из 25 учащихся класса двое справляют день рождения: 1) 30 января 2) 30 февраля.

2. Являются ли несовместными события А1 и А2:

а) испытание- бросание монеты; события: А1- появление герба, А2- появление цифры;

b) испытание- бросание игральной кости; события: А1 –появление трех очков, А2 –появление нечетного числа очков.

c) А1 – у случайным образом составленного квадратного уравнения есть действительные корни, А2 – дискриминант уравнения отрицателен.

d) А1 – у случайным образом составленного квадратного уравнения нет действительных корней, А2- дискриминант уравнения неположителен.

3. Являются ли равновозможными события А1 и А2:

а) испытание- бросание игральной кости; события: А1- появление двух очков, А2 – появления пяти очков;

b) испытание – бросание игральной кости; события: А1 –появление двух очков, А2 – появление четного числа очков.

4. Образуют ли полную группу события:

а) испытание- бросание монеты; события А1- появление герба, А2- появление цифры;

b) испытание – два выстрела по мишени; события: А1- ни одного попадания, А2 – одно попадание, А3- два попадания?

5. Назвать событие, противоположное указанному в данном испытании:

1) при бросании монеты выпала «решка»;

2) при бросании игральной кости выпало 5 очков;

3) при бросании игральной кости выпало четное число очков.

5. Классическое определение вероятности.


Предметом теории вероятностей является исследование математических моделей случайных явлений и процессов, наблюдаемых в экспериментах.

Наиболее распространёнными видами математических моделей, исследуемых теорией вероятностей, являются случайные события, случайные величины, случайные процессы.

Основным понятием теории вероятностей является понятие вероятности. Вероятность - численная мера возможности появления случайного события. Вероятность характеризует отношение суждения к действительности и составляет меру истинности суждения. Для нахождения численного значения вероятности применяют классическое определение вероятности.

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу равновозможных исходов испытания.

, где

m - количество исходов, благоприятствующих появлению события А,

n - общее число равновозможных исходов испытания.

Любая серия реальных экспериментов может дать только приблизительную оценку значения вероятности. Теория вероятностей не занимается оценкой вероятностей реальных событий. Теория вероятностей строит математические модели, которые, в зависимости от конкретных значений их параметров, позволяют вычислить вероятности сложных событий. Результаты описания математической модели будут зависеть от исходных данных.

Специалисты проверяют расчеты на практике в экспериментах. Если расчеты не совпадают с данными опыта, то проверяют исходные данные. Затем математическую модель корректируют так, чтобы получить с её помощью расчетные результаты, совпадающие с экспериментом.

Таким образом, расчёты теории вероятностей на практике применяются, используя результаты исследований математической статистики.


6. Свойства вероятности.


1. Вероятность достоверного события равна единице.

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

3. Вероятность случайного события определяется неравенствами

0 < p < 1.


  • Итак, вероятность любого события определяется неравенствами

.

  • Обозначения: p – вероятность события А, q – вероятность события , противоположного событию А.

  • Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

p+q=1.

  • Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна единице.

Пример 1: В ящике находятся 2 белых и 3 чёрных шара. Наудачу вынимается один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар: 1) белый; 2) черный; 3) зелёный?

Решение. Так как вынимается один шар, т. е. выбираем один элемент из множества элементов, то можно применить формулу классической вероятности (без формул комбинаторики).

1) Событие А – вынут белый шар.

Количество благоприятствующих исходов m=2, так как вынутый белый шар выбираем из двух белых шаров.

Общее число равновозможных исходов n=2+3=5, так как вынутый белый шар выбираем из всех пяти шаров.



или 40%

2) Событие С – вынут чёрный шар.

Количество благоприятствующих исходов m=3 (3 чёрных шара).

Общее число равновозможных исходов n=5 (всего 5 шаров).



или 60%

3) Событие Д – вынут зелёный шар.

Количество благоприятствующих исходов m=0 (зелёных шаров нет).

Общее число равновозможных исходов n=5 (всего 5 шаров).



, т. е. событие Д – невозможное.

Отметим, что P(A)+P(C)+P(Д)=0,4+0,6+0=1, события А, С, Д образуют полную группу.



Пример 2: На каждой из четырёх карточек написана одна из букв а, з, м, у.

Карточки перемешали и наугад одну за другой расположили в ряд.

Какова вероятность при этом прочесть слово “муза”?

Решение. Событие А – прочесть слово “муза”.

Количество благоприятствующих исходов m=1 (только одна последовательность расположения букв м, у, з, а позволяет прочесть слово “муза”).

Общее число равновозможных исходов n=P4=4! (выбираем все элементы множества и меняем их порядок расположения, то есть, рассматриваем различные перестановки из четырёх элементов).



Пример 3: Пусть чтобы открыть сейф надо набрать четырёхзначное число, состоящее из различных цифр. Какова вероятность того, что если набирать цифры в произвольном порядке, сейф откроется?

Решение. Событие А – сейф откроется.

Количество благоприятствующих исходов m=1 (есть только один правильный набор цифр).

Общее число равновозможных исходов n= (так как для составления определённого числа порядок выбора значение имеет, то по формуле размещений выбираем 4 нужные цифры из 10)

;





Пример 4: В ящике находится 10 деталей, одна из которых нестандартная. Наугад берут 2 детали. Какова вероятность того, что обе детали окажутся стандартные?

Решение. Событие А – обе детали стандартные.

Так как порядок выбора значения не имеет (и первая деталь стандартная и вторая), то применим формулу сочетаний.

10=9 станд.+1 нест.

2=2 станд.

Количество благоприятствующих исходов m= (выбираем 2 стандартные детали из 9 стандартных).

Общее число равновозможных исходов n= (выбираем 2 детали из 10 деталей).





Пример5: В коробке 8 красных карандашей и 4 синих. Из коробки наугад вынимают 5 карандашей. Какова вероятность, что 3 из них окажутся красными.

Решение. Событие А – из 5 карандашей 3 синих.

Исходами являются все возможные наборы (сочетания) карандашей без учёта порядка расположения, поэтому применим формулу сочетаний.

12=8 красных + 4 синих

5=3 красных + 2 синих

Количество благоприятствующих исходов m= (выбору 3 красных из 8 красных карандашей соответствует выбор 2 синих из 4 синих карандашей, по правилу умножения).

Общее число равновозможных исходов n= (выбор 5 карандашей из 12).





Пример 5: Какова вероятность того, что при одном бросании игральной кости выпадает не 6 очков?

Решение. Событие А – выпадает не 6 очков.

Событие - выпадает 6 очков.

Событие А и - противоположные, поэтому

Р(А)=1-Р()

Р()=; m=1, так как на одной грани 6 очков; n=6, так как всего 6 граней.

Р(А)=1-.



Пример 7: Из четырёх тузов случайным образом одновременно вытащили две карты.

Найдите вероятность того, что:

а) обе карты – тузы чёрной масти;

б) среди выбранных карт есть пиковый туз;

в) среди выбранных карт есть туз красной масти.

Решение. Определим общее число равновозможных исходов.

Так как обе карты вытаскиваются одновременно, то порядок расположения значения не имеет. Поэтому применяем формулу сочетаний.



а) Событие А – оба туза чёрной масти.



,

б) Событие С – среди двух тузов есть пиковый туз.

4 туза = 1 пиковый + 3 других

2 туза = 1 пиковый + 1 другой



,
выбору пикового туза соответствует выбор другого туза из оставшихся трёх тузов по правилу умножения.

в) Событие Д – среди выбранных тузов есть туз красной масти.

Такой выбор может быть осуществлён двумя способами:

4 = 2 красной масти + 2 чёрной масти

или 2 = 1 красной масти + 1 чёрной масти

или 2 = 2 красной масти



, то есть выбору одного туза красной масти из имеющихся двух соответствует выбор второго туза из двух тузов чёрной масти.

, то есть выбор двух тузов красной масти из двух имеющихся.

Так как выбираем из благоприятствующих событий Д выборов, или первый, или второй, то по правилу сложения




7. Задачи на вычисление вероятности.


1. Для новогодней лотереи отпечатано 1500 билетов, из которых 120 выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?

Ответ: 0,08.

2. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 25. Какова вероятность того, что взятый наугад учеником билет имеет: 1) однозначный номер; 2) двузначный номер?

Ответ: 1) ; 2) .

3) Из слова НАУГАД выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что это буква: 1)А; 2) гласная?

Ответ: 1) ; 2) .

4) Бросают игральную кость. Какова вероятность выпадения номера большего 4?

Ответ: .

5) В денежно-вещевой на 100000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность:

1) вещевого выигрыша;

2) денежного выигрыша?

Ответ: 1) 0,012; 2) 0,008.

6) На карточках написаны буквы О, К, Т. карточки наудачу расставлены в ряд. Какова вероятность прочесть слово КОТ?

Ответ: .

7) Набирая номер телефона, состоящий из 7 цифр, абонент забыл, в какой последовательности идут последние три цифры. Помня лишь, что это цифры 1, 5 и 9, он набрал первые четыре цифры, которые знал, и наугад комбинацию из цифр 1, 5 и 9. какова вероятность того, что абонент набрал верный номер?

Ответ: .

8) На каждой карточке написана одна из букв о, п, р, с, т. карточки перемешивают и наугад одну за другой выкладывают в ряд. Какова вероятность прочесть слово СПОРТ?

Ответ:.

9) На карточке написали цифры 1, 2, 3, после чего карточки перевернули и перемешали. Затем последовательно открыли карточки и положили в ряд. Какова вероятность того, что трёхзначное число, большее 300?

Ответ: .

10) Четыре одинаковых шара пронумерованы числами 1, 2, 3, 4 и сложены в ящик. Случайным образом из ящика извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что шары были извлечены в последовательности: 1) 4, 2, 1, 3; 2) 4, 3, 2, 1.

Ответ: 1); 2) .

11) На каждой карточке написана одна из букв о, п, р, с, т. несколько карточек наугад выкладывают одну за другой в ряд. Какова вероятность, что при выкладывании:

а) 3 карточек получится слово рот;

б) 4 карточек получится слово сорт?

Ответ: а) ; б) .

12) На каждой из шести одинаковых карточек написаны буквы Т, Р, С, О, А, М. Карточки перемешивают и из них четыре выкладываются наудачу в ряд. Какова вероятность появления слова ТРОС?

Ответ: .

13) Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одна за другой выбираются три и располагаются в порядке появления. Какова вероятность, что получилось слово ДВА?

Ответ: .

14) Абонент забыл две последние цифры телефона и, набирая номер наугад, помнил лишь, что они различные. Найти вероятность того, что выбраны нужные цифры.

Ответ: .

15) На каждой карточке написана одна из букв м, а, т, р, о, с. Карточки перемешиваются. Наугад выбирают четыре карточки и выкладывают в ряд. Какова вероятность прочесть слово СОРТ?

Ответ: .

16) В ящике лежат 1 белый и 3 чёрных шара. Наугад вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что вынуты: 1) 2 черных шара; 2) белый и чёрный шар?

Ответ: 1) ; 2) .

17) В пачке находятся 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Каково вероятность того, что все тетради окажутся в клетку?

Ответ: .

18) На полке стоит 12 книг, из которых 4 – это учебники. С полки наугад снимают 6 книг. Какова вероятность того, что 3 из них окажутся учебниками?

Ответ: .

19) В ящике лежат 6 красных шаров и 4 зелёных. Наугад вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что 2 шара из них окажутся красными, а один - зелёным?

Ответ: .

20) В ящике находятся 2 белых и 2 чёрных шара. Наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что вынуты: 1) 2 белых шара; 2) один белый и один чёрный шар?

Ответ: 1); 2) .

21) В урне 3 белых и 7 чёрных шаров. Какова вероятность того, что вынутые наугад два шара окажутся чёрными?

Ответ: .

22) Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства выключаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что выключенными окажутся неизношенные элементы.

Ответ: 0,3.

23) В партии из 60 изделий 5 бракованных. Из партии наугад выбирают 6 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 6 изделий 2 окажутся бракованными.

Ответ: 0,049.

24) На складе 15 кинескопов, причём 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу кинескопов окажутся три кинескопа Львовского завода.

Ответ: 0,4.

25) В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.

Ответ: .

26) В команде из 12 спортсменов – 5 мастеров спорта. По жеребьевке из команды выбирают 3-х спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные являются мастерами спорта?

Ответ: .

27) Среди 20 билетов 5 выигрышных. Найти вероятность того, что среди трех купленных билетов окажется:

а) все три выигрышные;

б) ни одного выигрышного;

в) 2 выигрышных;

г) 1 выигрышный.

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

28) Пятитомное собрание сочинений расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что книги стоят слева направо в порядке нумерации томов (от 1 до 5)?

Ответ: .

29) Десять книг наудачу расставлены на полке. Найти вероятность того, что три определённые книги окажутся рядом.

Ответ: .

30) Слово составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что карточки с буквами вынимаются в порядке следования букв заданного слова: 1) событие; 2) статистика.

Ответ: 1) ; 2) .




8. Вопросы.


  1. Какие задачи изучает комбинаторика?

  2. Размещения, вычисление.

  3. Перестановки, вычисление.

  4. Сочетания, вычисление.

  5. Чем отличаются формулы размещений и перестановок?

  6. Чем отличаются формулы размещений и сочетаний?

  7. Суть правила умножения?

  8. Суть правила сложения?

  9. Виды событий, их определения?

  10. Определение несовместных событий.

  11. Какие события образуют полную группу?

  12. Определение противоположных событий.

  13. Определение вероятности.

  14. Классическое определение вероятности.

  15. Свойства вероятности.

Литература


  1. Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике.-М., Айрис-пресс, 2004г.

  2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика.-М., Высшая школа, 2002г.

  3. Студенецкая В. Н. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей.- Волгоград, «Учитель», 2005г.

  4. Цыпкин А. Г., Пинский А. И. Справочник по методам решения задач по математике.-М., Наука, 1989г.

  5. Мягкова С. В., Кулеша А. А., Бурцева У. А. Теория вероятностей. – Волгоград, «Политехник», 2004г.


ОГЛАВЛЕНИЕ

Практические занятия 1, 2………………………………………………3



  1. Элементы комбинаторики………………………………………... 4

  2. Задачи на применение формул комбинаторики…………………..8

  3. Основные определения теории вероятностей……………………10

  4. Теоретические задания…………………………………………….11

  5. Классическое определение вероятности…………………………12

  6. Свойства вероятности……………………………………………..13

  7. Задачи на вычисление вероятности………………………………17

  8. Вопросы…………………………………………………………….22

Литература. …………………………………………………………….22

Составители:

Лариса Алексеевна Крапивина

Алевтина Алексеевна Кулеша

Светлана Васильевна Мягкова

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ


Методические указания по проведению практических занятий
Под редакцией авторов

Темплан 2007 г., поз. № 49.

Подписано в печать 25. 05. 2007 г. Формат 60×84 1/16.

Бумага листовая. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 1,38. Усл. авт. л. 1,19.

Тираж 50 экз. Заказ №


Волгоградский государственный технический университет

400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28.

РПК «Политехник»

Волгоградского государственного технического университета



400131 Волгоград, ул. Советская, 35.






База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница