Лекции по алгебре учебное пособие



Дата03.05.2016
Размер0.52 Mb.
РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

Д.Н.Булгаков, Т.Е.Денисова, А.М.Попов, А.Н.Щурова


  • ОБЗОРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕ



  1. Учебное пособие



  1. Москва


2003

Пособие предназначено для студентов 4 курса бакалавриата по направлениям

«Математика. Прикладная математика», «Математика. Компьютерные науки», «Прикладная математика и информатика».

Подготовлено на кафедре математического анализа Российского университета дружбы народов.


Авторы выражают признательность Ассоциации друзей РУДН и Фонду поддержки факультета физико-математических и естественных наук, благодаря финансовой поддержке которых создано это пособие.

СОДЕРЖАНИЕ.

Лекция 1. Линейные пространства: базис и размерность ..…………………………. 3

Лекция 2. Ранг матрицы ……………………………………………………..…….….. 9

Лекция 3. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора … 13

Лекция 4. НФЖ матрицы линейного оператора …………………………………… 16

Лекция 5. Классы линейных операторов, действующих на унитарных и

Евклидовых пространствах ………………………………………………… 21

Лекция 6. Билинейные и квадратичные формы ……………………………………. 25

Лекция 7. Классификация эрмитовых и симметричных квадратичных форм

по знаку …………………………………………………………………….. 29

Лекция 8. Введение в теорию групп …………………………………………………. 32

  • ЛЕКЦИЯ 1. Линейные пространства: базис и размерность.



Определение 1. Линейное пространство над полем P – это алгебраическая система, состоящая из непустого множества L с двумя алгебраическими операциями:

Сложение: Умножение на элементы поля P:



Эти операции должны удовлетворять условиям:




  1. - абелева группа с нулем (нулевой вектор), т.е.:

  2. «+» - ассоциативно





  3. «+» – коммутативно.




  1. Условия на « »:

  2. где 1 – единица в P.

  3. (обобщение ассоциативности)

  4. (обобщение

  5. дистрибутивности)

Элементы линейного пространства L называются векторами.


Из 1 – 8 следуют обычные правила операций с векторами.
Примеры линейных пространств: , многочлены степени над P, многочлены любых степеней над P,

Линейная зависимость и независимость векторов.


Определение 2. называется линейной комбинацией.

Определение 3. Система векторов называется линейно независимой,

если из (0 –нуль в P).

Система называется линейно зависимой, если , не все равные нулю, такие, что

Лемма 1. Система линейно зависима хотя бы один из векторов этой системы равен линейной комбинации остальных векторов .
Доказательство очевидно (но надо знать!).
Лемма 2. Если каждый вектор системы линейно выражается (равен линейной комбинации) через систему , а каждый вектор системы линейно выражается через систему , то каждый вектор системы линейно выражается через систему .
Определение 4. Бесконечная система векторов линейно независима любая ее конечная подсистема линейно независима. Бесконечная система векторов линейно зависима в ней существует линейно зависимая подсистема.
Система образующих линейного пространства.
Определение 5. Подмножество M линейного пространства L называется системой образующих, если
Лемма 3. Если в системе образующих M линейно выражается через

, то также является системой образующих.
Доказательство. Любой линейно выражается через M, любой вектор из M линейно выражается через линейно выражается через

- система образующих векторов линейного пространства L.
Базис линейного пространства.
Определение 6. Базисом L называется любая линейно независимая система образующих L.

Определение 7. (Эквивалентное def) Базис L – любая max по линейно независимая система векторов в L.
Доказательство эквивалентности def 6-7.

Если А - базис по def 6, то для x = комбинация из А линейно зависима A – max по линейно независимая система в L.

Если А – базис по def 7, то - линейно зависимая система в ней существует конечная линейно зависимая подсистема (x – обязательно войдет в нее – иначе А будет линейно зависимой – противоречие) не все = 0 :

Заметим, что (иначе - линейно зависимы А – линейно зависима) - система образующих L и линейно независима


А – базис по def 6.
Теорема о существовании базиса. В любом линейном пространстве существует базис.
Доказательство основывается на лемме Цорна. (Этот вариант желателен, т.к. он входит в вопросы по функциональному анализу).
Лемма Цорна. Пусть частично упорядоченное множество удовлетворяет условию: если В - его произвольное линейно упорядоченное подмножество, то т.е. В ограничено сверху. Тогда любой элемент подчинен некоторому максимальному элементу (def max эл-та : если для некоторого , то ).
Пусть - множество всех линейно независимых систем векторов из L. - линейно независимая система Ш. Определим на А частичный порядок Покажем, что удовлетворяет условиям леммы Цорна.

Пусть и B – линейно упорядочено по Покажем, что



Действительно, определим Покажем, что т.е. A – линейно независимая система.

От противного: если А – линейно зависимая система, то такие, что



- линейно зависимая система. Но .

B – линейно упорядочено среди наибольшее по и, следовательно, по множество Получили, что линейно независимая система содержит линейно зависимую подсистему - противоречие.

Следовательно, и - выполнены условия леммы Цорна. По лемме Цорна в А существуют max по линейно независимые системы – базисы L.


Замечание. Одновременно доказано, что любая линейно независимая система содержится в некоторой max по линейно независимой системе - некотором базисе L.
Вместо этой теоремы можно доказывать:
Теорема. Из любой конечной системы образующих (если она существует) линейного пространства L можно выбрать базис L.

Доказательство. Последовательно исключаем из векторы, которые линейно выражаются через предыдущие:

Исключаем если , получим ; пусть ;

Исключаем , если линейно выражается через , получим

- система образующих по лемме 3;

Исключаем , если линейно выражается через и и т.д.

За m шагов получим систему образующих (лемма 3) Покажем, что она линейно независима, т.е. является базисом L. От противного: пусть линейно зависима не все = 0 : Пусть Тогда - линейно выражается через предыдущие векторы – противоречие с процессом построения Следовательно,

- линейно независимая система образующих - базис L.
Основные свойства базиса линейного пространства L.
1. Любой вектор равен линейной комбинации базисных векторов.

Следует из опр. 6: базис – линейно независимая система образующих.


2. По свойству 1 называются координатами x в этом базисе.

Координаты вектора в базисе определены однозначно.



Доказательство. Если то


Определение 8. Линейное пространство L называется конечномерным, если в нем конечный базис.
Теорема о равномощности базисов конечномерного линейного пространства.

Любые два базиса конечномерного пространства содержат одинаковое число векторов.


Доказательство. L – конечномерно базис

(1)

Пусть


(2)



  1. другой базис L (возможно бесконечный). Покажем, что число векторов в базисе (2) .

1-ый шаг.



(3)
- линейно зависимы не все = 0:



т.к. входит в базис (2). - иначе - линейно зависимы. Поэтому

линейно выражается через остальные векторы системы (3). Исключаем из (3), получим

(4)


  1. - система образующих (по лемме 3).

2-ой шаг.



(5)


  1. линейно зависимая система образующих, т.к. линейно выражается через систему образующих (4). - линейно независимы один из векторов линейно выражается через остальные векторы системы (5). Исключим его из (5), получим систему образующих


(6)
3-ий шаг.
Присоединим к (6) и т.д.
Если (2) содержит более n векторов, то за n шагов получим систему образующих
(7)
(7) линейно независима как подсистема базиса (2) (7) – базис L. Если - получим противоречие: должен линейно выражаться через базис (7) L, но система

как подсистема базиса не может быть линейно зависимой. Следовательно, (2) – конечная система и

Поменяем местами (1) и (2) и повторим доказательство. Получим


Доказанная теорема позволяет ввести

Определение 9. Для конечномерного L число векторов в любом базисе L.

полностью характеризует линейное пространство над P :
Теорема. Любые два линейных пространства над P одной размерности изоморфны между собой.

ЛЕКЦИЯ 2. Ранг матрицы.
Напоминание о линейной оболочке системы векторов

линейного пространства L над P.

по подпространство в L, которое содержит .

Доказывается, что - множество всевозможных линейных комбинаций из векторов - система образующих для



число линейно независимых векторов в системе

Базис - любая max по числу векторов линейно независимая подсистема в системе



- прямоугольная матрица с элементами из поля P.

-ая строка - пространство строк длины n над P.

- j –ый столбец - пространство столбцов высоты m над P.

- пространство строк матрицы А.

- пространство столбцов матрицы А.

Цель: доказать, что , или



max число линейно независимых строк в горизонтальный ранг А.

max число линейно независимых столбцов в вертикальный ранг А.

Инструмент для доказательства – элементарные преобразования (ЭП) со строками А.


Определение. Матрица получена из матрицы А одним ЭП строк, если:
ЭП1: при (перестановка строк s и t).

ЭП2: при

ЭП обратимы (внутри каждого типа).

Лемма об элементарных преобразованиях матрицы (можно без доказательства).

Если матрица получена из матрицы А конечным числом ЭП, то







Достаточно доказать 1. – 2. для случая , когда получена из А одним ЭП.





2. Рассмотрим систему уравнений ЭП приводит ее к эквивалентной системе, поэтому Отсюда любой max линейно независимой системе столбцов матрицы А соответствует max линейно независимая система столбцов матрицы с теми же номерами. Поэтому


Теорема о ранге матрицы. Для любой матрицы А max число линейно независимых строк = max число линейно независимых столбцов - ранг А.

Доказательство. Если А – нулевая матрица, то - теорема верна.

Пусть А – не нулевая. Тогда конечным числом ЭП (как в методе Гаусса) она приводится к ступенчатому виду









По лемме поэтому достаточно показать, что

Ненулевые строки линейно независимы

Столбцы с номерами i,k,l,,p,s линейно независимы, а любой другой столбец равен их линейной комбинации, коэффициенты которой однозначно определяются как решение системы линейных уравнений



произвольный столбец у которой матрица системы имеет треугольный вид.

Число этих базисных столбцов равно r, так как каждая ненулевая строка в начинается с ненулевого элемента, определяющего базисный столбец. Поэтому


Доказанная теорема позволяет дать
Определение. Ранг матрицы А - это max число ее линейно независимых строк или столбцов.
Следствие из теоремы. rgA = число ненулевых строк в ступенчатом виде матрицы А.

Теорема Кронекера Капелли. Система линейных уравнений совместна
Доказательство.

Если система совместна, то столбец В линейно выражается через столбцы

Пусть Тогда В линейно выражается через столбцы А (иначе rgA =

= rgA+1) - решение системы.
Теорема. rgA = наивысшему порядку миноров матрицы А, не равных 0.
Доказательство. Заметим, что ЭП могут только изменить знак минора матрицы А, но не меняют его свойство быть равным 0 или не быть равным 0.

Пусть rgA=r. В ступенчатом виде матрицы А минор r – го порядка, стоящий на пересечении первых r строк с базисными столбцами равен а все миноры порядка > r имеют нулевую строку и, следовательно, равны 0. Сделаем с помощью ЭП переход от к А. Из свойств миноров при ЭП следует, что max порядок миноров матрицы А, не равных 0, равен r=rgA.



Следствие. Для квадратной матрицы А порядка n detA = 0 строки (столбцы) матрицы А линейно зависимы

Доказательство.

rgA< n минор порядка n (detA) равен 0 detA =0.

ЛЕКЦИЯ 3. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
- линейное пространство над полем P

- линейный оператор (л.о.).
Определение 1. Вектор называется собственным вектором л.о. с собственным значением если
Нахождение собственных векторов и собственных значений л.о.
Пусть - некоторый базис , А – матрица л.о. в базисе e,

- столбец координат x в e. в координатах (в базисе е)

где Е – единичная матрица,

( )
- однородная система n линейных уравнений с n неизвестными и параметром

По определению 1 собственный вектор поэтому нужны ненулевые решения системы ( ). Система имеет ненулевые решения т.к., если то имеет единственное решение – нулевое.

Но - многочлен n – ой степени относительно (характеристический многочлен л.о. ), поэтому имеет ненулевое решение [x]

и т.е. - корень характеристического многочлена л.о. , принадлежащий полю P.

Пусть - корни принадлежащие P.

Подставим в ФСР при - множество линейно независимых собственных векторов л.о. с собственным значением

Подставим в последовательно и найдем как при все линейно независимые собственные векторы л.о. с собственными значениями



Замечание. Если P - алгебраически замкнутое поле, то все корни лежат в P и, следовательно, являются собственными значениями (для каждого корня собственный вектор). Поэтому над алгебраически замкнутым полем л.о. имеет хотя бы один собственный вектор. Если P не алгебраически замкнуто, то корни могут не лежать в P и в этом случае не имеет собственных векторов (пример: - поворот ).
Диагональный вид матрицы линейного оператора.
Когда в базис, в котором матрица л.о. диагональна?

Напоминание: матрица л.о. в базисе е :

- столбец координат в базисе e.

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие существования у л.о. диагональной матрицы).

Л.о. имеет в некотором базисе e матрицу диагонального вида базис e состоит из собственных векторов л.о. , а - собственные значения л.о.



Доказательство.

Пусть в базисе л.о. имеет диагональную матрицу

Тогда

= т.е. базис e состоит из собственных векторов л.о. с собственными значениями



Если базис состоит из собственных векторов л.о. с собственными значениями то матрица в e имеет вид

т.е. диагональна.
Следствие. У л.о диагональная матрица в базис, состоящий из собственных векторов л.о.

При каких условиях базис , состоящий из собственных векторов л.о. ?


Лемма. Собственные векторы л.о. , принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы.

Доказательство. Пусть - собственные векторы с различными собственными значениями при

Индукция по k.

При k = 1 - линейно независимая система, т.к.

Пусть линейно независимы. Покажем, что в этом предположении линейно независимы.

Пусть


  1. - подействуем

  2. т.к.

Умножим (1) на и вычтем из полученного равенства (2):

. Но - линейно независимы, поэтому Тогда из (1)

Следовательно, в (1) все коэффициенты равны 0

линейно независимы.
Теорема 2 (достаточное условие для существования у л.о. матрицы диагонального вида).

Если характеристический многочлен л.о. над P, имеет в поле P n различных корней (т.е. все его корни и различны), то в базис из собственных векторов , в котором матрица диагональна.



Доказательство. Действительно, в этом случае в линейно независимых (лемма!) собственных векторов , которые образуют базис из собственных векторов . По теореме 1 матрица в таком базисе диагональна.
Замечание. Условие достаточное, но не необходимое: тождественный оператор

имеет единственное собственное значение 1, но любой базис состоит из собственных векторов л.о.
ЛЕКЦИЯ 4. НФЖ матрицы линейного оператора.
- л.о., над P - алгебраически замкнутое поле.
Определение 1. называется корневым вектором высоты с собственным значением л.о. если но где

считается корневым вектором высоты 0, принадлежащим любому собственному значению л.о. Собственный вектор является корневым высоты 1.
Теорема 1. Множество всех корневых векторов с собственным значением является инвариантным подпространством в называется корневым подпространством с собственным значением
Теорема 2. где h – кратность корня в минимальном многочлене л.о.
Теорема 3. Ненулевые корневые векторы, принадлежащие различным собственным значениям л.о. линейно независимы.
Разложение в прямую сумму корневых подпространств.
Теорема 4. Пусть - все различные собственные числа (значения) л.о.

Тогда

(*)

- прямая сумма корневых ( инвариантных) подпространств, где


Следствие. Для л.о. существует разложение в прямую сумму л.о.:

где

При этом л.о. имеет единственное собственное значение

Таким образом исследование л.о. сводится к исследованию линейных операторов , каждый из которых имеет единственное собственное значение

Построение Ж-базиса для л.о. с единственным собственным значением.
Нужная техника: понятие линейной независимости над подпространством.
Определение 1. Пусть L - подпространство в над P. Система векторов называется независимой над L, если или при Обычная линейная независимость – это линейная независимость над
Определение 2. Базис над L - это линейно независимая система из которая при дополнении ее любым базисом L дает базис
Лемма. Любую линейно независимую над L систему можно дополнить до базиса над L.
Пусть л.о. над P - алгебраически замкнуто) имеет единственное собственное значение Тогда характеристический многочлен л.о. имеет вид - нулевой оператор

все векторы - корневые.

Минимальный многочлен л.о. делит

высота каждого вектора из

Для краткости записи определим л.о.

Из вида следует, что

Заметим, что:



  1. Инвариантные относительно и относительно подпространства совпадают:

L инвариантно относительно инвариантно относительно

Действительно,





  1. Собственные векторы имеют собственное значение 0 и являются собственными векторами с собственным значением и обратно.

Действительно, (единственность для )

Определим подпространства (i = 0,…,k)



- подпространство корневых векторов и высоты

При любом i - инвариантное относительно и подпространство.

Эти подпространства образуют цепь инвариантных подпространств:

почему?) (1)

(2)
Построим в Ж – базис (базис, в котором матрица имеет НФЖ).

Пусть - базис над Из (2) Покажем, что



- линейно независимы над Если не все = 0, такие, что

то

линейно зависимы над - противоречие.

Дополним линейно независимую над систему до базиса над



- базис над

Тогда


и линейно независимы над

дополним эту систему до базиса над и т.д.

За k-1 шаг получим следующие системы:
базис над

над

над

……………………………………………………….. ……………..



над

над
Теперь: (1) – базис - базис - базис


Перенумеруем базисные векторы снизу вверх, начиная с левого столбца:

………………………………………….






Найдем матрицу л.о. на инвариантном подпространстве




Поэтому в базисе подпространства матрица равна

- Ж – клетка порядка k.
В подпространствах, порожденных другими столбцами базиса - аналогично: матрица индуцированного л.о. будет клеткой Жордана с высотой, равной высоте столбца.

Т.к. = прямая сумма инвариантных подпространств, порожденных столбцами базиса т.к. все , матрица в базисе (Ж- базисе) есть прямая сумма Ж-клеток с собственными значениями .Число Ж-клеток = число линейно независимых собственных векторов (= число столбцов в (1) – (k)). Порядок Ж-клетки = высота соответствующего столбца. Максимальный порядок Ж-клетки = k =

= кратность множителя в минимальном многочлене .
Замечание. Очевидно, что Ж-базис не единственный.
Базис Жордана произвольного линейного оператора.
Пусть - л.о., над P – алгебраически замкнуто или содержит все корни характеристического многочлена

- характеристический многочлен при

- минимальный многочлен

Тогда существует


(1)

  1. разложение в прямую сумму корневых подпространств,





где .

имеет единственное собственное значение базис (базис Жордана), в котором матрица - распавшаяся (блочно-диагональная) и равна прямой сумме Ж – клеток с собственными значениями Число этих клеток = число линейно независимых собственных векторов ) с собственными значениями max

высота Ж – клетки = - кратность в min многочлене

Объединим базисы Из разложения (1) следует, что получим базис всего В базисе e, который называется Ж – базисом л.о. , матрица = прямая сумма Ж – клеток с собственными значениями т.е. имеет по def НФЖ.
Замечание. Ж – базис л.о. не единственный, НФЖ матрицы л.о. определена с точностью до перестановки ее Ж – клеток (следует из единственности разложения в сумму корневых подпространств, единственности min многочлена и единственности цепи (1) в предыдущем разделе).
(!) В ы в о д : для любого л.о. над P - алгебраически замкнуто или содержит все корни характеристического многочлена Ж – базис в котором матрица имеет НФЖ.

(!) Следствие. Любая квадратная матрица над алгебраически замкнутым полем или полем, содержащим все корни характеристического многочлена этой матрицы, эквивалентна матрице, имеющей НФЖ.



ЛЕКЦИЯ 5. Классы линейных операторов, действующих на унитарных и

евклидовых пространствах.
Пусть - л.о. на унитарном или евклидовом пространстве ,

- сопряженный к л.о., определяемый равенством

В ортонормированном базисе матрицы и связаны соотношением



Нормальные операторы и их свойства.
Определение 1. Л.о. на унитарном или евклидовом пространстве называется нормальным, если

В ортонормированном базисе это эквивалентно следующему свойству матрицы




Теорема 1. Если a - собственный вектор нормального л.о. с собственным значением p, то a - собственный вектор с собственным значением
Доказательство.




Теорема 2. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям нормального л.о. ортогональны:
Доказательство.


Теорема о каноническом виде матрицы нормального л.о. на унитарном пространстве. Пусть - нормальный л.о. на унитарном Тогда в

Ортонормированный базис из собственных векторов в котором матрица диагональна.


Доказательство.

  1. Пусть - собственный вектор (он существует, т.к. над С – алгебраически замкнуто), - ортогональное дополнение к инвариантному подпространству размерности 1. Покажем, что - инвариантно относительно

т.к.

Т.о., - прямая сумма инвариантных подпространств (сумма прямая, т.к. для любого подпространства

2. В собственный вектор индуцированного оператора над С алгебраически замкнуто),

Как на 1 – ом шаге показывается, что



- прямая сумма инвариантных относительно подпространств,

где - ортогональное дополнение к в пространстве

За n-1 шаг получим ортогональное разложение

где - собственный вектор с собственным значением при Из ортогональности разложения следует, что - ортогональный базис

из собственных векторов Перейдем от него к ортонормированному базису e:



Т.к. e – базис из собственных векторов, матрица в e диагональна и по ее главной диагонали стоят собственные значения
Теорема о каноническом виде матрицы нормального оператора на евклидовом пространстве.

Пусть - нормальный л.о. на евклидовом пространстве. Тогда в

ортонормированный базис, в котором матрица имеет вид

где k + 2l = n, k или l могут = 0,



- действительные корни характеристического многочлена
- модуль i – ой пары комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения
Унитарные и ортогональные операторы.
Определение 2. Л.о. на унитарном (евклидовом) пространстве называется унитарным (ортогональным), если сохраняет скалярное произведение:


Из определения 2

Поэтому унитарный (ортогональный) л.о. является нормальным !

Т.к. унитарный (ортогональный) л.о. сохраняет скалярное произведение, то он сохраняет длину вектора, угол между векторами, переводит ортонормированный базис в ортонормированный базис и т.д.

Матрица унитарного (ортогонального) линейного оператора в ортонормированном базисе удовлетворяет условию и называется унитарной (ортогональной) матрицей.


Лемма 1. Все корни характеристического многочлена унитарного (ортогонального) л.о. равны по модулю 1.
Доказательство для унитарного л.о. Пусть - корень характеристического многочлена унитарного л.о. Тогда собственный вектор a л.о. с собственным значением - унитарный


Теорема о каноническом виде матрицы унитарного л.о.

В ортонормированный базис из собственных векторов в котором матрица диагональна и диагональные элементы по модулю равны 1.

Следует из теоремы о каноническом виде матрицы нормального л.о. на унитарном пространстве и леммы 1.
Теорема о каноническом виде матрицы ортогонального л.о.

В ортонормированный базис, в котором матрица имеет вид



где


Следует из теоремы о каноническом виде матрицы нормального л.о. на евклидовом пространстве и леммы 1:


Самосопряженные (симметричные, эрмитовы) операторы.
Определение 3. Л.о. на унитарном или евклидовом пространстве называется самосопряженным, если

Из определения 3 ( ) следует, что самосопряженный л.о. является нормальным.





Лемма 2. Все корни характеристического многочлена самосопряженного л.о. – действительные числа.
Доказательство для самосопряженного л.о. на унитарном пространстве

Пусть - корень характеристического многочлена л.о. Тогда в - собственный вектор с собственным значением




Теорема о каноническом виде матрицы самосопряженного л.о. на унитарном или евклидовом пространстве.

Пусть - самосопряженный л.о. на унитарном или евклидовом пространстве Тогда в ортонормированный базис из собственных векторов в котором матрица диагональна и по диагонали – действительные собственные значения

Следует из теорем о канонических видах матрицы нормального л.о. на унитарном и евклидовом пространствах и леммы 2.




ЛЕКЦИЯ 6. Билинейные и квадратичные формы.
Определение 1. Билинейная форма F на линейном пространстве над С или R - это отображение

удовлетворяющее условиям:




  1. фиксированного

2. фиксированного




Как правило, билинейные и квадратичные формы рассматриваются на унитарном или евклидовом пространстве
Матрица билинейной формы.
Пусть базис




- матрица F в базисе

- вектор, сопряженный к y,

транспонирование.
Зависимость матрицы билинейной формы от выбора базиса.
Пусть - другой базис - матрица перехода от e к

Тогда


где - матрица перехода от e к
Определение 2. - ранг матрицы билинейной формы в каком-либо базисе
Корректность этого def: т.к. умножение на невырожденные матрицы не меняют
Определение 3. Пусть F - билинейная форма на Отображение или R, называется квадратичной формой, определяемой билинейной формой F.

В комплексном случае билинейная форма однозначно восстанавливается по своей квадратичной форме, в действительном случае это выполнено, когда квадратичная форма определена симметричной билинейной формой (т.е. когда ). (Доказательство не нужно)


Определение 4. , т.е. ранг квадратичной формы равен рангу ее билинейной формы.
В базисе - матрица билинейной формы F в e.

- матрица F в
Определение 5. Билинейные (квадратичные) формы f и g на называются эквивалентными, ~ g , если невырожденный л.о. такой, что

- для билинейных форм;

- для квадратичных форм.

Если - унитарный или ортогональный л.о., то f и g называются унитарно эквивалентными.


Отношение ~ разбивает множество квадратичных (билинейных) форм на непересекающиеся классы эквивалентности. Какой наиболее простой вид имеет представитель каждого класса? Этот вопрос решается для следующих типов форм.


Эрмитовы и симметричные билинейные и квадратичные формы.
Определение 6. Билинейная форма F называется эрмитовой (симметричной), если

над C

Квадратичная форма f называется эрмитовой (симметричной), если соответствующая ей билинейная форма F эрмитова (симметричная).


Пример эрмитовой (симметричная) билинейной формы – скалярное произведение на унитарном (евклидовом) пространстве
Свойства эрмитовых (симметричных) форм.


  1. Матрица эрмитовой (симметричной) формы в любом базисе – эрмитова (симметричная):




  1. Если в некотором базисе матрица A билинейной или квадратичной формы F или f является эрмитовой (симметричной), то F или f - эрмитова (симметричная).



Доказательство. Пусть Тогда

- эрмитова (симметричная).

  1. Билинейная форма - эрмитова т.е. соответствующая ей квадратичная форма принимает только действительные значения.


Доказательство.

Пусть F – эрмитова,



не надо (сложно).
Определение 7. Эрмитова (симметричная) билинейная форма F имеет в базисе

пространства диагональный или канонический вид, если

, где все

Эрмитова (симметричная) квадратичная форма f имеет в базисе a диагональный или канонический вид, если



для симметричной f), где все

То есть в каноническом виде этих типов форм их матрица диагональная и диагональные элементы – действительные числа.


Теорема. Пусть F и f - эрмитовы (симметричные) формы на унитарном (евклидовом) пространстве Тогда в ортонормированный базис, в котором F и f имеют диагональный вид.

Доказательство. Пусть A – матрица F и f в некотором ортонормированном базисе e. A – эрмитова (симм.) матрица унитарная (ортог.) матрица U такая, что

- диагональная, - собственные значения матрицы A, , т.к. A эрмитова (симм.).

Но по свойству унитарной (ортог.) матрицы U, так что



в ортонормированном базисе из векторов, сопряженных к собственным векторам матрицы A, F и f имеют диагональный вид (т.к. - матрица F и f в этом базисе).

Следствие. Эрмитова или симметричная форма унитарно эквивалентна форме, имеющей диагональный вид.

Пусть имеет собственное значение 0 кратности n-r. Тогда



и диагональный вид f записывается в виде

для эрмитовой f, для симметричной f.
ЛЕКЦИЯ 7. Классификация эрмитовых и симметричных квадратичных форм по

знаку.
Было доказано, что - эрмитова (симм.) квадратичная форма. Поэтому только эрмитовы и симметричные квадратичные формы можно классифицировать по знаку.
Определение 1. Квадратичная форма f на называется

  1. положительно определенной, если

  2. отрицательно определенной, если

  3. неотрицательной, если

  4. неположительной, если

  5. неопределенной, если

Для определения типа квадратичной формы перейдем от ее диагонального вида к нормальному виду.



- диагональный вид. Пусть в диагональном виде f После невырожденного преобразования

, (которое не является в общем случае унитарным или ортогональным, т.к. меняет длины векторов; для - соответствующее преобразование базиса), квадратичная форма f имеет нормальный вид:

- для эрмитовой формы;

- для симметричной формы.
Определение 2. - положительный индекс инерции f.

- отрицательный индекс инерции f.



- сигнатура f.
Закон инерции для эрмитовых и симметричных квадратичных форм.
Числа а также являются инвариантами квадратичной формы f, т.е. не зависят от базиса, в котором квадратичная форма имеет нормальный вид и, следовательно, от способа приведения к нормальному виду.

Доказательство. Инвариантность r доказана после def rg f.

Докажем от противного инвариантность Пусть два базиса



и , в которых f имеет разные нормальные виды:

в (1)

в (2)

и l < k.

Рассмотрим в подпространства





.
Следовательно,
Замечание. Эрмитова или симметричная квадратичная форма имеет 4 числовых инварианта: из которых любые 2 независимы, а остальные выражаются через них. Квадратичные формы f и g эквивалентны f и g имеют одинаковые инварианты (т.к. тогда и только тогда одну из них можно перевести невырожденным л.о. в другую через общий нормальный вид).
Если квадратичная форма f не эрмитова, то она принимает комплексные значения коэффициенты в ее диагональном виде комплексные нет числовой инвариант – ранг. Т.к. неэрмитова форма f принимает комплексные значения, для неэрмитовых квадратичных форм нет классификации по знаку.
Теорема. Эрмитова или симметричная квадратичная форма f на является:

1. положительно определенной

2. отрицательно определенной

3. неотрицательной

4. неположительной

5. неопределенной любое > 0.


Доказательство. Достаточно доказать 1,3,5, т.к. f - положительно определенная (неотрицательная) -f - отрицательно определенная (неположительная).

Пусть в базисе имеет нормальный вид






(5). Если то рассмотрим :

- неопределенная.

Обратно, если f - неопределенная, но (или ), то для - противоречие.

(3;1) f - неотрицательная

Если - положительно определенная.

Обратно, если f – положительно определенная, но r < n, то - противоречие.
Критерий Сильвестра. f – положительно определенная квадратичная форма

все главные миноры матрицы квадратичной формы f положительны.


Метод Лагранжа приведения симметричной квадратичной формы к диагональному

и нормальному видам – посмотреть по конспекту лекции или по учебному пособию Д.Н.Булгакова, А.М.Попова «Билинейные и квадратичные формы».



ЛЕКЦИЯ 8. Введение в теорию групп.
Определение 1. Группа - это алгебраическая система с одной бинарной

Операцией, удовлетворяющей условиям:



  1. - ассоциативность

  2. - «единица» группы




Определение 2. Пусть группа, H – непустое подмножество G.

называется подгруппой группы если является группой. Для этого необходимо и достаточно выполнение условий:



т.к. ассоциативность на H следует из ассоциативности


Условия 1-3 можно заменить одним условием:


Свойства подгрупп.

(можно без доказательств)


- группа, - ее подгруппа.

Доказательство.

1. Пусть Тогда Но

Т.о.,

Т.о., Следовательно,




  1. Обратно, если для некоторого то

Действительно,




Доказательство:





Доказательство.


Смежные классы группы по подгруппе.
Определение 3. Пусть - группа, - ее подгруппа. Левым смежным классом G по H называется множество где g - произвольный фиксированный элемент из G. Аналогично, - правый смежный класс.
В коммутативной группе правые и левые смежные классы совпадают.
Свойства левых смежных классов.

(для правых – аналогичные)




  1. Два левых смежных класса G по H или не пересекаются, или совпадают.

Доказательство. Пусть Тогда



  1. Любой элемент g группы G лежит в Поэтому вся группа G равна объединению непересекающихся левых смежных классов G по H.




  1. Любые два левых смежных класса G по H состоят из равного числа элементов, которое равно числу элементов в подгруппе H.

Доказательство. Для любого отображение -биекция.


  1. Число различных левых смежных классов G по H равно числу различных правых смежных классов G по H.

Доказательство. Отображение - биекция.

Ш Ш Ш. Поэтому при биекции

непересекающиеся левые смежные классы переходят в непересекающиеся правые смежные классы их число совпадает.


Определение 4. Число различных левых (или правых (по 4)) смежных классов G по H называется индексом (G : H) подгруппы H в G.
(G : e) = число элементов в группе G.

H = {e}

Теорема Лагранжа. Для любой конечной группы G и ее подгруппы H


Доказательство. Из свойства 3 число элементов в любом смежном классе равно объединение всех непересекающихся смежных классов G по H равно G, а количество таких смежных классов равно Поэтому
Определение 5. Подгруппа группы называется нормальной если

Левые и правые смежные классы по нормальной подгруппе совпадают.

В коммутативной группе любая подгруппа нормальна.
Доказывается, что (будет использовано в основной теореме о гомоморфизме групп).
Факторгруппа.
Пусть - группа, H – ее нормальная подгруппа. - множество смежных классов G по H. На определим операцию


Основа этого определения: при произведение в смежных классов снова является смежным классом:


Покажем, что определено корректно, т.е. не зависит от выбора представителей смежных классов x H и y H
.






Теперь

Покажем, что - группа









Следовательно, - группа, которая называется факторгруппой G по H.

Обозначение:


Из теоремы Лагранжа

Гомоморфизм групп.
Определение 4. Пусть - группы. Отображение

называется гомоморфизмом групп, если

Гомоморфизм f называется изоморфизмом, если f - биекция.

- обозначение изоморфных групп.
Общие свойства гомоморфизма групп (без док-ва).
1. Пусть - единицы групп G и

2.

3.Композиция гомоморфизмов групп (если она определена) является гомоморфизмом групп.
Определение 5. - образ f.

- ядро f.


  1. - подгруппа в

- подгруппа в
Основная теорема о гомоморфизме групп.

I. Пусть - гомоморфизм групп,

Тогда: 1.

2. т.е. образ гомоморфизма изоморфен факторгруппе по ядру.

II. Обратно,

если - группа и сюръективный гомоморфизм и




Доказательство.

  1. 1.

2. - сюръекция (для любого отображения f).

Определим отображение



Это определение основывается на том, что гомоморфизм f на любом смежном классе gH принимает одно и то же значение:

если

(Это пояснение можно не приводить).


Корректность определения отображения

поэтому



- гомоморфизм:



умножение в факторгруппе G/H)
- инъекция:




- сюръекция:


b) - c) - биекция

a) - c) - изоморфизм групп.


  1. Пусть Определим отображение

Очевидно, что - сюръекция



- гомоморфизм: (группы на факторгруппу )

Найдем Если



следовательно,



База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница