Методические рекомендации для выполнения курсовой работы по сопротивлению материалов



страница3/4
Дата23.04.2016
Размер0.75 Mb.
1   2   3   4

Таблица4

№ вариантаР, кНа, мв,мс,мh,мh1,м1400,40,50,60,40,52500,50,30,40,50,63600,710,80,90,54300,81,511,20,65500,90,30,50,80,66600,60,80,910,57300,610,30,50,68400,80,80,40,30,39350,70,710,40,610450,60,80,90,30,511600,50,70,50,60,612500,710,81,20,313350,80,50,710,414250,40,910,30,515550,610,50,70,616650,50,90,60,50,317400,80,510,40,518450,610,70,50,619500,91,50,70,60,420350,60,40,90,60,3

Порядок решения задачи.
Исходные данные к задаче выбираются по табл. 4 и схемам на рис.3 приложение 2. Для расчета конструкции необходимо:

- нарисовать в масштабе схему конструкции.

- нарисовать план сил в недеформируемом состоянии и составить необходимые уравнения статики;

- изобразить план перемещений, соответствующий плану сил, и записать уравнения совместности деформаций;

- записать физические уравнения, связывающие усилия и перемещения (закон Гука);

- решив совместно уравнения равновесия, совместности деформаций и физические уравнения, найти усилия в стержнях;

- из условия прочности наиболее напряженного стержня подобрать площадь поперечного сечения. Сосчитать напряжения в стержнях при найденном значении A.
6.2. Задание 2. Кручение бруса круглого поперечного сечения.

6.2.1. Задача 2.1. Расчет статически определимого вала на кручение.


Стальной вал ступенчатого сечения подвержен крутящим моментам, действующим в поперечных сечениях (рис.4 приложение 2).

Требуется:

Построить эпюру крутящих моментов.

Построить эпюру максимальных касательных напряжений.

Из расчета на прочность и жесткость определить параметр нагрузки, если [ф]= 80 мПа, [И]=5*10-3град/м; G = 8*104 мПа.

Построить эпюру углов поворота поперечных сечений.

Схемы стержня приведены на рис.4,5,6,7 приложение 2, данные для расчета в таблице 5 .

Таблица 5

№ вариантаD, cмd , cмd0/d, cма, мb, м12346711060.71221280.31231370.41141260.82151480.62261590.81171580.412814100.321916100.712101690.511123467111580.821121470.721131360.411141690.712151570.311161690.521171680.712181280.6121914100.521201380.411

Порядок решения задачи.


Исходные данные к задаче выбираются по табл. 5 и схеме на рис.4,5,6,7 приложение 2.

Нарисуйте в масштабе стержень с учетом данных табл. 5. Найдите, используя метод сечений, крутящие моменты на каждом силовом участке стержня и постройте в масштабе эпюру изменения крутящих сил по длине стержня.

Постройте в масштабе эпюру распределения касательных напряжений по длине стержня.

Из условия прочности и жесткости подберите размеры поперечных сечений стержня на каждом участке.

Вычислите угол закручивания стержня и постройте эпюру углов закручивания.
6.2.2. Задача 2.2. Расчет статически неопределимого вала на кручение.
Рассматриваем вал, с защемленными с двух сторон концами, который находится под действием крутящих моментов Мz (рис.6.2). Материал бруса сталь. Данные берутся из таблицы 5.

Для данной задачи требуется раскрыть статическую неопределимость вала, найти размеры поперечного сечения из условия прочности, построить эпюры крутящих моментов Мz, эпюры касательных напряжений ф, эпюры углов закручивания ц.

Порядок решения задачи.

Исходные данные к задаче выбираются по табл. 5 и схемам на рис. 8,9,10,11 приложение 2.

Определите величину крутящих моментов на опорах от заданных внешних моментов М, раскрыв статическую неопределимость. Для этого выполните следующее:

запишите уравнения равновесия;

составьте условия совместности деформаций;

запишите физические уравнения (закон Гука);

решите совместно эти уравнения.

Постройте эпюры крутящих моментов и касательных напряжений по длине стержня.

Проверьте прочность стержня. Если условие прочности в какой-то части стержня выполняться не будет, то подберите новое значение момента М, при которой условие прочности на всех участках будет удовлетворяться.

Постройте эпюры углов закручивания по длине стержня.

6.3. Задание 3. Изгиб бруса.

6.3.1. Задача 3.1. Расчет балки на изгиб.


Рассматривается стальная балка, шарнирно закрепленная с двух концов и нагруженная системой нагрузок. Требуется найти внутренние силовые факторы, построить их эпюры, определить размеры поперечного сечения балки, найти нормальные и касательные напряжения в точке сечения, наиболее удаленной от нулевой линии и в точке центра тяжести сечения, также требуется определить прогиб в середине пролета балки способом Верещагина.
Таблица 6.

Номер


cтрокиНомер схем по рис.1F1,

см2а,


мb,

мМ,


кНмq,

кН/м011121224502210221640331232126044623182055813204066103112207762212308881212609962116510101213106111111121261212123318213131023204141412111221515622123161681212617171021185181863220619198221222020613124


Порядок решения задачи.

Исходные данные к задачам выбираются по табл.6 и схемам на рис.12 приложение 2. Нарисуйте схему балки в масштабе в соответствии со своими данными. Отрицательные нагрузки покажите действующими в сторону, противоположную указанной на рисунке оси у.

1. Определите опорные реакции. Для их определения рекомендуется составить уравнения равновесия статики в форме равенства нулю моментов всех сил, взятых относительно одной и второй опоры. Правильность определения опорных реакций следует проверить, спроектировав все силы, приложенные к балке, на вертикальную ось У, параллельную силам. При правильном определении опорных реакций сумма проекций всех сил должна равняться нулю.

2. Составьте выражения для поперечной силы Q и изгибающего момента М на каждом участке балки методом сечений и вычислите значения Q и М на границах участков. Метод сечений состоит в том, что на границах участков балки берутся сечения, силовые участки. Силовой участок ЁC это участок вала между двумя внешними моментами. Рекомендуется рассматривать ту часть балки, к которой приложено меньшее число нагрузок.

Правила для вычисления величин Q и M в характерных сечениях следующие: Поперечная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил, приложенных к рассматриваемой отсеченной части балки, на ось перпендикулярную оси балки. В этой сумме внешняя сила берется с положительным знаком, если она вращает рассматриваемую отсеченную часть относительно сечения по ходу стрелки часов. Изгибающий момент М в сечении численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, приложенных к рассматриваемой отсеченной части балки, относительно сечения. В этой сумме момент внешней силы, сжимающий верхние волокна балки, берется со знаком минус. Чтобы определить какие волокна сжимает момент внешней силы, следует сечение мысленно защемить.

Постройте эпюры Q и М, при построении эпюр рекомендуется руководствоваться следующими правилами:

- В концевом сечении балки поперечные силы, изгибающий момент численно

равны приложенным в этом сечении внешней силе и моменту внешней пары (имеются в виду как активные, так и реактивные силы и пары сил).

- На участке балки, где отсутствует равномерно распределенная нагрузка, эпюры поперечных сил - прямые, параллельные базе эпюры, эпюры моментов - наклонные прямые.

- На участке балки, где приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра Q - наклонная прямая, эпюра М - квадратная парабола, при этом выпуклостью парабола направлена навстречу действию нагрузки.

- В сечении, где Q равно нулю и меняет знак в окрестности сечения, изгибающий момент имеет экстремальное значение. Положение указанного сечения можно найти из подобия треугольников, образуемых эпюрой Q и базой эпюры. Определив положение сечения, где Q=0, в этом положении определяется величина изгибающего момента из условия рассмотрения любой отсеченной части балки.

- В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы, на эпюре Q ординаты изменяются скачкообразно, изменение ординаты равно величине приложенной в сечении силы.

- В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные пары сил, на эпюре изгибающих моментов ординаты изменяются скачкообразно на величину приложенных в сечениях пар сил.

3. Из условия прочности опасной точки в опасном сечении, в которой действуют максимальные нормальные напряжения, найдите размеры поперечного сечения балки.

4. Определите нормальные и касательные напряжения в опасном сечении балки в точке, наиболее удаленной от нулевой линии и в точке центра тяжести сечения.

5. Определите прогиб в сечении балки способом Верещагина.

Для этого:

приложите единичные обобщенные силы в точке «к», соответствующие искомым перемещениям, определите опорные реакции в единичной системе и постройте эпюры изгибающих моментов от действия этих единичных сил;

определите деформации по правилу Верещагина.

покажите на рисунке изогнутую ось балки и отметьте на ней найденные перемещения.


7. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
7.1. Расчет статически определимой балки на растяжение (сжатие).
Дан ступенчатый брус, нагруженный силой F=40кН. Определить размеры поперечного сечения бруса, если [у]=160мПа, А1=А, А2=2А. Построить эпюры продольных сил и абсолютных деформаций. Определить относительные поперечные деформации на опасном участке. Материал первого бруса сталь Е1=2*105 мПа, коэффициент Пуассона м1=0.25, длина l1=2м, материал второго бруса медь Е2=105 мПа, коэффициент Пуассона м2=0.3, длина l2=3м.

3F F


2A A z

l2 l1
Рис.1. Схема нагружения бруса.


Решение.

Нормальная сила N зависит от величин внешних сил, поэтому границами участков будут сечения, в которых приложены эти силы. Разобьем брус на 2 силовых участка. На рис.2. ОП-1 показана схема разбиения силовых участков. В пределах каждого участка проведем сечения на расстоянии z от начала силового участка, т.е. используем местную систему координат. Внутренние силы определяем методом сечений. Отбросим левую от сечения часть, тем самым, исключив необходимость поиска реакции опоры. Действие отброшенной части заменим положительной продольной силой N(рис.3, рис.4 ОП-1). На каждом силовом участке составим уравнения равновесия рассматриваемой части бруса, из которых определим функции продольных сил N (формулы 2 и 3 на ОП-1).

1 участок 0ЎЬ z1ЎЬ 2м
N1 1 F z
1

z1

Рис.2. Схема нагружения первого силового участка.



Проведем произвольное сечение 1-1 на расстоянии z1 от свободного конца балки, отбросим левую часть, рассмотрим равновесие правой части. На нее действует только внешняя сила F и продольная сила N1, показанная в положительном направлении, которая учитывает воздействие левой отброшенной части.
УF=0 -N1+ F=0

N1= F = 40кН (const) (1)


Т.к. продольная сила N1 получилась с положительным знаком, то первый силовой участок стержня растягивается и находится выше базисной линии.

2 участок 0ЎЬ z2ЎЬ 3м


3F

N2 2 F z


2

z2 l1


Рис.3. Схема нагружения второго силового участка.
Аналогично предыдущему проведем сечение 2ЁC2 на расстоянии z2 от свободного конца бруса, в пределах II-го участка. Для правой части составим уравнение равновесия.

УF=0 -N2+3F+F=0

N2= 4F=160кН (const) (2)

Положительный знак продольной силы N2 свидетельствует о том , что

второй участок испытывает также растяжение.

По вычисленным значениям строим графики функции N (эпюру N) на каждом участке, откладывая значения N перпендикулярно к продольной оси бруса в выбранном масштабе (рис.5 ОП-1). Необходимым условием правильности построения является выполнение следующих требований:

растягивающие усилия Nz со знаком “+” откладываем вверх от базисной линии 0ЁC0, отрицательные вниз;

скачок в эпюре N должен находиться в точке приложения сосредоточенного усилия и быть равным по величине значению этой силы.


3F F

l2 l1


4F

F[кН] F


Рис.4. Эпюра продольных сил.
Размеры поперечного сечения бруса определим из условия прочности, составленной для опасного участка.

µ § (3)


где Fmax=4F, A2=2A

µ §


Абсолютное удлинение (укорочение) стержня определим по формуле закона Гука:

µ § (4)


3F F

0 1 2 z


z2 z1
Рис.5.Схема силовых участков для определения абсолютных деформаций.
Рассматривать изменение абсолютных размеров сечения начнем со стороны заделки, т.к. известно, что в заделке деформации равны нулю. Рассмотрим 2 силовой участок:

2 участок 0ЎЬ z2ЎЬ 3м

Рассмотрим проведенное произвольное сечение 2-2 на расстоянии z2 от жесткой заделки, отбросив правую часть, составим уравнение деформаций для левой части. Знаки в уравнении закона Гука берем с эпюры продольных сил этого участка

µ §


если z2= 0 l 0-1 =0

z2= 3м µ §

Т.к. продольная сила NZ2 получилась с положительным знаком, то на втором участке эпюра абсолютных деформаций возрастает по линейному закону.

1 участок 0ЎЬ z2ЎЬ 2м

Аналогично предыдущему проведем сечение 1ЁC1 на расстоянии z1 от жесткой заделки бруса, в пределах 1-го участка. Для левой части составим уравнение деформаций.

µ §


если z 1= 0 l 1-2 = l 0-1 +0= 4.8мм

z2= 2м µ §

Положительный знак продольной силы N1 свидетельствует о том, что

на первом участке эпюра деформаций растет по линейному закону.

Т.к. результат получился положительный, то стержень растягивается на длину 5.6 мм.

Наибольшую относительную поперечную деформацию определим на опасном участке (на втором) по формуле

µ §

Относительную продольную деформацию на опасном участке определим по следующей формуле



µ §
7.2. Расчет статически неопределимой балки на растяжение (сжатие).
Дана ступенчатая стальная балка площадью А и 2А , нагруженная сосредоточенной силой F = 60кН, защемленная с двух сторон (рис. ). Левая ступень балки нагревается t=300, коэффициент линейного расширения стали равен 1,25*10-5 град/м. Требуется определить внутренние усилия, напряжения, деформации, построить их эпюры. Определить размеры поперечного сечения балки, если [у]=160мПа.

RA t F RB z

2A A

2м 3м


Рис.1. Схема нагружения бруса.
Решение.

Так как рассматриваемая задача имеет жесткую заделку с двух концов, задача статически неопределима. Степень статической неопределимости определяется по формуле

n=x-s (1)

где n ЁC степень статической неопределимости,

x- число неизвестных внешних реактивных сил,

s ЁC число уравнений статики.

Так как при растяжении бруса в жесткой заделке отсутствуют вертикальные реактивные силы и реактивный момент, то в опоре остаются неизвестными только горизонтальные реактивные силы, которые можно определить из уравнения равновесия всех сил на ось стержня.
УFкz=0; RA+RB+F = 0; (2)
В таком случае степень статической неопределимости определится

n=2-1=1


Для раскрытия статической неопределимости рассмотрим:

1. Выбор основной системы


z

2м 3м


Рис.2. Основная система.
2. Выбор эквивалентной системы

F

X


z2 z1
Рис.3. Эквивалентная система.
1. Статическая сторона задачи.
В этой части задачи составим уравнения равновесия для каждого силового участка балки

Первый силовой участок

N1 X z
z1
Рис.4. Схема первого силового участка.
УFкz=0; -N1+ Х=0 N1 =Х (3)
Второй силовой участок
N2 F X

z


z2 3м

Рис.5. Схема второго силового участка.


УFкz=0; -N2+ Х +F=0 N1 =Х+F (4)
Геометрическая сторона задачи.
Полное удлинение всего бруса ограничено опорами и может быть равно только 0. Тогда перемещение сечения В будет равно:

Дl А-В= Дl1 +Дl2=0. (5)

Составленное уравнение называется уравнением совместности деформаций.

3. Физическая сторона задачи.


В этой части рассмотрим уравнения закона Гука, которые запишем для каждого участка

Дl1=µ §


Дl2=µ § (6)
Так как стержень 2 подвергается действию температуры, то при деформировании стержня необходимо учесть влияние температуры.

Деформация от действия температуры определяется по формуле

Дl2t=блрt l2 (7)

Тогда деформация этого участка будет складываться как деформация от действия температуры и действия нагрузки

Дl2= Дl2F+ Дl2t (8)
Математическая сторона задачи (синтез).
Подставим уравнения закона Гука в уравнения совместности деформаций

µ § (9)


и в полученное уравнение подставим уравнения равновесия

µ § (10)


Решая это уравнение, найдем неизвестную величину опоры.

Х= -µ §


Тогда N1 =-X=-15*103 -37.5А,

N2=-Х+F= -15*103 -37.5А+60*103=45*103-37.5А

Из условия прочности первого силового участка найдем А

µ § А=µ § µ §*103

А=76мм2

Из условия прочности второго силового участка найдем А



µ § А=µ § 320А+37.5А=45*103

А=125мм2


Принимаем для расчета наибольшую площадь А=125мм2, 2А=250мм2

Тогда N1 =-X=-15*103 -37.5А=-15*103- 37.5*125=-19.7кН

N2=-Х+F= 45*103-37.5А=40.3кН

Определим напряжения на каждом силовом участке

µ §

По найденным значениям построим эпюру N и у.



F

z
40.3

N[кН] 19.7

у[мПа] 161 157.6

Рис.6. Эпюры поперечных сил и напряжений.
Определим перемещения сечений по закону Гука на каждом силовом участке и построим их эпюры.

Рассмотрим второй силовой участок (0 ЎЬ z2 ЎЬ 2м)

µ §
µ § µ §
µ § µ §
Рассмотрим первый силовой участок (0 ЎЬ z1 ЎЬ 3м)

µ §


µ § µ §

µ § µ §
т.е. геометрическое условие выполняется.

F z

z2 2.36 z1



l[мм]
Рис.7.Эпюра абсолютных деформаций.
7.3. Расчет статически неопределимой шарнирно ЁC стержневой системы.
D
1 2 h

А С б В
а а F


Рис.1. Схема нагружения стержня.
Стальной стержень CD и медный стержень BD и поддерживают абсолютно жесткую (недеформируемую) балку AB, на которую действует сила F = 25кН. Опора А ЁC шарнирно ЁC неподвижная. Площади стержней известны: А1=2см2, А2=3см2. Определить размеры поперечного сечения стержней, если допускаемое напряжение [у]=160мПа (для стали), [у]=100мПа (для меди).

Решение.


В рассматриваемом примере в равновесии находится одно тело -недеформируемая балка. Нагрузками, приложенными к ней, являются сосредоточенная сила F, усилия в стержнях N1, N2. При решении задачи предполагается, что стержни 1,2 растянуты, т. е. усилия направлены к точкам подвеса стержней.

Рассматриваемая задача статически неопределимая. Требуется определить степень статической неопределимости. Степень статической неопределимости определить как разность между числом неизвестных и числом уравнений равновесия системы сил, действующих на конструкцию. Определим степень статической неопределимости. Балка находится в равновесии под действием плоской произвольной системы сил, в данном случае пяти сил, из которых четыре неизвестны. Такая система сил имеет три условия равновесия. Следовательно, заданная система один раз статически неопределима:

n=x-s, (1)

4 (неизвестных)ЁC3 (уравнения статики)=1 (степень статической неопределимости системы).

Рассмотрим пункты для раскрытия статической неопределимости системы.

Статическая сторона задачи.

Покажем все силы, действующие на конструкцию, включая реакции опор и внутренние усилия в стержнях. Для этого, используя метод сечений, «разрежем» стержни и покажем все наложенные на систему связи, т.е. изобразим план сил.
y N1

N2

RA



HA z

a a F
Рис.2. План сил.

Внутренние усилия в стержнях 1 и 2 будут растягивающими (положительными) и направленными от сечения стержня. Как говорилось выше, данная система имеет 4 неизвестных усилия. Составим уравнения равновесия.

УFКZ=0 µ § (2)

УFКY=0 µ § (3)

УMX=0 µ § (4)

Так как определять реакции шарнира по условию задачи не требуется, то из трех используем только одно уравнение равновесия:

УMX=0 из которого получим

µ § (4а)
Геометрическая сторона задачи.
Для составления дополнительного уравнения (уравнения совместности деформаций) рассмотрим систему в деформированном виде.

1 2


А С l1 В l2

В2

C1 В1


Рис.3. План перемещений.
Под действием приложенных сил балка AB повернется вокруг шарнира А, при этом точки С и B займут новые положения С1 и B1. При этом оба стержня растянутся, (деформированное состояние системы показано на рисунке 3µ §). Точки С и В при повороте балки опишут дуги окружностей, но из-за малости угла поворота балки действительные перемещения точек С и B по дугам окружности заменим перемещениями по вертикальным прямым СС1 и BB1. По той же причине будем считать, что углы между элементами конструкции до и после деформации остаются постоянными.

Геометрическое соотношение между l1u l2 можно установить, рас-

смотрев подобие треугольников. Из подобия треугольников АСС1 и OBB1 имеем

µ §


µ §

.

Удлинение стержня СD равно перемещению СС1. Очевидно, что стержень СD растягивается, и его удлинение будем считать положительным.



Построим треугольник BB1B2, опустив перпендикуляр из точки B1 на отрезок DB (получим точку B2).

Удлинение стержня DB найдем из рассмотрения треугольника BB1B2, учитывая, что Дl2=BB2. Очевидно, что стержень DB растягивается, и его удлинение будем считать положительным.

Рассматривая соотношение из треугольника BB1B2, в котором угол BB2B1, получим, что µ § и запишем уравнение совместности деформаций стержней СD и BD:
µ § (5)
Физическая сторона задачи.
Здесь необходимо установить связь между перемещениями и внутренними усилиями. Такая связь устанавливается при помощи закона Гука. Выразим l1 u l2 через усилия в стержнях N1 и N2 по закону Гука.

µ §


µ § (6)
Математическая сторона задачи (синтез).
Подставим выражения закона Гука в формулы уравнения совместности деформаций:

µ § (7)
Данное уравнение вместе с уравнением равновесия (4а) образуют, так называемую, полную систему уравнений, решение которой позволяет найти все неизвестные усилия в стержнях:

µ §

где


µ §

тогда


µ § (8)

µ § (9)


Для определения площади сечений стержня рассмотрим условие прочности на растяжение (сжатие):

µ § (10)


отсюда

µ § (11)


Если А1=2А2, то µ § или µ §

Отсюда А2= 116мм2, А1=232мм2

µ § (12)

µ § или µ § или 1.35 А2=123.7

Отсюда А2=91.6мм2, А1=183.3мм2.

Площадь A необходимо принять равной большему из двух полученных значений.

Принимаем А2= 116мм2, А1=232мм2

Определим при найденном значении площади поперечного сечения величины продольных сил в стержнях

µ §

µ §


Определим напряжения в каждом стержне.

µ §


7.4. Расчет статически определимого вала на кручение.
Стальной ступенчатый стержень длиной (l= 2м) круглого поперечного сечения (D= 10см, d= 6см) нагружен парами сил. Определить заданную нагрузку из условия прочности и жесткости, если [ф]= 80мПа, [и]= 8*10-3 град/м. G= 8*104 МПа. Построить эпюру крутящих моментов, углов закручивания.

2Мкр Мкр


D d

z
2l l


Рис.1. Схема нагружения бруса.
Решение.

Крутящий момент М зависит от величин внешних моментов, поэтому границами участков будут сечения, в которых приложены эти моменты, и место изменения размеров поперечного сечения (рис.1). Разобьем вал на 2 силовых участка. В пределах каждого участка проведем сечения на расстоянии z от начала силового участка, т.е. используем местную систему координат (рис.2).

2 2Мкр 1 Мкр

2 z2 1 z1


Рис.2. Схема силовых участков для определения крутящих моментов.
Внутренние силы определяем методом сечений. Отбросим левую от сечения часть, тем самым, исключив необходимость поиска реакции опоры. Действие отброшенной части заменим положительным крутящим моментом m. На каждом силовом участке составим уравнения равновесия рассматриваемой части вала, из которых определим функции крутящих моментов m.

1 участок 0ЎЬ z1ЎЬ l

1   2   3   4


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница