Метод прогнозирования



Скачать 72.07 Kb.
Дата03.05.2016
Размер72.07 Kb.
УДК 550.385
МЕТОД ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

ДИСКРЕТНЫХ ИОНОСФЕРНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ

.

Д.Б. Рождественский



Институт проблем управления РАН,

e-mail: rd_41@ipu.ru

В.А. Телегин

.Институт магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн РАН;

e-mail:telvika@gmail.com:
Предложен метод прогнозирования данных наблюдения геофизических процессов, имеющих ограниченный спектр и заданных на конечном временном интервале. Метод прогнозирования - экстраполяции получен в результате решения задачи аппроксимации разрывных функций с использованием амплитудной демодуляции гармонического сигнала. Метод предназначен для прогнозирования состояния возмущенной ионосферы по данным вертикального зондирования.
1.Введение
В геофизике основными методами прогнозирования считаются методы регрессионного анализа, в основу которого в качестве модели принят степенной многочлен невысокой степени. Существенная часть ионосферных наблюдений представлена дискретными во времени и пространстве измерениями ионосферных параметров, дальнейшая обработка которых проводится с помощью численных цифровых технологий. В настоящей работе рассматриваются принципиальные трудности, связанные с получением алгоритма прогнозирования дискретных данных наблюдений, исследование которых проводится методами гармонического анализа.
2. Принципиальные трудности прогнозирования
Постановка задачи прогнозирования заключается в построении оператора формирования выборки конечного числа дискретных отсчетов, подвергающихся операции прогнозирования.

Прогнозированию подвергаются только результаты наблюдения, представленные в виде конечного числа дискретных отсчетов. Прогнозирование всегда связано с решением задачи аппроксимации разрывных функций, которая сопровождается явлением Гиббса, фатально сказывающимся на результаты прогноза. Именно поэтому методы математического моделирования не дают хороших результатов в прогнозе.

Реальный процесс с достаточной точностью может быть представлен суперпозицией гармонических составляющих без каких-либо ограничений ее спектрального состава:

(1)

Здесь – амплитуда, –круговая частота, – начальная фаза, n – номер гармоники. Будем полагать, что реальный процесс с достаточной точностью может быть представлен выражением (1) при конечном значении n, т.е. процессом с ограниченным спектром. Результаты наблюдений можно представить процессом с ограниченным спектром, умноженным на прямоугольную функцию и подвергнутым равномерной дискретизации.

В качестве алгоритма прогнозирования выберем ряд Тейлора, позволяющий записать значения функции через ее значения при других значениях аргумента .

(2)

Если является текущей точкой, то ряд (2) служит для определения экстраполированных значений функции в области . Функция может быть разложена в ряд Тейлора, если она непрерывна и непрерывны ее производные в окрестности точки [Фихтенгольц,2007]. Условие разложения произвольной функции в ряд Тейлора является условием экстраполируемости этой функции. Функция экстраполируема, если она определена и имеет производные всех порядков в окрестности точки и на всей области экстраполяции. Условие дифференцируемости функции требует ее непрерывности. Следовательно, функцию, представленную в виде дискретных отсчетов (каковыми являются данные ионосферного зондирования) необходимо восстановить в непрерывный вид или, другими словами провести интерполяцию либо аппроксимацию.

При аппроксимации функций, представляемых дискретными отсчетами, колебания Гиббса возникают на частоте Найквиста, проходят через все отсчеты и, по-существу, являются погрешностями аппроксимации, а в области экстраполяции ведут себя непредсказуемо.

Алгоритм восстановления дискретного процесса с помощью ряда Котельникова, полученный в результате аппроксимации разрывной функции, имеет вид:


, (3)

где – результат аппроксимации, – отсчеты исходного процесса, – безразмерное время, – интервал дискретизации, – коэффициенты взвешивания.


3. Метод экстраполяции
Выражение (3) получено с помощью интегрального дискретного преобразования Фурье предельным переходом от ДПФ при стремлении к бесконечности периода дискретной периодической функции . Интегральное ДПФ известно как ряд Котельникова, Шеннона, Найквиста или кардинальный ряд Уиттекера. Базисная функция Котельникова проходит через отсчеты функции , поэтому выражение (3) является интерполирующей функцией. Функция дифференцируема относительно d. Взяв производную по d от функции, получим алгоритм для расчета производной дискретной функции.

, (4)

где - точка, в которой определяется производная.

Из выражения (3) непосредственно следует алгоритм экстраполяции для узловых точек, лежащих в области будущего времени:
. (5)

С помощью выражений (4) и формулы разложения функции в ряд Тейлора (2) получим алгоритм экстраполяции дискретного процесса .

Таким образом, метод аппроксимации разрывной функции, основанный на амплитудной демодуляции, позволил построить алгоритм экстраполяции конечной выборки дискретных отсчетов ограниченного по спектру реального геофизического процесса.

В качестве примера работы алгоритмов прогнозирования (2) и (5) приведем результаты прогноза функций с ограниченными спектрами: и

.

Рис. 1. Экстраполяция функции по алгоритму (2).AB- отсчеты исходного процесса; АС –точные значения функции; BD – результаты экстраполяции;



Рис. 2 Экстраполяция функции с ограниченным сплошным спектром по алгоритму (5): N- номер отсчета, кривая 1 – отсчеты исходного процесса; участок N>14 – область экстраполяции; 2 –точные значения функции; 3 – результаты экстраполяции; 4 –ошибки экстраполяции.


4. Результаты прогноза
Применение изложенного выше метода к данным ионосферного зондирования позволяет получить прогноз суточного хода критических частот слоя F2. На рис. 3 представлены результаты прогнозирования изменения foF2 для интервала экстраполяции, равного двум суткам.


Рис.3. Пример работы алгоритма экстраполяции для суточного хода критической частоты слоя F2.
1 – интервал исходных данных, поступающих на алгоритм экстраполяции, 2 – результат экстраполяции (гладкая кривая), 3 – исходные измеренные данные критической частоты (точечная кривая).
На рис.3 показана экстраполяция длительностью в 48 часов (кривая 2) на основе исходных данных с интервалом в 3 часа (кривая 1).

5. Заключение
В настоящей статье изложен метод прогнозирования, позволяющий уменьшить степень неопределенности, обусловленной явлением Гиббса. Наиболее сложный вопрос о механизме переноса информации в область будущего времени. Основой для получения алгоритма прогнозирования является выражение (4), из которого получено (5) для узловых точек в области будущего. В этих выражениях аргумент лежит в области - , в том числе и в области будущего времени. В выражении (4) числитель и знаменатель содержат колебания Гиббса, которые являются суперпозицией «хвостов» базиса Котельникова . Таким образом, информация переносится в область будущего колебаниями Гиббса.

Решение задачи прогнозирования заключается в построении обратного оператора, позволяющего решить задачу аппроксимации разрывных функций и задачу прогноза. Обратный оператор построен на использовании свойств симметричности спектра восстановленной дискретной последовательности с помощью интегрального преобразования Фурье. Симметричность спектра достигается взвешиванием дискретной последовательности посредством использования выделяющей функции с ограниченным спектром. Этот метод также имеет свои ограничения как любой приближенный численный метод. Например, нельзя создать выделяющую функцию с частотной характеристикой, у которой амплитуда боковых лепестков равна нулю. Точность экстраполяции определяется наличием этих боковых лепестков. Точность прогнозирования зависит от степени подавления боковых лепестков спектра выделяющей функции. Предлагаемый метод позволяет получать результаты прогнозирования с более высокой точностью, чем методами регрессионного анализа.



Описанный метод прогнозирования применяется для функций с ограниченным спектром, заданных на конечном временном интервале конечным числом равноудаленных дискретных отсчетов. Поскольку алгоритм экстраполяции требует ограниченности спектра прогнозируемого процесса и выделяющей функции, надо рассмотреть правила формирования функции с ограниченным спектром с помощью методов цифровой фильтрации, т.е. рассмотреть правила построения цифровых фильтров. На современном этапе в связи с отказом от использования системы GPS в России и с переходом на использование ГЛОНАСС стала актуальной задача исследования влияния ионосферы на точность определения координат подвижных объектов.
Литература
Андре Анго. Математика для электро-и радиоинженеров. М.: Наука. С. 770. 1964.

Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 408 с. 1965.

Котельников В.А. О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи. //Радиотехника, М., №4-5. С.42-55. 1999.

Мандрикова О.В., Глушкова Н.В., Живетьев И.В. Метод моделирования и прогнозирования ионосферных данных на основе совмещения вейвлет-преобразования и моделей авторегрессии - проинтегрированного скользящего среднего. www..ikir.ru/en/Publications/Conferences/2013-VI-international/thesesAndReports/F_119-123.pdf .

Моисеев С.Н. Вероятностная модель и прогноз частотных параметров ионосферного канала распространения. www.dissercat.com/conntent/veroyatnostnye-modeli-i-prognoz-chastotnnykh-parametrov-ionosfernogo-kannnnnnnnala-rasprostraneniya/2002/.

Полозов Ю.А. Автоматизированная обработка сигналов сложной структуры на основе нейронных сетей с целью прогноза сильных землетрясений на п-ве Камчатка. www.kscnet.ru/ivs/publicationn/young_conf./2008/2/art12.pdf

Рождественский Д.Б. Аппроксимация функции с разрывами. Явление Гиббса. // Промышленные АСУ и Контроллеры.. №4. С .32 – 36. 2011

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х т.Т.1. М.: Физматлит. 680 с. 2007.

Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, С. 400. 1972.



База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница