Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в данном базисе



Скачать 66.77 Kb.
Дата03.05.2016
Размер66.77 Kb.

Базис и размерность линейного пространства.

Координаты вектора в данном базисе.

Система векторов линейного пространства называется максимальной линейно независимой системой в , если она линейно независима, а при добавлении к ней любого вектора из становится линейно зависимой. Линейное пространство называется конечномерным, если в нем можно найти хотя бы одну конечную максимальную линейно независимую систему векторов. Всякая максимальная линейно независимая система векторов конечномерного линейного пространства называется его базисом. Если линейное пространство над полем , то его нулевой вектор 0 сам составляет линейное пространство над полем . Это линейное пространство обозначается О и называется нулевым линейным пространством. Поскольку нулевое линейное пространство состоит из одного нулевого вектора, то в нем нет линейно независимых векторов, и нет максимальной линейно независимой системы векторов. Нулевое линейное пространство не имеет базиса. Для базисов линейного пространства имеют место следующие утверждения:

1. Все базисы состоят из одного и того же числа векторов.

Если число векторов в базисе линейного пространства L равно , то линейное пространство называется - мерным и обозначают Ln, а число называется размерностью линейного пространства. Нулевое линейное пространство не имеет базиса. Оно называется линейным пространством размерности 0.

2. Всякая система из линейно независимых векторов -мерного линейного пространства является его базисом, а любая система, содержащая вектор, линейно зависима, любая линейно независимая система состоит не более чем из векторов.

3. Всякая линейно независимая система векторов -мерного линейного пространства , , содержится в некотором базисе .

4. Всякую линейно независимую систему векторов -мерного линейного пространства , , можно дополнить до базиса .

5. Если базис линейного пространства , то любой вектор можно разложить по базису, т.е. представить в виде Это разложение для единственно. Коэффициенты называются координатами вектора в базисе .



Пример 1. Доказать, что многочлены cоставляют базис пространства Pn(x) Указать размерность этого пространства и координаты многочлена а01х+…+аnxn в этом базисе.

Решение. Система многочленов является линейно независимой, так как f0∙1+f1∙x+…+fn∙xn = 0 в том и только в том случае, когда f0 = f1 =…= fn= 0. Если к этой системе многочленов добавить любой многочлен вида из Pn(x), то получим линейно зависимую систему, так как многочлен является линейной комбинацией многочленов .

Действительно, Следовательно, система многочленов является базисом линейного пространства Pn(x), размерность его равна n+1. Координатами многочлена в этом базисе являются числа .



Пример 2. Доказать, что матрицы составляют базис линейного действительного пространства M2 матриц второго порядка Указать размерность пространства M2. Найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Согласно определению нужно доказать, что система векторов E1, E2, E3, E4 линейно независима и любая матрица из M2 является их линейной комбинацией. Система E1, E2, E3, E4 линейно независима. Так как произвольная матрица может быть представлена в виде: , то E1, E2, E3, E4 составляют базис пространства M2 и размерность его равна 4.

Координаты вектора есть 2, −3, 0, 4, т.к. .


Пример 3. Пусть е1,…,еn базис пространства L. Каждому вектору хL поставим в соответствие строку его координат хе в этом базисе Тогда справедливы следующие утверждения:

1) векторы тогда и только тогда линейно зависимы (независимы), когда их координатные строки линейно зависимы (независимы);

2) если вектор u линейно выражается через систему , т.е. , то это же верно для строк , причем и обратно;

3) ранг системы векторов равен рангу системы их строк .


Замечание 1. Приведённые утверждения в примере 3 можно сформулировать и для столбцов, т.е. если каждому вектору хL поставить в соответствие столбец его координат хе в этом базисе

Замечание 2. Понятие базиса системы векторов и ее ранга вводится аналогично. Если – некоторая система векторов из L, то всякая ее максимальная линейно независимая подсистема называется базисом этой системы. Оказывается, все базисы системы векторов содержат одно и то же число векторов. Число векторов, составляющих базис системы векторов, называется ее рангом.
Пример 4. Найти базис и ранг системы многочленов , , , , .

Решение. Согласно приведённым в предыдущей задаче утверждениям составим матрицу, строки которой являются координатными строками данных многочленов. Так как эта матрица имеет вид и ее миноры , , , то ранг этой матрицы равен 3. Следовательно, ранг системы координатных строк, а потому и ранг системы многочленов равен 3. Один из базисов составляют те многочлены, координатные строки которых вошли в минор М3, т.е. , , .
Пример 5. Показать, что в линейном -мерном пространстве критерием линейной независимости векторов служит отличие от нуля определителя, составленного из координатных строк этих векторов.

Решение. Пусть – векторы из , а – их координатные строки. Составим матрицу

.

Так как эта матрица квадратная и ее строки линейно независимы, то .

Проводя рассуждения в обратном порядке, мы приходим к следующему заключению: если определитель порядка , составленный из координатных строк векторов из , отличен от нуля, то система этих векторов линейно независима.
Пример 6. Доказать, что многочлены составляют базис пространства . Найти координаты вектора 3х2−х−3 в этом базисе.

Решение. Составим определитель из координатных строк этих векторов

Так как этот определитель отличен от нуля, то система векторов линейно независима. Так как пространство имеет размерность 3, то всякая линейно независимая система из трех векторов составляет базис. Поэтому – базис пространства Найдем координаты вектора в этом базисе: . Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного



Решая систему, получаем , , – координаты многочлена в базисе .


Задачи для самостоятельного решения (в аудитории).


  1. Доказать, что система векторов , ,…, является базисом пространства An.

  2. Доказать, что множество симметрических матриц третьего порядка с действительными элементами образует линейное действительное пространство. Найдите его размерность и базис.

  3. Доказать, что множество многочленов P4(x) образует линейное пространство. Найдите его размерность и базис.

  4. Доказать, что множество матриц вида , – действительные числа, образует линейное действительное пространство. Найти его размерность и базис.

  5. В пространстве A4 найти два различных базиса, имеющих общие векторы

  6. Доказать, что множество всех решений произвольной линейной системы однородных уравнений образует линейное пространство. Указать его базис и размерность.

  7. Проверить, что система многочленов составляет базис пространства . Найти координаты многочлена в этом базисе.

  8. Доказать, что система векторов является базисом пространства . Найти координаты вектора в этом базисе.

  9. Найти ранг системы векторов и записать все ее базисы.

  10. В системе векторов найти какой-нибудь базис. Через него линейно выразить все векторы системы.

  11. В каком случае система векторов обладает единственным базисом?

  12. Сколько базисов имеет система векторов ранга , содержащая пропорциональные векторы, отличные от нуля?

  13. Дана система векторов где Найти все базисы системы, содержащие вектор

  14. Доказать, что любую линейно независимую подсистему системы векторов можно дополнить до базиса этой системы.

  15. Доказать, что координаты вектора в базисе определяются однозначно.

  16. Доказать, что все базисы данной системы векторов содержат одинаковое число векторов.

  17. Данная система векторов имеет ранг Доказать, что любая ее линейно независимая подсистема из векторов образует базис этой системы.

  18. Найти все базисы системы векторов Разложить векторы системы по какому-либо ее базису.








База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница