Лекция 11 Скалярные произведения математических объектов Математика это язык описания свойств Природы



Скачать 177.17 Kb.
Дата05.11.2016
Размер177.17 Kb.

Основы спектрального анализа звуков

Лекция 11

Скалярные произведения математических объектов


Математика – это язык описания свойств Природы.

Прежде, чем перейти непосредственно к описанию рядов Фурье и интеграла Фурье, остановимся сначала на более простых способах разложения разных математических объектов на базовые элементы.

Начнём с векторной алгебры.

В векторной алгебре скалярное произведение пары трёхмерных векторов a= и b= в декартовой системе координат определяется одним из следующих равнозначных способов:



, (11.1)

или


. (11.2)

Назовём ортонормированным базисом в трёхмерном векторном пространстве такую тройку векторов {e1,e2,e3}, для которых справедливы следующие соотношения:



. (11.3)

Если у нас есть прямоугольная система координат с ортонормированным базисом {e1,e2,e3}, то любой вектор a будет иметь координаты, которые вычисляются с помощью скалярного произведения:

a1=(a,e1), (11.4)

a2=(a,e2), (11,5)

a3=(a,e3). (11.6)

Или в общем виде:

ak=(a,ek), (11.7)

Таким образом, любой вектор a раскладывается по координатам ортонормированного базиса {e1,e2,e3} с помощью скалярного произведения следующим образом:



a = a1 . e1 + a2 . e2 + a3 . e3 = (a,e1) . e1 + (a,e2) . e2 + (a,e3) . e3 (11.8)

Это уравнение является ключевым. В нём фактически показано, что любой заданный вектор (для обобщения хотелось бы сказать – любой математический объект) может быть выражен через:

а) вектора некоторого введённого ортонормированного базиса,

б) его же самого (то есть, заданный вектор),

в) через скалярные произведения заданного вектора и всех векторов ортонормированного базиса.

Забегая вперёд, скажем, что точно так же ниже мы определим разложение произвольного участка сигнала (речевой волны или звуковой волны), где в качестве ортонормированного базиса будут использоваться гармонические функции.

Но предварительно нам надо сделать ещё два подготовительных шага.

Шаг первый.

Звуковой сигнал теоретически можно описать разными способами:

а) в виде непрерывного графика на бумаге,

б) в виде совокупности математических аналитических функций (такое тоже может быть, но если очень повезёт),

в) в виде таблицы или, как говорят – в табулированной форме.

Именно в последнем виде описываются все звуковые сигналы, вводимые в память компьютера с помощью аналого-цифрового преобразователя (АЦП), который преобразует электроакустический сигнал в очень длинный ряд целых чисел. Так, например, на стандартном бытовом звуковом компакт-диске (CD) каждая секунда звука представлена в виде ряда из N=44100 целых чисел, которые получены путем измерения значения напряжения электроакустического сигнала с равными по времени интервалами 44100 раз в секунду. В этом случае, с математической точки зрения, можно говорить, что мы имеем N-мерный вектор. И для этого случая можно так же ввести понятие скалярного умножения двух N-мерных векторов, как это делается в скалярном умножении в векторной алгебре (11.2).

Обозначим пару оцифрованных звуковых сигналов следующим образом:

s(t) => {s1, s2, s3, …, sN} (11.9)

и

z(t) => {z1, z2, z3, …, zN}. (11.10)



Скалярное произведение этих двух сигналов, представленных в виде N-мерных векторов, определим следующим образом:

(11.11)

Опираясь на эту аналогию скалярного произведения двух векторов, определим скалярное произведение двух произвольных непрерывных функций следующим образом.



Определение 1.

Если у нас имеются две непрерывные функции s(t) и z(t), определённые на интервале , то их скалярным произведением назовём следующее выражение:



. (11.12)

Определение 2.

Две непрерывные функции s(t) и z(t) называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:



. (11.13)

Определение 3.

Функция s(t) называется нормированной на 1, если



. (11.14)

Заметим, что условия (11.13) и (11.14) выглядят точно так же, как и определение ортонормированности двух векторов (11.3).



Определение 4.

Назовём ортонормированным базисом такую бесконечную совокупность функций {e1(t), e2(t), e3(t), …, en(t), …}, для которых выполняются следующие условия:



. (11.15)

По аналогии с уравнением (11.7) введём следующее определение:



Определение 5.

Назовём координатой an функции s(t) в функциональном бесконечномерном ортонормированном базисе такое число:



. (11.16)

И чуть позже мы покажем, что, как в векторном пространстве, любой вектор a раскладывается по координатам ортонормированного базиса {e1,e2,e3} с помощью скалярного произведения (11.8), точно так же и любая функция s(t) раскладывается по координатам an в функциональном бесконечномерном ортонормированном базисе {e1(t), e2(t), e3(t), …, en(t), …}. Но прежде, чем сделать это, выполним ещё один подготовительный шаг, позволяющий лучше понять – как это можно любую функцию заданного класса представлять в виде разложения на функции другого класса.

Шаг второй.

Ряд Тейлора


В стародавние времена учёным, занимавшимся изучением свойств Природы, необходимо было находить значения некоторых сложных аналитических функций (логарифма, экспоненты, синуса, косинуса, тангенса и т.п.) для того или иного значения аргумента. И если, например, косинусы некоторых «простых» углов можно было вычислить без особых усилий, то найти значение того же косинуса от произвольного аргумента было практически невозможно.

Решить эту проблему удалось примерно 300 лет назад. Сделал это английский математик Тейлор Брук (Taylor Brook), который родился 18.08.1685 в Эдмонтоне (Мидлсекс), а умер 29.12.1731 в Лондоне.

В 1712 году Тейлор нашёл общую формулу (т.н. формулу Тейлора) для разложений аналитических функций в степенные ряды (ряды Тейлора). Тейлор опубликовал эту формулу в труде «Прямой и обратный метод приращений» (“Methodus incrementorum directa et inversa”, L., 1715). В этом же труде он положил начало математического изучения задачи о колебании струны.

Как и многие гениальные люди, Тейлор был разносторонним учёным. Помимо сказанного выше, Тейлор был автором работ о перспективе, центре качания, полёте снарядов, взаимодействии магнитов, капиллярности и др.

Чтобы пояснить суть предложенной Тейлором идеи разложения любой аналитической функции в степенной ряд, приведем ещё одно определение.

Определение 6.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и имеет в этой точке производные всех порядков f(n)(x0). Тогда ряд



(11.17)

называется рядом Тейлора функции f(x) в точке x0.



.

0! = 1.


Это определение говорит о том, что такое ряд Тейлора и как его следует вычислять. Следует особо подчеркнуть две существенные особенности этого ряда. Во-первых, этот ряд имеет бесконечное число слагаемых. Во-вторых, для его вычисления требуются лишь самые простейшие арифметические операции: сложения, вычитания, умножения и деления.

Теорема 1.

Пусть функция f(x) и все её производные ограничены в совокупности в некоторой окрестности точки x0, т.е. существует такая постоянная M>0, что



(11.18)

для всех x в этой окрестности точки x0 и всех n = 0, 1, 2, … Тогда на этом интервале функция f(x) раскладывается в ряд Тейлора, т.е.



. (11.19)

Более привычно эта формулу можно переписать так:



. (11.20)

Приведём несколько примеров разложения разных аналитических функций в ряд Тейлора.

Разложение в ряд Тейлора экспоненциальной функции имеет следующий вид:

. (11.21)

Очень хорошо видно, что вычисление экспоненты для любого значения x теперь становится теоретически возможным только лишь с помощью четырёх простейших арифметических операций. Но как быть с тем, что ряд имеет бесконечное число слагаемых? Оказывается, что значение каждого члена этого ряда очень быстро стремится к нулю с ростом его номера. И поэтому, в зависимости от того, с какой точностью1 следует рассчитать значение экспоненты в точке x, следует взять лишь несколько первых членов ряда, а остальными можно пренебречь.

Для иллюстрации на рис. 11.1 показаны графики самой функции экспоненты (синим цветом) и его ряда Тейлора, рассчитанного до 6-го члена ряда.

Рассмотрим ещё один пример – разложения функции синуса в ряд Тейлора. В этом случае разложение будет иметь следующий вид:



. (11.22)

Так же как и в предыдущем примере на практике обычно требуется вычисление не всех членов этого бесконечного ряда, а только первых из них, в строгой зависимости от требуемой точности вычисления значения функции синуса в той или иной точке.

Для иллюстрации на рис. 11.2 показаны графики самой функции синуса (синим цветом) и его ряда Тейлора, рассчитанного до 19-того члена ряда.

Итак, мы увидели, что, на самом деле, существует способ разложения разных математических (аналитических) функций на базовые элементы, которыми являются степенные функции (целых степеней).

Ещё раз подчеркнём важность такого разложения. Не будь его, не только бы 300 лет назад, были бы проблемы, например, с расчётами орбит космических тел, но и сейчас неизвестно как мы бы находили значения любых аналитических функций от произвольного значения её аргумента.

Отдавая дань Бруку Тейлора, можно сказать так – его научный труд сейчас реализован в каждом современном компьютере. Иначе бы невозможно было бы не только производить сложные математические расчёты, но даже, например, нельзя было бы правильно нарисовать дугу окружности на экране монитора или принтера. Да, это именно так, поскольку значения всех известных математических (аналитических) функций вычисляются центральным процессором компьютера именно с помощью ряда Тейлора.


Ряд Фурье


Заканчивая столь длинное отступление, возвратимся к главной теме нашей лекции. Рассмотрим такой вопрос. А можно ли звуковые сигналы раскладывать на отдельные гармонические сигналы разных частот, амплитуд и фаз? И зачем это надо?

Начнём с того, что вспомним, что звуковые сигналы, распространяясь в реальных условиях, проходя разные реальные среды передачи звука, меняют свою форму до неузнаваемости. А если так, то как же удаётся передавать информацию с помощью звука? Ведь что-то в структуре звуковой волны должно оставаться инвариантным, иначе бы передавать информацию с помощью звука, в принципе, было бы нельзя.

И тут нам на помощь приходит один из законов сохранения, которых не так уж и много в Природе. Из школьной программы мы помним законы сохранения массы, энергии, импульса и момента импульса, благодаря которым (зная и используя которые) решаются все практически корректно поставленные физические задачи. Если бы такие законы Природы не были найдены, никакие бы современные достижения науки и техники были бы невозможны.

В Природе звуковых волн есть только одна замечательная звуковая волна, у которой кое-что остаётся всегда неизменным, независимо от того, через какие бы среды передачи звука она не проходила и от какого бы множества поверхностей эта волна не отражалась (складываясь со всеми своими многочисленными отраженными волнами).

Это волна гармонического типа, математическое описание которой имеет следующий вид:

, (11.23)

где - это амплитуда гармонического колебания (в зависимости, среды существования этого гармонического колебания, амплитуда может выражаться в паскалях, вольтах, метрах, веберах и т.п.);



- это частота гармонического колебания (измеряется в герцах);

- это начальная фаза данного гармонического колебания относительно некоторого начала времени (измеряется в радианах)2.

Так вот, закон сохранения для гармонического сигнала можно сформулировать так. Если гармонический сигнал (11.23) распространяется сквозь реальные среды передачи звука и в окружении разных отражающих или частично поглощающих звук поверхностей, то:



  • характерная кривизна этой волны не меняется;

  • частота колебания этой волны остаётся неизменной.

А что может измениться? Как правило, чем дальше гармонический звуковой сигнал отходит от своего источника, тем меньше становится его амплитуда колебания. Говорят так – амплитуда сигнала затухает, и он становится тише. Но если этот гармонический звуковой сигнал попадёт в некоторую резонирующую полость, то его амплитуда может и увеличиться. Значение параметра мы воспринимаем как громкость.

Значение параметра может меняться в разные стороны в зависимости от условий прохождения звуковой волны гармонического типа. Например, если сгенерировать гармонический звуковой сигнал так, что одна его часть уйдёт в прямой коридор, а вторая – в извилистый коридор, и эти коридоры вдали снова сходятся, то сигнал, прошедший через извилистый коридор немного отстанет от первого на какое-то время. И поэтому фаза его колебания в точке встречи этих сигналов не будет совпадать с фазой первого сигнала (прошедшего через прямой коридор).

А вот частоты колебания этих сигналов не изменятся, даже, несмотря на то, что, например, один из коридоров будет перекрыть перегородкой, частично пропускающей звук.

Именно благодаря этому природному свойству распространения звука удаётся передавать информацию с помощью звука всем живым существам, использующим это средство коммуникации.

Сделаем небольшую историческую остановку.

Идею разложения произвольной функции, определенной на некотором интервале , на совокупность базисных гармонических функций предложил французский математик и физик Фурье Жан Батист Жозеф (1768 – 1830).

Отметим пару интересных совпадений. В то же время, когда жил Жан Батист Жозеф Фурье, во Франции жил ещё один Фурье - Шарль Фурье (1772 – 1837), который был очень популярным утопическим социалистом. Можно предположить, что в то время во Франции был очень популярен термин «гармония», поскольку на надгробном камне у Шарля Фурье выбита, примерно, следующая фраза – является автором гармонии3. И Жан Батист Жозеф Фурье предложил метод разложения функций на гармоники.

Социалистический утопист Шарля Фурье разработал план будущего общества – строя «гармонии», в котором должны развернуться все человеческие способности. Первичной ячейкой нового общества он считал «фалангу», сочетающую промышленное и сельскохозяйственное производство. Он первым высказал догадку о коммунистическом общество. Но, по его мнению, должны сохраняться частная собственность, классы, нетрудовой доход. Новое общество утвердится, по Шарлю Фурье, путем мирной пропаганды социалистических идей.

Особых результатов теория социалиста утописта Шарля Фурье не принесла ни ему, ни человечеству.

У физика и математика Жан Батист Жозеф Фурье жизнь была более продуктивной. В 1798 году он вместе с другими учеными принимал участие в Египетской экспедиции Наполеона Бонапарта. С 1817 он стал членом Парижской АН. А в 1829 он стал иностранным почетным членом Петербургской АН. Его труд «Аналитическая теория тепла» (1822) явилась отправным пунктом в создании теории тригонометрических рядов (рядов Фурье).

Если оглянуться назад, то 300 лет назад Тейлор предложил любую математическую (аналитическую) функцию раскладывать в ряд степенных функций. Прошло 100 лет, и Жан Батист Жозеф Фурье предложил аналогичные ряды, в которых базовыми функции были не степенные, а тригонометрические. И так же как ряды Тейлора ряды Фурье используются до сих пор. Боле того, без рядов Фурье и дальнейшего их развития в интегралы Фурье немыслимо развитие многих науки, в частности, наук о звуке - акустики.

Вернёмся к математическому описанию рядов Фурье.

Попробуем разложить любой звуковой сигнал, определённой на интервале , по координатам специального базиса из гармонических функций. Как это примерно можно делать уже говорилось выше (11.16). Для этого введём сначала следующий базис из гармонических функций:

(11.24)

Все функции этого базиса ортонормированны.

Действительно.

, для всех n и k. (11.25)

Или иначе, но в более удобочитаемом виде:



, для всех n и k. (11.26)

. (11.27)

. (11.28)

Ряд Фурье определяется следующим образом.



Определение 7.

Пусть для функции существует интеграл



. (11.29)

Рядом Фурье, порождённым этой действительной функцией , называется бесконечный тригонометрический ряд:



, (11.30)

где коэффициенты и определяются по формулам Эйлера-Фурье:



, (11.31)

(11.32)

для n = 0, 1, 2, 3, …

Следует отметить, что получение коэффициентов-координат для ряда Фурье такое же, как и для векторов (11.4) – (11.8) или функций (11.16). Единственным, даже не отличием, а уточнением является то, что базисные функции обозначены парами функций косинусов и синусов (11.24).

Теорема Фурье.

Если функция непрерывна на интервале и для неё существует интеграл (11.29), то порождённый этой функцией ряд Фурье (11.30) равен порождаемой функции. То есть, .

Перепишем ряд (11.30) в развёрнутом виде:

. (11.33)

Выполнив некоторые тригонометрические преобразования, можно получить этот же ряд в несколько ином виде:



, (11.34)

где и . (11.35)

Последнее представление ряда Фурье более наглядно и понятно. Фактически оно показывает, что любая непрерывная функция , удовлетворяющая условию (11.29) представима в виде суммы бесконечного ряда гармоник (11.23).

Поскольку гармоники (11.23) в ряде Фурье обычно описываются не в терминах «периода гармонического колебания», а в терминах «частоты гармонического колебания», то ряд Фурье обычно представляют в следующем виде:



, где . (11.36)

В практических исследованиях представлять ряд Фурье в виде математической формулы (11.36) неудобно. Поэтому его обычно представляют графически в виде амплитудного спектра (см. рис. 11.3). В аналогичном графическом виде можно и фазовый спектр, однако, поскольку он применяется значительно реже амплитудного, то мы его здесь показывать не будем.




Адекватность ряда Фурье


Разложение векторов по координатам некоторого ортонормированного базиса, разложение математической (аналитической) функции в ряд Тейлора или разложение функции с ряд Фурье – всё это математические модели. И как всякие модели они могут быть адекватными или нет. Но вся адекватность рядов Тейлора заключается лишь в том, что они позволяют получать значение произвольной аналитической функции с любой наперёд заданной точностью. В смысле точности представления любой непрерывной функции с помощью рядов Фурье здесь тоже проблем нет. Но смысл рядов Фурье заключается не только и не столько в точности разложения произвольной непрерывной функции в ряд гармонических функций. Более важным является адекватность модельного описания звука как явления природ с помощью ряда Фурье.

Вернёмся к рассмотрению вопроса разложения функции в ряд Фурье. Для этого напомним, что исходную непрерывную функцию мы определили на интервале . За этим интервалом эта функция не определена. Помня о главном содержании нашего предмета, можно сказать, что мы раскладываем в ряд Фурье не весь, например, долго длящийся звук, а какой-то его кусочек (фрагмент).

Но если функция определена (задана) только лишь на ограниченном отрезке, то ряд Фурье определён на всей бесконечной оси времени. И поскольку все гармонические компоненты ряда (11.36) имеют период , то и сам ряд Фурье – это периодическая функция с тем же периодом.

На рис. 11.4 зелёным цветом показана функция , которая определена (задана) только на интервале . Мы эту функцию отождествляем с некоторым реальным звуковым сигналом. Мы видим этот сигнал только внутри отрезка, а как он себя ведёт вне этого отрезка – неизвестно.



На этом отрезке ряд Фурье адекватно описывает наш сигнал . Адекватно в том смысле, что = на отрезке .

Говорить об адекватности описания рядом Фурье нашего сигнала вне этого отрезка не приходится, поскольку наш сигнал вне отрезка нам неизвестен, а ряд Фурье имеет вполне определённый вид (на рис. 11.4 график ряда Фурье показан красным цветом).

Если мы из реального речевого сигнала вырежем, например, фрагмент звука «с», то наш сигнал будет иметь вид хаотичной структуры, характерной для многих шумов. И прослушивание этого фрагмента мы воспримем как изолированный звук «с». Но если мы послушаем сигнал, который порождает ряд Фурье, то услышим периодически повторяющийся один и тот же звук «с». В этом смысле ряд Фурье, как модельное описание звука, недостаточно адекватен реальности.

Другое дело – долгий музыкальный звук или гласный звук речи. Эти звуки имеют периодически повторяющуюся структуру. Если мы у такого звука вырежем один период (неважно, как и в какой момент времени начинать вырезать, главное – вырезать строго один период) и по нему построим ряд Фурье, то адекватность модели становится полной. Полной в том смысле, что ряд Фурье будет совпадать с исходным периодическим сигналом не только внутри периода , но и везде вне его. Это очевидно. И мы не различим на слух исходный сигнал и его модельное описание с помощью ряда Фурье.

Отсюда, в частности, следует вывод – спектр любого периодического сигнала имеет частоты: , , , , , …, где называется частотой основного тона голоса. Пример такого спектра показан на рис. 11.3.

Следует отметить, что этот факт, полученный нами теоретическим путём, благодаря адекватности математического (модельного) описания с помощью ряда Фурье отдельного музыкального звука, издревле был знаком хорошим музыкантам. Каким-то образом хороший музыкальный слух, оснащённый высоким интеллектом, на самом деле различает отдельные гармоники в музыкальных звуках. И часто можно услышать утверждение, что музыкальный звук состоит из отдельных гармоник равноудалённых по частоте. Хотя, в действительности никто и ничто музыкальный звук не собирает из отдельных гармоник. Просто сам музыкальный звук ни на слух, ни по форме звукового сигнала не отличим от соответствующей модельной сборки его из отдельных гармоник.

Описанное свойство рядов Фурье хорошо иллюстрирует их научную и практическую ценность. В этом плане ряды Фурье так же ценны, как и ряды Тейлора.

Но как быть с неадекватностью описания с помощью рядов Фурье того же самого сегмента речевого сигнала, соответствующего звуку «с». Да и не только этому. Как мы различаем короткие звуки, например, удары по барабанам разной величины и формы, стук падающего карандаша и монеты? Как мы различаем все глухие звуки речи, которые очень коротки и без всяких признаков периодичности?

Сделать это можно следующим образом.


Преобразование Фурье (интеграл Фурье)


Как мы уже видели, разложение в ряд Фурье далеко не всех реальных звуков оказываются адекватным. Как же быть? Выйти из этого положения можно так.

Пусть, как и раньше, анализируемый нами звук существует не дольше интервала . Посмотрим, что произойдёт, если интервал анализа этого звука увеличить в несколько раз.

Для начала увеличим интервал разложения сигнала в 2 раза. В этом случае число гармоник, на которые раскладывается тот же самый сигнал , увеличится в 2 раза. И для одного и того же сигнала мы вместо спектра на рис. 11.3 получим спектр на рис. 11.5.

Поясним. Сама функция осталась известной (заданной) только на интервале , который имеет ширину . Мы же расширяем временной интервал разложения в ряд Фурье в 2 раза, доопределяя сигнал нулями слева и справа. Раз интервал разложения в ряд Фурье становится таким - , то в этом случае частота первой гармоники ряда Фурье будет иметь частоту . Этим и отличаются графики на рис. 11.3 и 11.5.

Как теперь будет выглядеть график ряда Фурье - показано на рис. 11.6.

Надо признать, что порождённый таким образом ряд Фурье остаётся адекватным на интервале , но не дальше (вне этого интервала). Чтобы достичь полного совпадения нашего исходного сигнала с порождаемым рядом Фурье , можно раздвинуть интервал разложения до бесконечности, заполнив все внешнее пространство вокруг сигнала нулями. В этом случае достигается полная адекватность ряда Фурье. И звучать новый сигнал будет в точности так же, как и исходный сигнал .

Но такое расширение временного интервала разложения исходного сигнала на гармоники приводит к новой записи формул (11.31) и (11.32) для получения коэффициентов и :

, (11.37)

. (11.38)

При переходе к бесконечному интервалу интегрирования дискретный номер гармоники, как было ранее, перешёл просто в некоторую континуальную частоту.

И чтобы по этим коэффициентам получить функцию уравнение (11.30) надо переписать так:

. (11.39)

И, повторяя аналогичный переход, который мы делали в (11.33) и (11.34), можно получить следующее:



, (11.40)

где - это амплитудный спектр, (11.41)



- это фазовый спектр. (11.42)

Во всех этих уравнениях нет никаких следов комплексных чисел. Мы это подчёркиваем для того, чтобы показать, что получаемые амплитудный и фазовый спектры рассчитываются по абсолютно реальным данным. Но в математике, гонясь за краткостью формульных описаний, уравнения (11.37) и (11.38) обычно записывают более компактно в виде одной формулы:



. (11.43)

Получаемая функция называется комплексным спектром, реальная и мнимая части которой совпадают с функциями (11.37) и (11.38).

Аналогично переписав уравнение (11.39) в комплексной форме, мы получаем:

. (11.44)

Но поскольку функция равна нашему исходному звуковому сигналу , то в итоге нет смысла различать их. Поэтому обычно это уравнение записывается так:



. (11.45)

Вот и всё.

За уравнениями (11.43) и (11.45) закрепились свои названия. Первое называется – прямым преобразованием Фурье. А второе – обратным преобразованием Фурье.

Какой в этом смысл? А смысл для нашей информационно звуковой проблемы очень высокий. Фактически мы получаем математический аппарат перевода звукового сигнала из исходной весьма изменчивой физической волны в некоторое информационное пространство (частот), описание которого ведется в терминах «гармоники», у которых частоты всегда инвариантны, независимо от того, через какие реальны звукопередающие среды прошёл сигнал, а как бы он не отражался или частично поглощался разным поверхностями.



1 Для конкретных инженерных, астрономических или физических расчётов никогда не требуется знать значение той или иной функции с абсолютной точностью. Если в реальной задаче, например, говорится – требуется описать то или иное явление с точностью до N-того знака, то в расчётах ряды Тейлора рассчитываются с точностью до (N+1) знака, а потом итоговый результат округляется до N-того знака. Для того, чтобы знать – сколько членов ряда следует рассчитать, чтобы достичь заданной точности есть вспомогательные формулы предложенные после Тейлора математиками Коши и Лагранжем.

2 В принципе, вместо этого малопонятного для начинающих параметра фазы, можно было бы явно говорить о некотором начальном времени, относительно которого ведётся наблюдение за этим гармоническим сигналом. Тогда формула (11.23) приняла бы следующий вид: .

3 Подобное массовое увлечение каким-то новомодным термином периодически повторяется в разных странах. У нас, например, модными были термины «буржуазия», «кворум», «консенсус», «информация» и, совсем уж свежий пример, - «гламурный». (Последний термин даже не включён ещё в орфографический словарь редактора текстов Microsoft Word – 2003).





База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница