Литература : Многогранники и уравнения В. А. Тиморин, А. Г. Хованский // Математическое просвещение. Сер. 3, 2010. №14. C. 30-57



Скачать 29.04 Kb.
Дата12.11.2016
Размер29.04 Kb.
Темы курсовых работ

на 2011-2012 учебный год

доцент В.А. Кириченко



1-2 курс

1.Многогранники Ньютона и теорема Кушниренко.
Классическая теорема Безу о числе общих нулей n многочленов от n комплексных переменных верна для многочленов общего положения, и выражает число нулей через степени многочленов. Теорема Кушниренко обобщает теорему Безу, и выражает число нулей через многогранники Ньютона ("обобщённые степени") многочленов.
Литература: Многогранники и уравнения В.А.Тиморин, А.Г.Хованский // Математическое просвещение. Сер. 3, 2010. № 14. C. 30—57

1-3 курс

1.Многочлены Шуберта.

По каждой перестановке n элементов можно определить многочлен от n переменных с целыми коэффициентами (многочлен Шуберта). Многочлены Шуберта изначально возникли для описания исчисления Шуберта на многообразии полных флагов в n-мерном пространстве (обобщении грассманиана), а затем стали активно изучаться комбинаторными методами. Тема для 1-2 курса - теорема Кириллова-Фомина, дающая комбинаторное описание мономов в многочлене Шуберта через приведённые диаграммы (pipe-dreams), реализуюшие данную перестановку. Тема для самостоятельного обдумывания - доказательство теоремы Кириллова-Фомина через митоз. Тема для 3 курса - теорема Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда и Демазюра о представлении циклов Шуберта на многообразии полных флагов многочленами Шуберта (исчисление Шуберта).


Литература:

1. L. Manivel // Symmetric functions, Schubert polynomials and degeneracy loci. SMF/AMS Texts and Monographs 6, 2001; (имеется неопубликованный русский перевод)


Очень хорошо написанная книга о комбинаторике и геометрии многообразий флагов, в частности, в главе 2 содержится теорема Кириллова-Фомина с доказательством, в главе 3 - исчисление Шуберта на многообразии полных флагов.

2.A. Kirillov, S. Fomin // The Yang-Baxter equation, symmetric functions, and Schubert polynomials, Discrete Mathematics, 153 (1996), 123-143

3.Ezra Miller // Mitosis recursion for coefficients of Schubert polynomials, J. Comb. Theory A, 103 (2003), no. 2, 223-235
Элементарный комбинаторный алгоритм (митоз) для выписывания всех приведённых диаграмм с данной перестановкой индукцией по длине перестановки. Также может быть использован для доказательства теоремы Кириллова-Фомина


2 курс

1. Цепная дробь для числа e (основания натурального логарифма).
Интересно, что коэффициенты цепной дроби для e подчиняются простой закономерности.
Литература:

1. А.Я.Хинчин // Цепные дроби

2.статья в Википедии Gauss's continued fraction


2-3 курс

1.Группа монодромии гипергеометрической функции Гаусса.
Гипергеометрическая функция Гаусса 2F1(a, b, c; z)- специальная функция одной комплексной переменной. Может быть задана как сумма (гипергеометрического) ряда, как интеграл или как решение фуксова дифференциального уравнения второго порядка с тремя особыми точками. Группу монодромии гипергеометрической функции можно найти явно (например, задать образующими и соотношениями), в частности, можно узнать при каких значениях комплексных параметров a,b,c она разрешима, коммутативна или конечна.
Литература: (все необходимые определения и методы для решения задачи можно найти в этих книгах, но самого решения в них нет)

1. A.A.Болибрух // Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения

2. В.И.Смирнов // Курс высшей математики (том 3, часть 2), 7-е издание, глава 5, пп 95-104

3. Г.Бейтмен, А.Эрдейи // Высшие трансцендентные функции (том 1), глава 2, пп 2.1-2.7




3 курс

1.Сколько коник (на комплексной проективной плоскости) касается пяти данных коник ?
Классическая задача исчислительной геометрии, поставленная Штейнером и решённая Шалем. Имеет важное историческое значение, так как поиски строгого решения стимулировали развитие разных областей алгебраической геометрии.
Литература:

1. Ф. Гриффитс, Дж. Харрис // Принципы алгебраической геометрии (том 2), глава 6, п 1


Содержит как строгое решение методами алгебраической геометрии, так и неформальное элементарное решение методом Шаля.

2. S.Kleiman // Chasles’s enumerative theory of conics: A historical introduction, Studies in Algebraic Geometry, Mathematical Association of America Studies in Mathematics, 20, Mathematical Association of America, Washington, DC, 1980, 117–138 (имеется электронная версия)


Интересный исторический очерк о задаче Шаля и её влиянии на развитие теории пересечений.



База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница