Методические рекомендации для выполнения курсовой работы по сопротивлению материалов



страница2/4
Дата23.04.2016
Размер0.75 Mb.
1   2   3   4

УMz = 0

Дополнительное уравнение для решения рассматриваемой задачи получим отбросив одно (левое) опорное закрепление, но оставив другое (правое). Поворот левого конца полученного таким путем бруса должно быть равно нулю



ц=0

В действительности этот конец жестко закреплен и не может поворачиваться. На основании принципа независимости действия сил, перемещения имеют вид

ц = ц1+ ц2=0
Вопросы для самопроверки.

Какой вид деформации называется кручением?

Внутренние усилия при кручении.

Как определяется величина крутящего момента в любом сечении бруса? Каков порядок построения эпюр крутящих моментов?

Как называются стержни работающие на кручение?

Какие напряжения возникают в поперечном сечении стержня при кручении и как они определяются?

Как распределены напряжения в сечении при кручении бруса круглого сечения?

Условие прочности при кручении.

Каков порядок подбора размеров поперечного сечения бруса при кручении по условию прочности?

Как определяются абсолютный и относительный углы закручивания при кручении?

Что называется жесткостью вала при кручении?

Условие жесткости при кручении.

Что называется полярным моментом сопротивления поперечного сечения?

Как определяется полярный момент сопротивления для

круглого сплошного и кольцевого сечений?

14. Какие задачи кручения брусьев решаются с использованием

условия прочности?

15. Как определяется полный угол закручивания сечения по от-

ношению к неподвижному или начальному сечению?

16. Каков порядок решения статически неопределимых задач при кручении?


5. ИЗГИБ БРУСА.
5.1. Основные понятия.
Поперечным изгибом называется такой вид изгиба, когда в поперечных сечениях бруса возникает два внутренних силовых фактора: изгибающий момент и поперечная сила, а силовая линия совпадает с одной из главных центральных осей сечения.

На рис.5.1. F, q, M- усилия, действующие в силовой плоскости YOZ. Силовая линия ЁC это линия пересечения силовой плоскости с плоскостью поперечного сечения бруса.

Для расчета балки на изгиб необходимо знать все действующие на нее внешние силы. Т.к. внешние активные силы заданы, определяют внешние реактивные силы, или неизвестные опорные реакции, используя уравнения
y

F a q M
z

x yoz a

Рис.5.1. Схема нагружения бруса.


статики. При этом необходимо помнить, что закрепления конструкций приводим к трем типам закреплений: шарнирно ЁC подвижная опора, шарнирно ЁC неподвижная опора, жесткая заделка.

µ § - сумма проекций внешних сил на ось балки z;

µ § - сумма проекций внешних сил на ось балки у;

µ § - сумма моментов всех внешних сил относительно любой точки, лежащей в плоскости действия сил.

Из первого уравнения следует, что для статически определимых балок горизонтальная реакция всегда равна нулю, т.к. все действующие внешние нагрузки направлены перпендикулярно ее оси.

При решении статически определимых шарнирно опертых балок удобнее находить опорные реакции, рассматривая уравнения моментов относительно каждой опоры. После определения опорных реакций проводится проверка правильности их нахождения по уравнению сил.

Правило знаков. Для определения опорных реакций принято, если сила, создающая момент, действует по часовой стрелке, то момент от этой силы отрицательный, а момент действующий против часовой стрелки ЁC положительный.
Внутренние усилия.
Рассмотрим брус, нагруженный системой нагрузок (рис.5.2).

F1 Fn


A B z
a

YA z YB


L
A F1 Qy Mx

о

a



YA

z

Рис.5.2. Схема нагружения бруса.


Составим уравнение равновесия всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, на ось У.

µ §


Составим уравнение равновесия моментов всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, относительно центра тяжести проведенного сечения.µ §

µ §


где УУЛ ЁC алгебраическая сумма проекций всех внешних сил на ось У, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

УmХЛ ЁC алгебраическая сумма моментов всех внешних ил, относительно центра тяжести поперечного сечения и расположенных по одну сторону от сечения.

Правило знаков для поперечной силы и изгибающего момента.

Если равнодействующая всех сил, приложенных к левой части балки, направлена вверх, то поперечная сила положительна, Для правой части балки поперечная сила будет наоборот отрицательной (рис.5.3).

Если в левой части балки сумма моментов всех сил направлена по ходу часовой стрелки, то изгибающий момент положительный. Или изгибающий момент считается положительным, если он вызывает сжатие в верхних слоях балки (рис.5.3).

Q › 0 Q ‹ 0

M › 0 M ‹ 0

Рис.5.3. Правило знаков для поперечных сил и изгибающих моментов.


Дифференциальные зависимости при изгибе балки.
Составим уравнения равновесия отсеченной части на ось У (рис.5.4).

µ §


Составим уравнение моментов для отсеченной части относительно сечения с (рис.5.4).

µ §


q

z dz


l
у q

Mx с z Mx+dMx

Qy dz Qy+dQy
Рис. 5.4. Действие внутренних нагрузок для отсеченной части балки.
Из этих уравнений запишем дифференциальные зависимости для q, Mх, Qу

µ § µ § µ § (5.1)

Используя дифференциальные зависимости между интенсивностью распределенной нагрузки, изгибающим моментом и поперечной силой (4.1) и учитывая геометрический смысл производной, можно проверить правильность построения эпюр внутренних силовых факторов при изгибе балки.

На участках, где нет распределенной нагрузки, эпюры Q постоянны и не зависят от длины балки, а эпюры М имеют линейную зависимость от длины балки.

На участках, где нагрузка равномерно распределена, эпюры Q имеют линейную зависимость, а эпюра М ЁC описывается квадратичной параболой с вогнутостью по направлению действия нагрузки.

В сечениях, где приложены сосредоточенные силы, на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении приложенных сил, на эпюре моментов имеется излом в сторону действия нагрузки.

В сечениях, где приложены сосредоточенные моменты, на эпюре М будут скачки на величину этих моментов.

На участках, где Q ЁC положительна, момент возрастает, а где Q ЁC отрицательна, эпюра моментов убывает.

Изгибающий момент достигает экстремальных значений в сечениях, когда поперечная сила равна нулю.
Напряжения при изгибе балки.
При выводе формулы нормальных напряжений используются следующие гипотезы:

Гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли). Сечения плоские и нормальные к оси бруса до деформаций остаются плоскими и нормальными к оси бруса после деформаций.

Гипотеза о ненадавливании продольных волокон друг на друга.

Прямые углы прямоугольной сетки, нанесенные на поверхности бруса до деформаций, остаются прямыми и после деформаций.

Запишем формулу для определения нормальных напряжений:

µ § (5.2)

где у ЁC расстояние от нулевой линии до точки, в которой вычисляются напряжения;

Iх ЁC осевой момент инерции сечения.

Из формулы (5.2) следует, что напряжения в нулевой линии равны нулю, а характер их изменения по высоте сечения линейный. Максимальные напряжения возникают в волокнах наиболее удаленных от нулевой линии (рис.5.5).

Основные гипотезы, принимаемые при выводе формулы Журавского для определения касательных напряжений:

При поперечной силе Q=const нормальные напряжения определяются по формуле, выведенной для чистого изгиба балки.

Касательные напряжения ф есть только функция Q.

Касательные напряжения будем считать одинаковыми по ширине сечения на определенном расстоянии у от нулевой линии.

Касательные напряжения определяются по формуле:

µ § (5.3)

где SX* - статический момент отсеченной части сечения относительно нулевой линии;

b ЁC ширина сечения на уровне точки, где определяются касательные напряжения.

Закон изменения касательных напряжений по высоте сечения имеет нелинейный характер, а наибольшее значение достигается в нулевой линии, где нормальные напряжения равны нулю. В точках наиболее удаленных от нулевой линии касательные напряжения равны нулю (рис.5.5)


У у ф

h

b


Рис. 5.5. Эпюры нормальных и касательных напряжений.
Центр изгиба.
Кроме рассмотренных выше касательных напряжений, которые действуют параллельно поперечной силе Q, т.е. перпендикулярно нейтральной оси у, в тонкостенных сечениях возникают касательные напряжения, параллельные оси у.

Чтобы найти касательные напряжения, параллельные нейтральной оси, применяют формулу Журавского, рассматривая в формуле величину b как ширину слоя, в котором определяется касательное напряжение, независимо от того, проводится сечение параллельно или перпендикулярно нейтральной линии. Касательные усилия в полках и стенках тонкостенного профиля образуют «поток» касательных усилий, например на рис. 4.6 изображены касательные усилия для двутавровой балки.

фПОЛКИ

фП



b1

tС х


h фС
фП
Рис. 5.6. Касательные напряжения.
Касательные напряжения в полке определятся
µ § (5.4)

т.е. касательные напряжения фП меняется по длине полки по линейному закону. Наибольшего значения это напряжение достигнет при у=b1.


µ § (5.5)

При b1‹y‹(b1+tC) в вертикальное сечение попадает вся стенка двутавра: нельзя считать, что по высоте h касательное напряжение равномерно распределено, поэтому недопустимо применять для его вычисления формулу Журавского.

Рассмотрим двутавровую балку при нагружении ее в плоскости, совпадающей с главной центральной плоскостью инерции и являющейся плоскостью симметрии балки. Внутренние касательные усилия в сечении приводятся к равнодействующей равной поперечной силе Q и направлены вдоль оси симметрии сечения.

В сечениях, подобных швеллеру, уголку и т.д., нагруженных также в плоскости, совпадающей с главной центральной плоскостью инерции, но не являющейся плоскостью симметрии балки, внутренние касательные усилия в сечении приводятся к равнодействующей и паре сил вокруг продольной оси балки z. Это означает, что равнодействующая внутренних касательных усилий равная поперечной силе Q, не проходит через центр тяжести вдоль главной центральной оси инерции у, а проходит параллельно этой оси. Следовательно, балка испытывает изгиб и кручение.

Центром изгиба называется точка, через которую проходит равнодействующая всех внутренних касательных усилий в сечении балки.

Линией центров изгиба называется линия, соединяющая все центры изгиба сечений балки.

Положение центра изгиба определяется по формуле
µ §µ § (5.6)

Проверка прочности балок при изгибе.

µ §
µ § µ § µ §

определение проверочный проектировочный

грузоподъемности расчет расчет
Рис.5.7. Схема использования условия прочности для решения задач.
Из рассмотренной выше схемы следует, что условия прочности позволяют решать три типа задач.

Рассмотрим проверку прочности балки в общем случае изгиба. Пусть QЃ‚0, МЃ‚0, вырежем бесконечно малый элемент в окрестностях точек А, В, С (рис.5.8) и запишем выражения для определения напряжений в этих точках.

F1 Fn

A QY


B

z

С



MX

z
Рис.5.8. Положение точек А, В, С в балке.


Точка расположена в крайних волокнах сечения, где нормальные напряжения наибольшие, а касательные напряжения равны нулю. Бесконечно малый элемент в окрестностях точки А имеет линейное напряженное состояние, условие прочности запишется

µ § (5.7)

Точка В расположена на нулевой линии. В этой точке действуют только касательные напряжения, и бесконечно малый элемент испытывает деформацию чистого сдвига. Условие прочности примет вид

µ § (5.8)

В точке С рассматриваем плоское напряженное состояние, где действуют нормальные и касательные напряжения.

µ § (5.9)

µ § (5.10)

µ § (5.11)

µ § (5.12)
Определение перемещений методом начальных параметров.
Перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному к оси балки, называется прогибом балки в данном сечении. Искривленная ось балки называется упругой линией.

При определении перемещений методом начальных параметров следует учесть, что:

1. Начало координат для всех участков выбирают в начале или конце балки.

2. Если в уравнение входит величина сосредоточенного момента, его домножают на скобку (z-a) в нулевой степени, где а ЁC расстояние от начала координат до точки приложения момента.

3. Если распределенная нагрузка не доходит до конца балки, то ее следует продолжить и добавить равную и противоположную нагрузку.

Запишем универсальное уравнение упругой линии

µ § (5.13)

Дифференцируя это выражение, получим уравнение углов поворота сечения.

µ § (5.14)
Энергетические методы определения перемещений.
При простых видах деформирования бруса определение перемещений проводилось частными способами определения перемещений, удобным для решения задач. Но брус может иметь малую кривизну, а реальные объекты могут состоять из нескольких брусьев, образующих плоскую или пространственную систему. Для определения перемещений для этих случаев необходим более общий метод.

Из теоретической механики известно, что работа постоянной силы F на перемещение по ее направлению равна произведению величины силы на величину соответствующего ей перемещения.

W= F*

Известно также, что работа внешней силы при статическом действии ее на любое упругое сооружение равна половине произведения этой силы на величину соответствующего ей перемещения. И если на систему действует система сил, то работа группы внешних сил равна половине суммы произведений каждой силы на величину соответствующего ей перемещения, вызванного действием всей группы.



µ § (5.15)

Под F будем понимать обобщенную силу, а под ЁC обобщенное перемещение.

Обобщенная сила ЁC это любая нагрузка (сосредоточенная сила, момент, группа сил, интенсивность распределенной нагрузки).

Обобщенное перемещение ЁC это тот вид перемещения, на котором обобщенная сила производит работу.

Если перемещение вызвано единичной силой, то обозначают д. У знаков перемещений обычно ставится два индекса: первый обозначает место и направление перемещения, второй ЁC причину, вызвавшую перемещение.

Учитывая, что системы являются линейно деформируемыми, используя принцип независимости сил, запишем

µ § (5.16)

Это выражение называется обобщенным законом Гука для линейно деформируемых систем.

Под действием приложенных сил брус деформируется, и различные точки бруса получают перемещения. При этом внешние силы совершают работу, а в брусе накапливается потенциальная энергия. Если на брус действуют все внутренние силовые факторы, то можно записать уравнения для вычисления потенциальной энергии

µ § (5.17)

Следует заметить, что для плоской стержневой системы, работающей на изгиб, наибольший вклад до 96% в величину потенциальной энергии вносит первое слагаемое, вклад второго слагаемого составляет до 3%, вклад остальных составляющих незначителен.

Потенциальная энергия проявляется при разгрузке стержневых систем в виде работы, совершаемой внутренними силами.

Внутренние силы возникают во всех деформируемых элементах упругой системы и представляют собой силы упругого сопротивления. Эти силы препятствуют возникновению деформаций. Сумма работ внешних и внутренних сил равна нулю. Следует обратить внимание, что в процессе совершения системой возможного перемещения величина и направление внешних и внутренних сил остаются неизменными. Поэтому при вычислении возможной работы нужно брать не половину, а полную величину произведений соответствующих сил и перемещений.

Для определения перемещений энергетическими методами используются метод Кастильяно, метод Максвелла ЁC Мора и способ Верещагина. При наличии большого количества участков наиболее простым способом определения перемещений является способ Верещагина.µ §


Способ Верещагина.
Если брус состоит из прямых участков с постоянной жесткостью на каждом из них, то можно говорить о том, что эпюры от единичных сил на прямолинейных участках бруса будут линейными.

Рассмотрим интеграл Мора

µ § (5.18)

На рис.5.9 приведены эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и от действия единичной нагрузки на длине l


у q

dwP wP


«MP»

z dz


zC

yi yc


б «М1»

l z
Рис.5.9. Эпюры изгибающих моментов.

где wP ЁC площадь эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки. Из рисунка видно, что

µ §


Тогда

µ §


Т.к.

µ §


µ §

Тогда


µ §

Или


µ § (5.19)

И формула интеграла Мора может быть равна произведению площади эпюры от внешней нагрузки на ординату прямолинейной эпюры от единичной нагрузки, расположенную под центром тяжести эпюры от заданной внешней нагрузки.

Практические указания по применению способа Верещагина.

Необходимо построить эпюры внутренних сил для заданной расчетной схемы.

Выбрать единичную систему, приложив по направлению искомого перемещения соответствующие единичные силы.

Построить эпюры внутренних сил для единичной системы.

Перемножить эпюры по участкам, т.е. площадь заданной эпюры умножить на ординату линейной эпюры, взятой пол центром тяжести заданной, и выполнить суммирование.

В таблице1 приведены значения площадей и координаты центров тяжести наиболее часто встречающихся геометрических фигур.

Таблица1

Геометрическая

фигураПлощадь wpКоординаты центра тяжестиz1z2 z1 z2

h

l



прямоугольник

hl

l/2



l/2 z1 z2
h

l

прямоугольный треугольник



hl/2
l/3

2l/3 z1 z2


h
l

гипербола

hl/3
l/4

3l/4 z1 z2


h
l


квадратная парабола
2hl/3

3l/8
5l/8 z1 z2

l

сегмент
ql3/12


l/2

l/2

5.8. Вопросы для самопроверки.
1. Какой вид деформации называется прямым изгибом? Какая разница между чистым и поперечным изгибом?

2. Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечных сечениях бруса при прямом поперечном изгибе? Как они определяются?

3. В чем заключается суть метода сечений при определении внутренних усилий?

4. Дайте определение понятия "грузовой участок". Какие внешние признаки определяют границы грузовых участков?

5. Каков порядок построения эпюр Q и М в балках?

6. Какие дифференциальные зависимости существуют между функциями М, Q и q?

7. Какие особенности имеют эпюры М и Q на границах и по длине грузовых участков в зависимости от приложенных внешних сил?

8. По какой формуле определяются нормальные напряжения при прямом изгибе в произвольной точке поперечного сечения? Покажите их эпюры на рисунке.

9. Как определяются касательные напряжения при прямом поперечном изгибе в произвольной точке поперечного сечения? Изобразите их эпюры для некоторых типов сечений.

10. Напишите условия прочности при прямом изгибе по нормальным напряжениям для балок из пластичного и хрупкого материалов.

11. Какие три типа задач можно решать, используя условия прочности при изгибе?

12. Каков порядок подбора сечения балки из условия прочности по нормальным напряжениям?

13. Запишите условие прочности балки по касательным напряжениям.

14. Как выполняется полная проверка прочности балки?

15. В каких точках поперечного сечения балки имеет место одноосное, плоское напряженные состояния и чистый сдвиг?

16. В чем заключается суть расчета балки по методу предельной несущей способности?

17. Как определяется положение нейтральной оси при расчете балки по методу предельной несущей способности?

18. Что называется пластическим моментом сопротивления сечения?

19. Как определяется значение предельного изгибающего момента?
6. ЗАДАНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ.
6.1. Задание 1. Растяжение (сжатие) бруса.

6.1.1. Задача 1. 1. Растяжение (сжатие) статически определимого бруса.


Для заданного бруса, нагруженного сосредоточенными силами (рис.1 приложение 2) определить размеры поперечного сечения из условия прочности, если [у]= 160 мПа. Для заданной задачи требуется построить эпюры внутренних усилий N, напряжений у и абсолютных деформаций l, определить размеры поперечного сечения, относительные поперечные деформации на опасном участке бруса. Через А обозначена площадь поперечного сечения бруса.

Данные к задаче представлены в таблице 2.

Таблица 2

вариантаF,кНа, мТ, град12341800,152750,2-53700,1204650,2-105600,1156550,2-157500,1-108550,1-59600,2510650,21011700,115123412750,1-513800,1-1014750,2-1515700,1516650,11017600,21518550,2-519500,1-1020550,2-15



Величины модуля упругости Е при растяжении (сжатии), коэффициента Пуассона ѓЭ, коэффициента линейного температурного расширения материала бруса ѓС приведены в таблице 3.

Указание: Собственным весом бруса пренебречь.


Характеристики материалов

Таблица 3

МатериалЕ, мПаѓЭѓС, град-1Сталь2*1050,312*10-5Медь1*1050,3516*10-5Дюралюмин0,7*1050,2525*10-5

Порядок решения задачи.

Исходные данные к задаче выбираются по табл. 2 и схеме на рис.1. приложение 2

Нарисуйте в масштабе стержень с учетом данных табл. 1. Найдите, используя метод сечений, продольные силы на каждом участке стержня и постройте в масштабе эпюру изменения продольной силы по длине стержня.

Постройте в масштабе эпюру распределения напряжений по длине стержня.

Из условия прочности подберите размеры поперечных сечений стержня на каждом участке.

Вычислите абсолютные деформации стержня на каждом силовом участке и постройте эпюру продольных деформаций.

Определите относительные поперечные деформации на опасном участке бруса.

Задача 1.2. Расчет статически неопределимого бруса.

Рассматриваем брус, с защемленными с двух сторон концами, который находится под действием осевых сосредоточенных сил F: часть длины бруса испытывает температурные напряжения - Т (рис.6.2), [у]= 160 мПа.

Для данной задачи требуется раскрыть статическую неопределимость бруса, найти размеры поперечного сечения бруса из условия прочности, построить эпюры поперечных сил N, эпюры нормальных напряжений у, эпюры абсолютных деформаций l.
Порядок решения задачи.

Исходные данные к задаче выбираются по табл. 2 и схемам на рис.2. приложение 2.

Найдите продольные силы в каждой части стержня от заданной силы

F, раскрыв статическую неопределимость. Для этого выполните следующее:

запишите уравнения равновесия;

составьте условия совместности деформаций;

запишите физические уравнения (закон Гука);

решите совместно эти уравнения.

Постройте эпюры распределения продольной силы и напряжений по длине стержня.

Определите размеры поперечного сечения стержня из условия прочности. Постройте абсолютных деформаций по длине стержня.


6.1.3. Задача 1.3. Расчет статически неопределимой

шарнирно ЁC стержневой системы.

Рассматриваемая шарнирно стержневая система находится под действием силы F (рис.3 приложение2). При наличии в системе горизонтального бруса АВ считать его абсолютно жестким и невесомым. Стержни выполнены из стали. Площади поперечных стержней А и 2А и углы наклона стержней указаны на расчетных схемах. Модуль упругости материала стержней Е = 2*105 мПа, коэффициент Пуассона ѓЭ = 0.3, допускаемое напряжение [у] = 160 мПа. Собственным весом стержней пренебречь.

Для заданной расчетной схемы, варианта исходных данных, приведенных в таблице 4, требуется определить:

- усилия в стержнях;

- размеры поперечного сечения стержней.

1   2   3   4


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница