Лекция №16 Компактные



Скачать 263.41 Kb.
Дата09.05.2016
Размер263.41 Kb.
Лекция № 16
Компактные операторы. В отличии от линейных операторов в конечномерных пространствах, для которых имеется исчерпывающее описание (например, жорданова форма матрицы), изучение произвольных линейных операторов в бесконечномерных пространствах представляет собой весьма сложную и по существу, необозримую задачу.

Однако некоторые важные классы таких операторов могут быть описаны полностью. Среди них – компактные линейные операторы. Эти операторы, с одной стороны, близки по своим свойствам к конечномерным (т.е. к ограниченным линейным операторам, переводящим данное пространство в конечномерное) и допускают достаточно детальное описание. С другой стороны, эти операторы играют важную роль в различных приложениях, в частности, в теории интегральных уравнений.



Определение 1. Линейный оператор , отображающий банахово пространство в себя (или другое банахово пространство ), называется компактным, или вполне непрерывным, если он каждое ограниченное множество переводит в предкомпактное.

Множество , лежащее в некотором топологическом пространстве , называется предкомпактным, если его замыкание компактно в .

В конечномерном нормированном пространстве всякий линейный оператор компактен, поскольку он автоматически непрерывен, а следовательно ограничен, т.е. переводит любое ограниченное множество в ограниченное, а в конечномерном пространстве всякое ограниченное множество предкомпактно.

В бесконечномерном пространстве компактность оператора есть требование существенно более сильное, чем его непрерывность (т.е. ограниченность).

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. Пусть – единичный оператор в банаховом пространстве . Покажем, что если бесконечномерно, то оператор не компактен. Для этого достаточно показать, что единичный шар в не компактен.

Лемма 1. Пусть – линейно независимые векторы в нормированном пространстве и пусть – подпространство, порожденное векторами . Тогда существует последовательность векторов , удовлетворяющая следующим условиям:

1) ; 2) ; 3) , ,

где – расстояние вектора от , т.е.



.

Доказательство. Действительно, так как векторы линейно независимы, то и . Пусть – такой вектор из , что . Тогда, поскольку , вектор

удовлетворяет условиям 1)3). За при этом можно взять вектор . Лемма доказана.

Пользуясь этой леммой, в единичном шаре всякого бесконечномерного нормированного пространства можно построить последовательность векторов , для которой . Ясно, что такая последовательность не может содержать никакой сходящейся подпоследовательности. А это означает отсутствие компактности.

Пример 2. Пусть – непрерывный линейный оператор, переводящий банахово пространство в некоторое его конечномерное подпространство. Такой оператор компактен, так как он переводит всякое ограниченное подмножество в ограниченное подмножество конечномерного пространства, т.е. в предкомпактное множество.

Пример 3. Рассмотрим в пространстве оператор , определенный следующим образом: если , то

(1)

Этот оператор компактен. Действительно, поскольку всякое ограниченное множество из содержится в некотором шаре этого пространства, достаточно доказать, что образы шаров предкомпактны, а в силу линейности оператора (1) достаточно проверить это для единичного шара. Но оператор (1) переводит единичный шар пространства в множество точек, лежащее внутри основного параллелипипеда . Следовательно, это множество вполне ограничено, а значит и предкомпактно.



Основные свойства компактных операторов.

Теорема 1. Если – последовательность компактных операторов в банаховом пространстве , сходящаяся по норме к некоторому оператору , то оператор также компактен.

Доказательство. Для установления компактности оператора достаточно показать, что, какова бы ни была ограниченная последовательность элементов из , из последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Так как оператор компактен, то из последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Пусть



такая подпоследовательность, что сходится. Рассмотрим теперь последовательность . В силу компактности оператора из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Пусть



подпоследовательность, выбранная из , такая, что сходится. При этом, очевидно, тоже сходится. Рассуждая аналогично, выберем из последовательности такую подпоследовательность



что сходится, и т.д. Возьмем затем диагональную последовательность



.

Каждый из операторов переводит ее в сходящуюся. Покажем, что и оператор тоже переводит её в сходящуюся. Тем самым компактность оператора будет установлена. Так как пространство полно, то достаточно показать, что – фундаментальная последовательность. Имеем:



.

Пусть . Выберем сначала так, что , а потом выберем такое , чтобы при всех выполнялось неравенство



.

Это возможно, так как последовательность сходится при . При этих условиях получаем, что







Поэтому

.

для всех достаточно больших . Теорема доказана.

Легко проверить, что линейная комбинация компактных операторов компактна. Следовательно, в пространстве всех ограниченных линейных операторов, определенных на , компактные операторы образуют замкнутое линейное подпространство.

Теорема 2. Если – компактный оператор, а – ограниченный, то операторы и компактны.

Доказательство. Если множество ограничено, то тоже ограничено. Следовательно, предкомпактно, а это и означает, что оператор компактен. Далее, если ограничено, то предкомпактно, а тогда в силу непрерывности множество тоже предкомпактно, т.е. оператор компактен. Теорема доказана.

Следствие 1. В бесконечномерном пространстве компактный оператор не может иметь ограниченного обратного.

Действительно, иначе единичный оператор был бы компактен в , что невозможно.



Теорема 3. Всякий компактный оператор в банаховом пространстве имеет при любом лишь конечное число линейно независимых собственных векторов, отвечающих собственным значениям, по модулю превосходящих .

Доказательство. Пусть – какая-либо последовательность собственных значений оператора (различных или с повторениями) таких, что ; – отвечающая им последовательность собственных векторов, так что , и пусть эти векторы линейно независимы.

Воспользуемся леммой 1 из примера 1 и построим такую последовательность векторов , что



1) ; 2) ; 3) , ,

Последовательность ограничена в силу неравенства . Утверждается, что из последовательности образов нельзя выбрать сходящуюся подпоследовательность. Действительно, пусть



; тогда ,

где


.

Поэтому при любых



,

так как . Получили противоречие с компактностью оператора . Теорема доказана.

Из доказанной теоремы вытекает, что число линейно независимых собственных векторов, отвечающих данному собственному значению компактного оператора, конечно.

Кроме того, число собственных значений компактного оператора во внешности круга всегда конечно, и все собственные значения компактного оператора можно пронумеровать в порядке невозрастания их модулей:



.
Компактные операторы в гильбертовом пространстве. Мы называем оператор компактным, если он переводит всякое ограниченное множество в предкомпактное.

В гильбертовом пространстве в силу теоремы об общем виде линейного функционала (см. теорему 3, лекция № 13) можно считать, что . Поэтому в гильбертовых пространствах можно ввести следующую терминологию.



Определение 2. Будем говорить, что последовательность элементов гильбертова пространства слабо сходится к элементу , если при

для любого .



Самосопряженные компактные операторы в . Для самосопряженных линейных операторов в конечномерном евклидовом пространстве известна теорема о приведении матрицы такого оператора к диагональной форме в некотором ортогональном нормированном базисе.

Эта теорема допускает обобщение на компактные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве.



Собственные векторы. Подпространство гильбертова пространства называется инвариантным относительно линейного оператора , если

из следует, что .

В частности, тривиальное подпространство и все пространство являются инвариантными для всякого линейного оператора. Нас естественно будут интересовать только нетривиальные инвариантные подпространства.

Особую роль играют одномерные инвариантные подпространства оператора ; они называются иначе инвариантными или собственными направлениями. Всякий (ненулевой) вектор, принадлежащий одномерному инвариантному направлению оператора , называется собственным вектором оператора . Иначе говоря, вектор называется собственным вектором оператора , если



.

Число , фигурирующее в этом равенстве, называется собственным значением (собственным числом, естественно, комплексным) оператора , соответствующим собственному вектору .

Докажем теперь следующую фундаментальную теорему.

Теорема Гильберта-Шмидта. Для любого компактного самосопряженного линейного оператора в полном сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортогональная нормированная система собственных векторов, отвечающих собственным значениям , такая, что каждый элемент представим единственным образом в виде

,

где вектор , т.е. ; при этом



,

и если система бесконечна, то



.

Для доказательства этой теоремы нам потребуются следующие вспомогательные утверждения.



Лемма 1гш. Если и – самосопряженный оператор, то

,

причем знак равенства возможен только в случае, когда есть собственный вектор оператора с собственным значением



.

Доказательство. В силу самосопряженности оператора и неравенства Коши-Буняковского имеем:

. (1гш)

Неравенство Коши-Буняковского обращается в равенство лишь в том случае, когда фигурирующие в нем векторы коллинеарны; поэтому в случае равенства имеем:



,

т.е. есть собственный вектор оператора . Подставляя полученное выражение в (1гш), находим :



.

Утверждение доказано.

Назовем максимальным вектором ограниченного оператора такой единичный вектор , , на котором величина достигает своего наибольшего значения .

Лемма 2гш. Самосопряженный компактный оператор обладает максимальным вектором.

Доказательство. Выберем последовательность , где , , так, чтобы иметь . Из последовательности можно выделить (в силу компактности оператора ) сходящуюся подпоследовательность . Пусть . В силу непрерывности нормы имеем: . Утверждается, что вектор является искомым максимальным вектором.

Прежде всего, в силу непрерывности оператора имеем:



.

Векторы принадлежат единичному шару, и поэтому векторы по длине не превосходят . Применяя лемму 1гш, получаем:



,

откуда вытекает, что



,

т.е. есть максимальный вектор оператора , что и требовалось доказать.

От максимальных векторов перейдем к собственным.

Лемма 3гш. Если – максимальный вектор для самосопряженного оператора , то является собственным вектором оператора с собственным значением .

Доказательство. По лемме 1гш и по определению нормы оператора имеем:

,

откуда


.

Тогда в силу леммы 1гш есть собственный вектор оператора с собственным значением , что и требовалось.



Лемма 4гш. Если оператор обладает собственным вектором с собственным значением , то оператор имеет собственный вектор с собственным значением или .

Доказательство. Равенство можно записать в виде

, где – единичный оператор.

Допустим, что . Тогда



, т.е. ,

откуда следует, что есть собственный вектор оператора с собственным значением . Если же , то , т.е. является собственным вектором оператора с собственным значением . Лемма доказана.

Леммы 1-4(гш) показывают, что всякий самосопряженный компактный (или вполне непрерывный) оператор обладает собственным вектором с собственным значением .

Лемма 5гш. Собственные значения самосопряженного оператора являются действительные числами, а собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Доказательство. Если , то

,

откуда , т.е. – действительное число. Если же и , , то



.

Но , т.е. , и так как , то . Лемма доказана.



Лемма 6гш. У компактного оператора всякая ортогональная нормированная система собственных векторов с собственными значениями, превосходящими по модулю число , конечна.

Доказательство. Допустим, что нашлась бесконечная система таких собственных векторов. Каждый такой вектор переводится оператором в самого себя с некоторым числовым множителем, по модулю большим числа .

Пусть и – какие-нибудь два из этих собственных векторов ( ):



, , , .

Тогда


.

Это означает, что расстояние между векторами, полученными после воздействия оператора на векторы системы , превосходят . Но из совокупности таких векторов нельзя выбрать никакой сходящейся последовательности, что противоречит компактности оператора . Лемма доказана.

В частности, существует только конечное число взаимно ортогональных векторов с данным собственным значением . Иными словами, каждое собственное подпространство, отвечающее ненулевому собственному значению компактного самосопряженного оператора, конечномерно.

Эта лемма позволяет сделать определенные выводы относительно совокупности всех собственных векторов и собственных значений оператора . Рассмотрим множество всех собственных значений оператора . В силу леммы 6гш существует лишь конечное число собственных значений (причем действительных!), превосходящих по абсолютной величине данное положительное число . Поэтому, если собственных значений бесконечное множество, то они образуют последовательность, сходящуюся к нулю. Следовательно, мы можем занумеровать натуральными числами все собственные значения в порядке убывания их абсолютных величин. Условимся при этом, что мы будем каждое собственное значение повторять столько раз (или снабжать столькими номерами), какова размерность соответствующего собственного подпространства. В таком случае последовательности всех ненулевых собственных значений



мы можем сопоставить последовательность собственных векторов



,

причем , . Можно считать, что векторы взаимно ортогональны и нормированы. В самом деле, если , то в силу леммы 5гш. Если же , то в пределах конечномерного собственного подпространства, отвечающего собственному значению , мы всегда можем провести ортогонализацию. Нормировка всех векторов завершает построение.

Покажем теперь, что каждый вектор , ортогональный всем построенным векторам , переводится оператором в нуль.

Лемма 7гш. Пусть – подпространство в гильбертовом пространстве , инвариантное относительно самосопряженного оператора . Тогда ортогональное дополнение подпространства также инвариантно относительно оператора .

Доказательство. Пусть и – произвольны. По условию,

, т.е. ,

откуда следует, что . Лемма доказана.

Теперь рассмотрим совокупность всех векторов , ортогональных всем построенным векторам . Эта совокупность является замкнутым подпространством как дополнение линейной оболочки . Поскольку очевидно, что инвариантна относительно оператора , ее ортогональное дополнение также инвариантно относительно . Обозначим через точную верхнюю границу значений на единичной сфере подпространства . В силу леммы 4гш в подпространстве имеется собственный вектор с собственным значением . Но по самому построению подпространства оно не может содержать ни одного собственного вектора с ненулевым собственным значением. Отсюда . Но это означает, что для каждого , что и утверждалось.

Теорема Гильберта-Шмидта уже почти доказана. Действительно, обозначим через замыкание линейной оболочки векторов ; ортогональное дополнение к нему есть также . Каждый вектор однозначно представим в виде



, где , .

Вектор можно разложить в ряд Фурье по системе , полной в пространстве . А вектор , как мы только что показали. Итак,



,

.

Теорема Гильберта-Шмидта доказана.





База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница