Методические указания к практическим занятиям Волгоград 2011 (07) т 33



страница1/8
Дата08.11.2016
Размер0.89 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8


МИНистерство ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»



КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ГОУ ВПО «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра «Высшая математика»


Теория вероятностей

Часть I


Методические указания к практическим занятиям


Волгоград

2011


УДК 519.2(07)

Т 33
Теория вероятностей: методические указания к практическим занятиям. Ч. I / Сост. С. В. Мягкова, Е. В. Морозова; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2011. – 35 с.


Содержат теоретический материал, необходимый для решения задач, примеры решения задач, а также задачи для аудиторных занятий и домашних заданий.

Адресованы студентам направления 230100.62 «Информатика и вычислительная техника», а также студентам других направлений и специальностей, изучающим курс теории вероятностей.


Ил. 6. Табл. 3. Библиогр.: 5 назв.
Рецензент: Л. А. Крапивина
Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

Составители: Светлана Васильевна Мягкова, Елена Васильевна Морозова
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. часть I

Методические указания к практическим занятиям

Под редакцией авторов

Темплан 2011 г., поз. № 57К.

Подписано в печать 15. 03. 2011 г. Формат 60×84 1/16.

Бумага листовая. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 2,09. Уч.-изд. л. 2,31.

Тираж 70 экз. Заказ №

Волгоградский государственный технический университет

400131, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, корп. 1.

Отпечатано в КТИ

403874, г. Камышин, ул. Ленина, 5, каб. 4.5


 Волгоградский

государственный

технический

университет, 2011


КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ



Вероятность – мера возможности события. Классическое определение вероятности позволяет подсчитывать вероятность в тех случаях, когда общее число всех возможных исходов опыта конечно, они взаимоисключают друг друга и эти исходы равновозможны.

где n общее число исходов опыта, m- число благоприятных исходов, влекущих появление рассматриваемого события A.



1. Число различных упорядоченных подмножеств (размещений) из m элементов без повторений для множества, содержащего n элементов, определяется по формуле:

 «порядок есть, повторений нет».

Если n=m, то размещения называются перестановками. Количество таких перестановок из n элементов определяется по формуле:





2. Число различных подмножеств (сочетаний) из m элементов без повторений для множества, содержащего n элементов, определяется по формуле:

 «порядка нет, повторений нет»

3. Число различных размещений из n элементов по m элементов (на m местах) с повторениями равно:

 «порядок есть, повторения есть».

4. Число различных сочетаний из n элементов по m элементов с повторениями равно:

 «порядка нет, повторения есть».

Если общее число всех возможных исходов не конечно, то используют формулу геометрической вероятности



где mes D – геометрическая мера всей области, а mes d – геометрическая мера благоприятной области.



Пример 1. Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет больше четырех очков?

Решение. При одном броске может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Благоприятные, то есть влекущие появление рассматриваемого события, исходы 5 и 6. Поэтому n = 6, m = 2, p = 2/6 = 1/3.
Пример 2. Какова вероятность того, что взяв две карты из прикупа, получим два туза?

Решение. Будем считать, что в колоде 32 карты. Взять две из них можно способами. Двух тузов можно взять способами. Поэтому .
Пример 3: Какова вероятность угадать пароль из четырех цифр, если известно только, что все цифры пароля различны?

Решение. Событие А – пароль отгадан.

Количество благоприятствующих исходов m=1 (есть только один правильный набор цифр).

Общее число равновозможных исходов n= (так как для составления определенной комбинации цифр порядок выбора значение имеет, то по формуле размещений выбираем 4 цифры из 10)

, где

Значит


Пример 4. На отрезке [0; 1] случайным образом выбираются две точки a и b. Какова вероятность того, что длина отрезка [a; b] окажется меньше ½?

Решение.

Обозначим координаты точек a и b через x, y. Каждому выбору точек a, b поставим в соответствие точку на плоскости с координатами (x, y). Множеством всех возможных исходов являются точки квадрата со стороной, равной 1. Множеством благоприятных исходов те точки квадрата, для которых

Считая все точки квадрата равновозможными, применим формулу


Упражнения.


  1. Найдите среди следующих случайных событий достоверные и невозможные события:

А1 – появление 10 очков при бросании игральной кости,

А2 – появление 10 очков при бросании трех игральных костей,

А3 – появление 20 очков при бросании трех игральных костей,

А4 – наугад выбранное двузначное число не больше 100,

А5 – появление двух гербов при бросании двух монет.


  1. Являются ли несовместными события А1 и А2:

  1. испытание – бросание монеты; события: А1 – появление герба, А2 появление цифры;

  2. испытание – бросание игральной кости; события: А1 – появление трех очков, А2 – появление нечетного числа очков,

  3. испытание – бросание двух монет; события: А1 –появление герба на одной монете, А2 – появление герба на другой монете?

  1. Являются ли равновозможными события А1 и А2:

  1. испытание – бросание игральной кости; события: А1 – появление двух очков, А2 – появление пяти очков;

  2. испытание – бросание игральной кости; события: А1 – появление двух очков, А2 – появление четного числа очков;

  3. испытание – два выстрела по мишени; события: А1 –промах при первом выстреле, А2 – промах при втором выстреле?

  1. Образуют ли полную группу события:

  1. испытание – бросание монеты; события: А1 – появление герба, А2 – появление цифры;

  2. испытание – два выстрела по мишени; события: А1 – ни одного попадания, А2 – одно попадание, А3 – два попадания?

  1. Найти сумму событий:

  1. испытание – два выстрела по мишени; события: А – попадание первым выстрелом, В – попадание вторым выстрелом;

  2. испытание – бросание игральной кости; события: А – появление одного очка, В – появление двух очков, С – появление трех очков;

  3. испытание – приобретение лотерейных билетов; события: А – выигрыш 10 рублей; В – выигрыш 20 рублей; С – выигрыш 25 рублей.

  1. Найти произведение событий:

  1. испытание – два выстрела по мишени; события: А – попадание первым выстрелом, В – попадание вторым выстрелом;

  2. испытание – бросание игральной кости; события: А – непоявление трех очков, В – непоявление пяти очков, С – появление нечетного числа очков.


Задачи


  1. Из слова НАУГАД выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что это буква А? Какова вероятность того, что это гласная?

  2. Бросают игральную кость. Какова вероятность выпадания номера 4? Какова вероятность выпадания номера большего 4?

  3. Подлежат контролю 250 деталей, из которых 5 нестандартных. Какова вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется:

а) нестандартной;

б) стандартной?



  1. На карточках написаны буквы О, К, Т. Карточки наудачу расставлены в ряд. Какова вероятность прочесть слово КОТ?

  2. На каждой из шести одинаковых карточек написаны буквы Т, Р, С, О, А, М. Карточки перемешиваются и из них четыре выкладываются наудачу в ряд. Какова вероятность появления слова ТРОС?

  3. Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одна за другой выбираются три и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово ДВА?

  4. Абонент забыл две последние цифры телефона и, набирая номер наугад, помнил лишь, что они различные. Найти вероятность того, что выбраны нужные цифры.

Решить задачу, если забыты три последние цифры.

  1. В урне 3 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того, что вынутые наугад два шара окажутся черными?

  2. Подброшены медная и серебряная монеты. Какова вероятность того, что на обоих монетах появится ГЕРБ?

  3. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

  4. В упаковке на складе 10 смывных бачков, среди них 4 с пластмассовыми поплавками. На удачу взяты 2 бачка. Найти вероятность того, что оба бачка с пластмассовыми поплавками.

  5. Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

  6. Для облицовки жилого дома завезена облицовочная плитка. В ящике находится 300 плиток. Брак продукции составляет 2 %. Найти вероятность того, что первые три взятые плитки не будут бракованными.

  7. В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины.

  8. На складе имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу кинескопов окажутся три кинескопа Львовского завода.

  9. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.

  10. Десять книг наудачу расставлены на полке. Найти вероятность того, что три определенные книги окажутся рядом.

  11. Оля и Коля договорились встретить Новый год в компании из 10 человек. Они оба хотели сидеть за праздничным столом рядом. Найти вероятность исполнения их желания, если среди друзей принято места распределять по жеребьевке.

  12. Среди 20 билетов 5 выигрышных. Найти вероятность того, что среди купленных билетов окажется:

а) все три выигрышные;

б) ни одного выигрышного;

в) 2 выигрышных;

г) 1 выигрышный.



  1. На пятиместную скамейку случайным образом садятся 5 человек. Какова вероятность того, что 3 определенных лица окажутся рядом?

  2. В команде из 12 спортсменов – 5 мастеров спорта. По жеребьевке из команды выбирают 3-х спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные являются мастерами спорта?

  3. Среди 17 студентов группы, из которых 8 девушек, разыгрывается 7 билетов. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки?

  4. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 черные?

  5. В партии из 60 изделий 5 бракованных. Из партии выбираются наугад 6 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 6 изделий 2 окажутся бракованными.

  6. В лотерее n билетов, из которых m выигрышных. Участник лотереи покупает k билетов. Определить вероятность того, что выиграет хотя бы один билет.

  7. Имеется r шаров, которые случайным образом разбрасываются по n ящикам. В одном и том же ящике могут находиться несколько шаров и даже все шары. Найти вероятность того, что в первый ящик попадут ровно r1 шаров, во второй r2 шаров и т.д., в n-ый ящик rn шаров.

  8. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятности следующих событий:

А={все пассажиры выйдут на четвертом этаже};

В={все пассажиры выйдут одновременно на одном и том же этаже};



С={все пассажиры выйдут на разных этажах}.

  1. Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся на разные месяцы года.

  2. В точке С, положение которой на телефонной линии АВ длины равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что точка С удалена от точки А на расстояние, не меньшее, чем l .

  3. Точка брошена в круг радиуса R. Найдите вероятность того, что она попадет внутрь вписанного в этот круг квадрата.

  4. Слово составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что карточки с буквами вынимаются в порядке следования букв заданного слова: а) «событие»; б) «статистика».

  5. Пятитомное собрание сочинений расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что книги стоят слева направо в порядке нумерации томов (от 1 до 5)?

  6. Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгрываются четыре билета, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билета окажутся: а) четыре девушки; б)четыре юноши; в) три юноши и одна девушка?

  7. Из 20 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для обследования случайным образом отобрано 5 сбербанков. Какова вероятность того, что среди отобранных банков окажется в черте города: а) 3 сбербанка; б) хотя бы один?

  8. Из ящика, содержащего 5 пар обуви, из которых три пары мужской, а две пары женской обуви, перекладывают наудачу 2 пары обуви в другой ящик, содержащий одинаковое количество пар женской и мужской обуви. Какова вероятность того, что во втором ящике после этого окажется одинаковое количество пар мужской и женской обуви?

  9. В магазине имеются 30 телевизоров, причем 20 из них импортных. Найти вероятность того, что среди 5 проданных в течение дня телевизоров окажется более 3 импортных телевизоров, предполагая, что вероятности покупки телевизоров разных марок одинаковы.

  10. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что в нем все цифры: а) различные; б) одинаковые; в) нечетные? Известно, что номер телефона не начинается с цифры ноль.

  11. Для проведения соревнований 16 волейбольных команд разбиты по жребию на две подгруппы (по восемь команд в каждой). Найти вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся: а) в разных подгруппах; б) в одной подгруппе.

  12. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на три из 4 поставленных в билете вопросов. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст зачет; б) не сдаст зачет?

  13. У сборщика имеются 10 деталей, мало отличающихся друг от друга, из них четыре – первого, по две – второго, третьего и четвертого видов. Какова вероятность того, что среди шести взятых одновременно деталей три окажутся первого вида, два – второго и одна – третьего?

  14. Найти вероятность того, что из десяти книг, расположенных в случайном порядке, 3 определенные книги окажутся рядом.

  15. В старинной игре в кости необходимо было для выигрыша получить при бросании трех игральных костей сумму очков, превосходящую 10. Найти вероятности: а) выпадения 11 очков; б) выигрыша.

  16. На фирме работают 8 аудиторов, из которых 3 – высокой квалификации, и 5 программистов, из которых 2 – высокой квалификации. В командировку надо отправить группу из 3 аудиторов и 2 программистов. Какова вероятность того, что в этой группе окажется по крайней мере 1 аудитор высокой квалификации и хотя бы 1 программист высокой квалификации, если каждый специалист имеет равные возможности поехать в командировку?

  17. Два лица условились встретиться в определенном месте между 18 и 19 часами и договорились, что пришедший первым ждет другого в течение 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность их встречи, если приход каждого в течение указанного часа может произойти в любое время и моменты прихода независимы.

  18. Какова вероятность того, что наудачу брошенная в круг точка окажется внутри вписанного в него квадрата.

  19. При приеме партии изделий подвергается проверке половина изделий. Условие приемки – наличие брака в выборке менее 2 %. Вычислить вероятность того, что партия из 100 изделий, содержащая 5 % брака, будет принята.
  1   2   3   4   5   6   7   8


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница