Дискретные лпп-системы: импульсные характеристики, частотные характеристики, передаточные функции. Цифровые фильтры: ких-фильтры и бих-фильтры. Программирование ких-фильтров в прямой форме и на основе процедуры бпф



Скачать 214.4 Kb.
Дата24.04.2016
Размер214.4 Kb.
Лабораторная работа 4
Тема: Дискретные ЛПП-системы: импульсные характеристики, частотные характеристики, передаточные функции. Цифровые фильтры: КИХ-фильтры и БИХ-фильтры. Программирование КИХ-фильтров в прямой форме и на основе процедуры БПФ. Структурные схемы реализации БИХ-фильтров. Проектирование БИХ-фильтров с заданными частотными свойствами на основе интерактивной процедуры подбора нулей и полюсов передаточной функции в Z-плоскости. Программирование БИХ-фильтров.


Теоретические предпосылки



Цель настоящей работы – ознакомление с основными схемами реализации цифровых фильтров (ЦФ). Цифровой фильтр - специализированное устройство либо процедура, преобразующие входные цифровые сигналы в выходные. Наиболее часто на практике используют т.н. линейные ЦФ, функционирующие в соответствии со схемой дискретной ЛПП-системы. Поэтому в значительной мере теория цифровой фильтрации основана на теории ЛПП-систем, основные положения которых мы ниже рассмотрим.

NB. Эти теоретические разделы необязательны. Их можно пропустить и сразу приступать к практической части лабораторной работы (последние две страницы).



1. ЛПП-системы (линейные системы с постоянными параметрами)



1.1 Понятие системы
Система – алгоритм (техническое устройство, математическая модель, функция и т.д.), переводящий множество входных сигналов в множество выходных сигналов. Мы далее будем говорить о системах с одним входом и одним выходом. Всякой системе можно сопоставить некоторый оператор A :
, где - входной и выходной сигналы.

NB !. Оператор A в общем случае воздействует сразу на весь сигнал, а не на его единственное значение в момент времени t.
1.2 Линейная система
Пусть для некоторой системы A :

, .

Система A называется линейной, если при подаче на ее вход линейной комбинации сигналов выходной сигнал будет представлять собой линейную комбинацию выходных сигналов , т.е. :



, при любых .
1.3 Система с постоянными параметрами
Пусть . Если при подаче на вход системы сдвинутого во времени входного сигнала на выходе будет просто сдвинутый выходной сигнал , то система называется инвариантной во времени, или системой с постоянными параметрами.
1.4 ЛПП-система
ЛПП-система - линейная система с постоянными параметрам.

ЛПП-системы – важный класс систем. Многие реальные системы (как естественные – природные, так и искусственные – созданные человеком) можно с тем или иным приближением считать ЛПП-системами. Это дает возможность при их описании использовать единый математический аппарат – теорию ЛПП-систем. Важнейшими понятиями этой теории являются понятия импульсной характеристики, частотной характеристики, передаточной (системной) функции. С этими важными понятиями вы уже должны быть знакомы из лекционного курса “Теории сигналов”, но там основное внимание было уделено непрерывным во времени сигналам. Далее мы кратко рассмотрим основные понятия теории дискретных ЛПП систем, поскольку именно она составляют базовую теоретическую основу применения методов цифровой обработки сигналов.

2. Дискретные ЛПП-системы

Дискретные системы преобразуют входные дискретные сигналы (последовательности) в выходные :



.

Условие линейности дискретных систем:



, при любых . (1)

Условие постоянства параметров системы во времени:



, при любой задержке . (2)
Все дальнейшее будет относиться к дискретным ЛПП-системам, т.е. системам, удовлетворяющим условиям (1), (2).
2.1 Сигнал “единичный импульс”
В теории дискретных ЛПП-систем важное место занимает сигнал “единичный импульс” (аналог дельта-функции для непрерывных сигналов) :

(3)

Любой дискретный сигнал может быть представлен в виде свертки его самого же с единичным импульсом (3) :



(4)

Это очевидное соотношение (аналог фильтрующего свойства дельта-функции), широко используется в теории дискретных ЛПП-систем.


2.2 Импульсная характеристика дискретной ЛПП-системы
Подадим на вход дискретной ЛПП-системы тестовый сигнал “единичный импульс” и получим его отклик.
, (5)

Этот отклик будет каким-то определенным для для данной ЛПП-системы, другим - для другой системы, третьим - для третьей и т.д. Иными словами, функция (5) определяет ЛПП-систему, поэтому ее называют импульсной характеристикой дискретной ЛПП-системы. Если известна импульсная характеристика, то при всяком известном входном сигнале возможно рассчитать выходной сигнал по формуле :



(6)

Соотношения типа (6) называют дискретными свертками. Т.е. можно сказать, что выход дискретной ЛПП-системы представляет собой дискретную свертку входного сигнала с импульсной характеристикой системы.

Многие дискретные ЛПП-системы, в частности реализуемые в виде цифровых устройств, должны удовлетворять следующим двум важным условиям.

I.Условие физической реализуемости


Выход зависит только от , т.е. не зависит от будущих значений входного сигнала. Это условие выполняется, если

(7)

В этом случае возможно переписать формулу (6) :



(8)

Т.е. каждый отсчет выходного сигнала определяется взвешенной суммой текущего и предыдущих отсчетов входного сигнала. Понятно, что при бесконечном суммировании возможно запросто получить бесконечные значения выходного сигнала. Этого желательно избежать, поэтому должны быть наложены дополнительные ограничения на импульсную характеристику - наверное она должна достаточно быстро убывать.



II.Условие устойчивости системы

Система устойчива, если из условия следует . Необходимым и достаточным условием устойчивости дискретной ЛПП-системы является следующее ограничение на импульсную характеристику :



, (9)

которое может быть выполнено при достаточно быстром убывании импульсной характеристикой при больших по модулю значениях индекса m.



2.2 Частотная характеристика дискретной ЛПП-системы
Итак, дискретная ЛПП-система однозначно определяется своей импульсной характеристикой , поскольку она дает возможность предсказать выход системы при любом входе согласно (6). А есть ли еще какая-нибудь подобная характеристика, которая к тому же более явно описывала бы свойства ЛПП-системы ? Да, есть. Это частотная характеристика ЛПП-системы .

Подадим на вход системы дискретизированную комплексную синусоиду частоты :



, (10)

Подставив (10) в (6), получим, что выходной сигнал может быть записан в виде:


(11)

где комплексный коэффициент есть преобразование Фурье (см. методические указания к лаб. работе 3) импульсной характеристики :



(12)
Иными словами, дискретная синусоида остается синусоидой той же частоты . Действие комплексного коэффициента приводит лишь к изменению амплитуды синусоиды в раз, и фазовой задержке на величину радиан.

Как вам уже известно из указаний к л/р 3, произвольный дискретный сигнал может быть представлен в виде преобразования Фурье



, (13)

фактически представляющего собой суперпозицию комплексных синусоид всех частотот из интервала . Здесь - частотный спектр сигнала (функция, определяющая амплитуды и фазы синусоид различных частот, составляющих в совокупности исходный дискретный сигнал ) :



(14)
Подадим сигнал в виде (13) на вход ЛПП-системы. Учитывая свойство линейности системы и соотношения (10)-(11), выходной сигнал можно представить в виде :

(15)

Отсюда следуют два вывода.



  1. Зная функцию на интервале частот , мы имеем возможность рассчитывать выход системы при любом известном входе. Следовательно, как и импульсная характеристика , функция тоже однозначно определяет дискретную ЛПП-систему.

  2. Функция определяет закон преобразования частотного спектра входного сигнала в частотный спектр сигнала на выходе дискретной ЛПП-системы:

(16)

Учитывая все это, функцию , определяемую соотношением (12), называют частотной характеристикой дискретной ЛПП-системы. В заключение, отметим, что имеется обратное к (12) соотношение :



(17)

Оно позволяет восстановить импульсную характеристику системы при известной частотной характеристике.


Свойства частотной характеристики следуют из свойств Фурье-спектров действительных дискретных сигналов, рассмотренных в Лаб.работе 3. Функция

  • комплекснозначная : , где функцию - называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), - фазово-частотной характеристикой (ФЧХ);

  • периодичная с периодом , поэтому рассматривается на интервале либо ;

  • обладает комплексно-сопряженной симметрией относительно частоты на интервале , либо относительно при рассмотрении интервала , поэтому часто ее симметричный модуль и антисимметричную фазу рассматривают на интервале .



2.3 Передаточная (системная) функция дискретной ЛПП-системы
Есть еще одна функция, которая наряду с и однозначно определяет дискретную ЛПП-систему. Это передаточная функция, представляющая собой Z-преобразование импульсной характеристики системы :

(18)

Применив Z-преобразование к уравнению (6), связывающему вход и выход ЛПП-системы в виде дискретной свертки, получим



(19)

Применив обратное Z-преобразование, получим сигнал на выходе системы



(20)

Таким образом, знание передаточной функции также предоставляет возможность рассчитывать выход ЛПП-системы при известном входе .



NB. в полном смысле комплексная функция, заданная в комплексной Z-плоскости, и принимающая в каждой ее точке комплексные значения. Она наиболее сложна для восприятия, но именно она наиболее эффективна при описании различных дискретных ЛПП-систем, прежде всего систем, задаваемых с помощью линейных разностных уравнений.
Немного о линейных разностных уравнениях (ЛРУ)
ЛРУ M-го порядка определяется рекурсивной формулой вида :
(21)
ЛРУ представляют собой подмножество класса дискретных ЛПП-систем (12). Важность ЛРУ определяется тем , что они дают способы практической реализации ЛПП-систем. Действительно, в общем случае реализовать вычисления согласно (12) не представляется возможным, поскольку для хранения бесконечной импульсной характеристики потребуется бесконечно большая память, а для расчетов потребуется бесконечно большое время. Но вот если найти для (12) эквивалентное представление в виде (21), то проблемы решаются при наличии конечного числа сумматоров, умножителей и элементов задержки.

Можно отметить еще один «источник» ЛРУ. Это математические модели, с помощью которых пытаются экономно описать те или иные явления и процессы. В частности, при исследовании случайных процессов очень широко применяются т.н. модели авторегрессии-скользящего среднего (АРСС) (см. Лаб. работу 1). По форме записи АРСС-модель полностью совпадает с записью ЛРУ (21): при этом входной процесс типа «белый шум», выходной стационарный случайный процесс, свойства которого определяются порядком модели и конкретными значениями коэффициентов модели .

С математической точки зрения ЛРУ М-го порядка представляет собой дискретный аналог дифференциального уравнения М-го порядка с постоянными коэффициентами для непрерывных функций. Как и в случае дифференциальных уравнений, необходимо задать начальные условия (в нашем случае в виде 2М начальных значений входного и выходного сигнала). После этого, можно получить аналитическое решение ЛРУ, определяющее правило расчета отсчетов выходного сигнала в любой момент n при известном входном сигнале . Существуют различные методы решения ЛРУ, но наиболее эффективным считается метод Z-преобразования. Применив Z-преобразование к обеим частям ЛРУ (21), можно получить :

(22)

Далее к (22) применяется обратное Z-преобразование и получается искомое решение :



(23)

Техника расчета интегралов вида (23) стандартна, хоть и достаточно трудоемка.

Отметим, что коэффициент в виде отношения полиномов по степеням при в формуле (22) есть не что иное, как передаточная функция системы:
(24)

Применив к (24) обратное Z-преобразование, получим импульсную характеристику, которая в общем случае будет иметь бесконечную длительность :


, (25)


3. Цифровые фильтры: КИХ-фильтры и БИХ-фильтры



Цифровой фильтр - специализированное устройство либо процедура, преобразующие входные цифровые сигналы в выходные. ЦФ разделяют на линейные и нелинейные. Линейные ЦФ – те, которые реализуется согласно схемам ЛПП-системы (12,21), нелинейные ЦФ – фильтры, реализация которых отличается от схемы ЛПП-системы. На практике наиболее часто используют линейные ЦФ.

Важный вопрос: является ли линейный цифровой фильтр ЛПП-системой ? Нет, в строгом смысле не является. Цифровые устройства оперируют не с дискретными сигналами, значения которых представляются с бесконечной точностью, а с цифровыми, значения которых в памяти представляются с точностью до некоторого конечного шага квантования. Величина шага квантования зависит от разрядности представления данных в памяти. Это приводит к тому, что из-за ошибок округления при выполнении операций умножения и суммирования невозможно обеспечить строгое выполнение условия линейности (1). Эти отклонения от линейности тем меньше, чем больше точность представления цифровых данных (чем больше разрядность кодирования). Тем не менее при описании линейных цифровых фильтров оперируют основными понятиями, введенными для дискретных ЛПП-систем: импульсной характеристикой, частотной характеристикой и передаточной функцией.. Но затем на определенном этапе исследуют, каким образом эти характеристики искажаются за счет ограниченной разрядности представления данных. Эти проблемы касаются прежде всего специализированных цифровых устройств, где для обеспечения особо высокого быстродействия оперируют с данными малой разрядности (8, 12, 16 двоичных разрядов на отсчет). В случае программной реализации цифровых фильтров на обычных компьютерах, особенно при использовании вещественного типа данных (32 или 64 двоичных разряда на отсчет) линейный ЦФ практически можно считать идеальной ЛПП-системой.

Хотя формально для описания ЦФ возможно использовать три характеристики - , требования к ЦФ чаще всего формулируются на языке частотных характеристик: спроектировать цифровой фильтр вот с такой-то частотной характеристикой . Наиболее часто на практике требуется проектировать частотно-избирательные цифровые фильтры, т.е. фильтры, полностью пропускающие гармонические компоненты входного сигнала для одних диапазонов частот и полностью задерживающие для других диапазонов частот. (NB. Исторически сам термин - фильтр – стал применяться в теории сигналов благодаря вышеописанному свойству что-то пропускать а что-то задерживать – «фильтровать»). Имеется также достаточно большой класс задач т.н. оптимальной цифровой фильтрации, когда наблюдаемый физический сигнал представляет собой отклик некоторого истинного сигнала, «испорченного» системами наблюдения, оцифровки и т.д., а необходимо на выходе ЦФ восстановить по возможности точно именно этот истинный сигнал. В этом случае на определенном этапе также становится известной оптимальная частотная характеристика «восстанавливающего» фильтра.

Вопросы проектирования частотно-избирательных и оптимальных фильтров более подробно мы рассмотрим в следующих лабораторных работах. Здесь же нас пока будут интересовать вопросы реализации цифровых фильтров, т.е. программирования алгоритмов, позволяющих преобразовывать входные последовательности в выходные в соответствии со схемой ЛПП-системы.

Существуют две базовых схемы реализации линейных цифровых фильтров – КИХ-фильтры и БИХ-фильтры.


КИХ –фильтры (фильтры с Конечной Импульсной Характеристикой)

Они основаны на использовании формулы (8), определяющей выход физически реализуемой устойчивой дискретной ЛПП-системы в виде свертки входного сигнала с импульсной характеристикой системы. Если требования к частотным свойствам проектируемого фильтра сформулированы, то возможно согласно (17) обратным преобразованием Фурье от восстановить импульсную характеристику . Однако, она скорее всего окажется бесконечной длительности, т.е. ненулевой при . При этом прямое использование (8) для реализации фильтра невозможно из-за бесконечно больших требований к размеру памяти и быстродействию. Однако известно, что для физически реализуемой системы (см. условие (9) ) по мере увеличения соответствующие отсчеты импульсной характеристики будут все более и более стремиться к нулю. Поэтому можно выбрать некоторое достаточно большое значение M, и положить при . Естественно частотная характеристика системы с усеченной импульсной характеристикой (см. (12) ) уже будет несколько отличаться от требуемой , но это отличие тем меньше, чем больше М. Кроме того есть ряд приемов, позволяющих уменьшить эти отличия при фиксированном M. Далее, для того, чтобы обеспечить требование физической реализуемости (7), усеченную импульсную характеристику следует сдвинуть на M отсчетов вправо.


(26)

Для нас важно, что это уже конечная импульсная характеристика (ее длина ) и становится возможным организовать вычисления по схеме физически реализуемой ЛПП-системы:


(27)

Это и есть схема КИХ-фильтрации, т.е. фильтрации с Конечной Импульсной Характеристикой.

При реализации КИХ-фильтра вида (27) в виде специализированного цифрового устройства требуется : К – умножителей, (K-1) сумматоров, (К-1) элементов задержки (обычно организуется на основе буфера оперативной памяти устройства), память для хранения K отсчетов импульсной характеристики. Имеются определенные нюансы в организации вычислений (27), связанные с проблемой минимизации ошибок округления, особенностями организации буфера памяти и т.д. Мы эти особенности рассматривать не будем, поскольку предполагаем реализовать ЦФ на обычных компьютерах, где нет этих проблем. Очевидно, вам не составит сложности реализовать соответствующую процедуру КИХ-фильтрации на любом языке программирования, например, для языка C
void FIR_filtering(h,K,x,n,y) (28)
где входные параметры:

h(k) – массив с k значениями импульсной характеристики реализуемого КИХ-фильтра (NB. В английском варианте КИХ есть FIR – Finite Impulse Response);

x(n) - массив с n значениями входного цифрового сигнала;

выходные параметры :

y(n) - массив с n значениями выходного сигнала, рассчитанными согласно (27).

Реализация КИХ-фильтров на основе процедуры БПФ

Вычисления в соответствии с (27) для одного отсчета выходного сигнала фильтра требуют K операций умножения и сложения. Если К достаточно велико и сравнимо с длиной входной реализации N, то для расчета всего массива выходных отсчетов может потребоваться очень большое время (пропорциональное K х N ).

В этом случае может оказаться целесообразным использование метода, основанного на применении процедуры быстрого преобразования Фурье – БПФ (см. Лаб.раб.3). на практике применяются две версии этого метода - более быстрая , но не вполне корректная, основанная на т.н. циклических свертках, и менее – быстрая, но точная, основанная на линейных апериодических свертках.
Циклические свертки.
Выражение (27), вообще говоря, есть линейная апериодическая свертка двух конечных дискретных последовательностей и . Из последних них можно сформировать две циклически повторяющиеся последовательности c периодом N (мы полагаем, что K и . При этом импульсная характеристика должна быть на одном периоде просто дополнена нулями до N. Циклическая свертка этих периодических последовательностей есть периодический с периодом N) сигнал вида:

(29)
Этот периодический сигнал на интервале принимает значения, близкие к интересующим нас значениям на выходе КИХ-фильтра (27). Эта близость тем больше, чем быстрее убывает импульсная характеристика с ростом n. Циклической свертке (29) в частотной области соответствует произведение ДПФ :

(30)

Учитывая это, вместо прямого вычисления циклической свертки (29) возможно применить следующий алгоритм на оcнове ДПФ:


Шаг 1. Вычисление ДПФ сигналов и . (см. Л/р 3).

Шаг 2. Расчет ДПФ выходного сигнала

Шаг 3. Расчет выходного сигнала , с помощью обратного ДПФ

Этот алгоритм может дать вычислительные преимущества по сравнению с (27) при использовании процедуры БПФ. Как известно, для использования БПФ вместо ДПФ цифровые последовательности должны быть дополнены нулями до ближайшей степени двойки. Как правило, применение описанного метода целесообразно при .


Линейные (апериодические) свертки.конечных последовательностей
Рассмотрим две конечные последовательности и с длиной и отсчетов соответственно. Линейной сверткой этих последовательностей называют последовательность , определяемую соотношением :
(31)

где и равны нулю вне соответствующих интервалов.

Последовательность является конечной и имеет длину отсчетов. При этом на начальных отсчетах она в точности совпадает с последовательностью на выходе цифрового КИХ фильтра (27) (здесь =K). Для расчета линейной свертки также может использоваться алгоритм на основе ДПФ-БПФ :
Шаг 1. Дополнение сигналов и нулями до ближайшей к степени двойки .

Шаг 2. Вычисление БПФ расширенных сигналов и .

Шаг 3. Расчет БПФ выходного сигнала

Шаг 4. Расчет выходного сигнала с помощью обратного БПФ

Шаг 5. Оставляем первые отсчетов в качестве выходной последовательности реализованного КИХ-фильтра.
Этот алгоритм требует больше затрат чем ранее описанный, но он более точный, и при достаточно длинных входных последовательностях он также дает вычислительные преимущества по сравнению с прямой сверткой (27).


БИХ –фильтры (фильтры с Бесконечной Импульсной Характеристикой)

Зная требуемую частотную характеристику проектируемого фильтра , возможно построить соответствующий ей устойчивый физически реализуемый цифровой фильтр на основе линейного разностного уравнения :


(32)


Вычисления согласно (32), очевидно, можно реализовать и в специализированных цифровых устройствах и в виде программных процедур на универсальных компьютерах. Как мы знаем (см. (21)-(25) ) ЛПП-системе на основе разностного уравнения соответствует в общем случае импульсная характеристика бесконечной длительности. Поэтому ЦФ на основе (32) называют БИХ-фильтрами – фильтрами с Бесконечной Импульсной Характеристикой. В английской транскрипции – IIR (Infinite Impulse Response). Отметим, что, как правило, спроектированный БИХ фильтр тоже является лишь некоторой аппроксимацией системы с требуемой частотной характеристикой, тем более точной, чем больше порядок фильтра (N,M). В целом при использовании БИХ-фильтров оказывается возможным при меньших вычислительных затратах по сравнению с КИХ-фильтрами построить цифровую систему, с заданным качеством воспроизводящую требуемые частотные свойства. Вместе с тем, есть и определенные недостатки по сравнению с КИХ-фильтрами, а в целом КИХ и БИХ фильтры используются в практических исследованиях примерно в равных соотношениях.
4. Проектирование БИХ-фильтров с заданными частотными свойствами на основе подбора нулей и полюсов передаточной функции
В полном объеме задача проектирования БИХ-фильтров с заданной частотной характеристикой представляет собой весьма большой раздел теории цифровой фильтрации, и некоторые его классичекие аспекты мы затронем в последующих л/р. Здесь же представляется целесообразным только прояснить некоторые основные идеи подходов к проектированию БИХ-фильтров.

Как известно, передаточная функция ЦФ на основе ЛРУ (32) определяется выражением :



(33)

и представляет собой отношение полиномов по степеням . (NB. Выражение в теории цифровой фильтрации имеет фундаментальное значение, оно интерпретируется как оператор задержки цифрового сигнала на один отсчет. Тогда его различные степени являются операторами задержки на соответствующее число отсчетов).

Помимо (33) возможны другие формы записи передаточной функции. В частности возможно представление в виде :

, (34)

где множитель , а и - нули полиномов соответственно в числителе и знаменателе передаточной функции (33). Параметры называю нулями передаточной функции, а - полюсами. Для того чтобы геометрически представить передаточную функцию достаточно нанести все ее нули (ноликами) и полюса (крестиками) на комплексную z-плоскость. Отметим, что полином N-й степени с действительными коэффициентами имеет ровно N корней (нулей). При этом может оказаться некоторое число действительных корней и некоторое число пар комплексно-сопряженных корней (). Таким образом при графическом представлении нули и полюса отображаются либо на вещественной оси либо сопряженными парами сверху и снизу относительно вещественной оси ( рис. 1). Также на графике обычно отображают единичную окружность , поскольку частотная характеристика фильтра представляет собой результат расчета значений передаточной функции в точках единичной окружности. Полный проход по окружности соответствует рассмотрению интервала частот .




Рис. 1 Передаточная функция БИХ-фильтра порядка (2,3).
Рассмотрение графического представления передаточной функции полезно также в связи с проблемой обеспечения устойчивости БИХ-фильтра. Все полюса устойчивого фильтра должны располагаться внутри единичного круга. Нули могут располагаться как внутри так и вне единичного круга.

Управляя расположением нулей и полюсов в комплексной Z-плоскости, возможно целенаправленно формировать требуемый вид частотной характеристики. Для этого следует знать, что нули «подавляют» близкорасположенные значения частотной характеристики, а полюса «поощряют». Действительно, можно показать, что значение амплитудно-частотной характеристики фильтра на некоторой частоте (рис.1) может быть представлено в виде :



(35)

где , - расстояния соответственно от нулей и полюсов до соответствующей точки на единичной окружности.


Структурные схемы реализации БИХ-фильтров
По разному представляя передаточную функцию можно получать различные структурные схемы реализации. Так представлению (33) соответствует т.н. прямая форма 1, которая программируется непосредственно согласно схеме ЛРУ (32).

Прямая форма 2 основана на представлении вида :


(36)

и реализуется в виде последовательного соединения двух фильтров.

Представив (33) в виде произведения звеньев первого и второго порядка :

и ,

можно реализовать т.н. последовательную (каскадную) форму :


(37)

При этом БИХ-фильтр представляет собой последовательно соединенные фильтры первого и второго порядка. Сигнал с выхода одного фильтра поступает на вход следующего и так далее.

Передаточную функцию (33) также возможно разложить на простые дроби

(38)

где слагаемые соответствуют блокам или второго порядка


или первого .

Представлению (38) соответствует т.н. параллельная форма реализации фильтра, когда входной сигнал одновременно поступает на входы всех частных фильтров, а выходной сигнал формируется путем суммирования сигналов с выходов этих фильтров.

Возможны и другие (смешанные) формы реализации фильтров. Выбор той или иной формы реализации БИХ фильтра важен при построении специализированных цифровых устройств и зависит от разных причин. При реализации БИХ-фильтров на ЭВМ обычно используется прямая форма 1 (32).


Задания к работе




  1. Программирование и исследование КИХ-фильтров




  1. Написать процедуру КИХ-фильтрации, реализующую схему (27,28)

б) Написать процедуру КИХ-фильтрации на основе процедуры БПФ и циклической свертки;


в) Написать процедуру КИХ-фильтрации на основе процедуры БПФ и линейной свертки свертки;
Исследовать эти алгоритмы с помощью тестовой программы, работающей в соответствии со схемой:
Шаг. 1 Формирование конечной импульсной характеристики длины K : (возможны варианты: ввод из файла, выбор из набора предопределенных в самой программе характеристик, запрос ввода непосредственно пользователем );

Шаг 2. Расчет и отображение частотной характеристики с использованием процедуры БПФ (импульсную характеристику предварительно следует существенно дополнить нулями до некоторой большой степени двойки, например, до 256 или 512, а затем применить процедуру БПФ (см. л/р 3) );

Шаг 3. Выбор тестового сигнала из списка моделей (л/р 1) либо из файла данных (л/р 2), отображение самого сигнала и его амплитудного Фурье-спектра, рассчитанного с помощью БПФ.

Шаг 4. Выбор пользователем одного из трех реализованных в программе алгоритмов КИХ-фильтрации (а,б,в).

Шаг 5. Выполнение фильтрации. Отображение выходного сигнала и его Фурье-спектра.

Шаг 6. По требованию пользователя возврат на Шаг4, Шаг 3, Шаг 1 либо окончание работы.




  1. Программирование и исследование БИХ-фильтров




  1. Написать процедуру БИХ-фильтрации, реализующую вычисления согласно прямой форме 1 (32)

б) написать процедуру, реализующую описанную в руководстве методику проектирования БИХ-фильтров с заданными частотными свойствами на основе подбора нулей и полюсов передаточной функции в комплексной Z-плоскости (33,34,35). Процедура должна работать в соответствии со следующей схемой:


Шаг 1. Запрос числа полюсов и нулей на вещественной оси и числа пар комплексно-сопряженных нулей и полюсов. Уточнение их расположения в Z-плоскости. Для комплексно сопряженных пар достаточно указывать положение только верхних точек, желательно в полярной системе координат: (). Графическое отображение конфигурации нулей и полюсов передаточной функции, подобное рис.1.

Шаг 2. Расчет и отображения амплитудно-частотной характеристики фильтра в достаточно густой сетке частот в интервале . Использовать (34) либо (35).

Шаг 3. Возврат на Шаг 1, если желательный вид частотной характеристики не был достигнут.

Шаг 4. Расчет коэффициентов БИХ-фильтра на основе перехода от полиномиального представления (34) к представлению (33). (NB. Можете поискать и использовать стандартные библиотеки для работы полиномами, либо реализуйте этот переход самостоятельно)


в) написать процедуру, которая на основе заданных коэффициентов БИХ-фильтра , рассчитывает положения нулей и полюсов и отображает их подобно рис. 1.
г) Исследовать алгоритм БИХ-фильтрации с помощью тестовой программы, работающей в соответствии со схемой:
Шаг. 1 Задание коэффициентов БИХ-фильтра :

Случай 1 . Коэффициенты вводятся с клавиатуры. При этом для контроля устойчивости должна быть выведена соответствующая конфигурации нулей и полюсов (см. процедуру в)

Случай 2 . Используется процедура б) : задаются конфигурация нулей и полюсов, а затем рассчитываются коэффициенты фильтра

Шаг 2. Расчет и отображение частотной характеристики с использованием (33) Шаг 3. Выбор тестового сигнала из списка моделей (л/р 1) либо из файла данных (л/р 2), отображение самого сигнала и его амплитудного Фурье-спектра, рассчитанного с помощью БПФ.

Шаг 4. Выполнение фильтрации. Отображение выходного сигнала и его Фурье-спектра.

Шаг 5. По требованию пользователя возврат на Шаг 4, Шаг 3, Шаг 1 либо окончание работы.



3.) Подготовить отчет по работе в виде файла Word.

Литература




  1. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. - М.:Мир,1978. -848с.


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница