Базисность систем, связанных с нагруженными дифференциальными уравнениями



Скачать 27.86 Kb.
Дата03.05.2016
Размер27.86 Kb.
УДК 517.95

Базисность систем, связанных с нагруженными дифференциальными уравнениями

Иманбаев Н.С., Садыбеков М.А., ШИ МКТУ им. Х.А.Ясауи, г.Шымкент


В случае несамосопряженных обыкновенных дифференциальных операторов на базисность корневых функций помимо краевых условий влияют также значение коэффициентов дифференциального оператора. Причём, базисные свойства корневых функций изменяются при каком угодном малом изменений значение коэффициентов. Этот факт отмечен в работе В.А.Ильина [1]. Идея В.А.Ильина были развиты А.С.Макиным [2] на случай несамосопряжённого возмущения самосопряженной периодической задачи.

В настоящей заметке рассмотрим спектральную задачу следующего вида



Уравнения типа (1) относят к классу так называеммых нагруженных дифференциальных уравнений. Второе слагаемое в левой части равенства (1) содержит значение искомой функции в точке нуль. Вопросы базисности корневых функций нагруженных дифференциальных операторов были изучены в работах И.С.Ломова [3], [4]. Ему удалось распростронить метод спектральных разложений В.А.Ильина [1] на случай нагруженных дифференциальных операторов. Другим методом вопросы базисности функционально-дифференциальных уравнений были изучены в работе [5].

Решение уравнения (1) представимо в виде

Тогда


Переписывая (3) и (4) в векторно-матричной форме имеем



Отсюда заметим, что характеристический определитель задачи (1),(2) представляется в виде





Пусть окружность радиуса с центром в точке Заметим, что в правой полуплоскости вне окружностей Для уравнения



с применением теоремы Руше [6], находим, что все достаточно большие по абсолютной величине нули уравнения (5) расположены внутри окружностей и внутри каждой из этих окружностей функции и имеют равное число нулей. Итак, собственные значения задачи (1),(2) они являются двухкратными. В случае система собственных функций задачи (1),(2) является обычная тригонометрическая система, которая образует полную ортонормированную систему в В случае требуется исследование. Обозначим через множество функций таких, что система собственных и присоединенных функций задачи (1),(2) образует базис Рисса в Тогда имеет место следующая.



Теорема. Пусть и Тогда множества и всюду плотны в

Литература



  1. Ильин В.А. О связи между видам краевых условий и свойствами базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом разложений по корневым функциям несамосопряженного дифференциального оператора //Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30, №9 .С. 1516-1529.

  2. Макин А.С. О нелокальном возмущении периодической задачи на собственные значения // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42, №4 .С. 560-562.

  3. Ломов И.С. Свойство базисности корневых векторов нагруженных дифференциальных операторов второго порядка на интервале // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27, №1. С. 80-94.

  4. Ломов И.С. Теорема о безусловной базисности корневых векторов нагруженных дифференциальных операторов второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27, №9 .С. 1550-1563.

  5. Гомилко А.М. Радзиевский Г.В. Базисные свойства собственных функций регулярной краевой задачи для векторного функционально-дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27, №3. С. 385-395.

  6. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Часть 1. М. 1976. С. 320.


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница