Б. Б. Лампси статика сооружений учебное пособие



страница4/5
Дата22.04.2016
Размер1.36 Mb.
1   2   3   4   5
ГЛАВА 4. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК И РАМ МЕТОДОМ СИЛ
4.1. Свойства статически неопределимых систем
Напомним, что статически неопределимыми называются системы, у которых внутренние усилия нельзя найти, используя лишь уравнения равновесия (1.10). Если при этом указанные уравнения позволяют определить опорные реакции, система называется статически неопределимой внутренним образом.

Отличительной особенностью СНС является наличие дополнительных или лишних связей – внешних или внутренних, число которых для произвольной стержневой системы можно найти по формуле:


Л = СО + 2Ш – 3Д, (1.2¢)
где СО – число опорных связей,

Ш – число простых шарниров, соединяющих диски друг с другом,

Д – число дисков.

Число лишних связей фермы, как уже отмечалось в § 1.2.2., удобнее определять по формуле:

Л = СО + С – 2У, (1.4¢)
где СО – число опорных связей,

С – число стержней фермы,

У – число ее узлов.

Нетрудно убедиться, что для рам вместо формулы (1.2) удобнее использовать формулу:

Л = 3К – Ш , (4.1)
где Л – число лишних связей,

К – число замкнутых контуров, образованных стержнями рамы и поверхностью земли,

Ш – суммарное, в отличие от приведенных в формуле (1.2), число простых шарниров (включая опорные).

В самом деле, число лишних связей П-образной рамы, не содержащей шарниров и образующей один контур (рис. 4.1, а), можно найти по формуле (1.2):

Л = 6 + 0 – 31 = 3.
Введение в контур рамы простого шарнира уменьшает на единицу число связей системы, откуда и следует (4.1).

При определении числа шарниров по формуле (4.1) кратный шарнир, соединяющий n стержней, заменяют (n – 1) простым.




Рис.4.1
Подвижную опору рекомендуется изображать на схеме так, как показано на рис. 4.1, б, то есть считать ее эквивалентной двум простым шарнирам, включенным в контур. При этом для рассматриваемой схемы получим:
Л = 33 – 5 = 4.

Наличие лишних связей повышает стойкость системы к разрушению и позволяет проектировать более экономичные конструкции.


Переходя к перечислению свойств СНС можно отметить следующее:

1. Устранение ненулевых связей СНС не обязательно приводит к ее разрушению – в отличие от СОС, рассмотренных в §2.1. Например, при достаточном запасе прочности статически неопределимой фермы (рис. 4.2, а) удаление стержня нижнего пояса (рис. 4.2, б) вызовет перераспределение усилий в остальных стержнях, приведет к увеличению прогибов, но не будет иметь катастрофических последствий.



Рис.4.2
2. Опорные реакции и внутренние усилия в СНС возникают не только под действием силовых, но также вследствие кинематических и температурных воздействий.

3. В отличие от СОС опорные реакции и внутренние усилия в СНС зависят от физических свойств материала и геометрии поперечных сечений элементов системы.

Теория расчета СНС появилась в конце 19 – начале 20 столетия. Основными методами расчета таких систем являются метод сил (МС) и метод перемещений (МП).
4.2. Суть метода сил. Канонические уравнения МС
Основная идея метода сил очень проста и может быть рассмотрена на следующем примере.
Пример 4.1. Определить реакцию RB статически неопределимой балки от заданной нагрузки, полагая ее жесткость равной EJ (рис. 4.3, а).

Рис.4.3
Решение. В соответствии с принципом освобождаемости от связей отбросим опору B , заменив ее неизвестной реакцией RB (рис. 4.3, б).

В полученной системе, которая называется основной (ОС) и может рассматриваться как статически определимая, если считать RB известной, точка B может перемещаться – как от заданной нагрузки, так и от силы RB (рис. 4.3, в – г).

Перемещение точки B под действием силы Р найдем с помощью процедуры, рассмотренной в предыдущей главе: DВ = (Mp0 ´`MB0), где Mp0 – эпюра от заданной нагрузки в основной системе, а `MB0 – соответствующая эпюра от единичной силы, приложенной в точке B (рис. 4.3, д – е). Перемножая их по правилу Верещагина, получим:

DВ(P) = (1/EJ)(1/2)(l/2)(Pl/2)(5/6)l = 5Pl3/48EJ.


При определении перемещения DВ(RB) в качестве нагрузки выступает реакция RB. Поскольку соответствующая эпюра отличается от эпюры`MB0 только множителем (рис. 4.3, ж), это перемещение можно представить в виде:
DВ(RB) = (MRB0´`MB0) = ( RB) (`MB0´`MB0) = ( RB)BB ,

где BB  перемещение точки B от единичной силы, приложенной в этой точке:


BB = (`MB0´`MB0) = (1/EJ) (1/2) ll(2/3)l = l3/(3EJ).
Поскольку в заданной системе точка B закреплена и не может перемещаться в вертикальном направлении, потребуем, чтобы и в основной системе перемещение точки В от одновременного действия силы P и реакции RB или, что то же самое, алгебраическая сумма ее перемещений от каждого из этих воздействий равнялась нулю:

DВ(P,RB) = DВ(P) +DВ(RB) =5Pl3/48EJ + ( RB)(l3)/(3EJ) = 0,


откуда и получим искомую реакцию: RB = (5/16) P. 

В общем случае СНС имеет не одну, а n дополнительных связей, реакции которых выступают в качестве равноправных неизвестных МС и обозначаются X1, X2, …, Xn.

Например, статически неопределимая рама на рис. 4.4, а имеет 3 лишние связи, в качестве которых можно выбрать 2 линейных и 1 моментную связь, соответствующие жесткому защемлению в точке В.

Отбрасывая эту опору и заменяя ее действие реакциями X1, X2, X3, получим основную систему, показанную на рис. 4.4, б. Требование, чтобы она вела себя как заданная, означает, что


D1 (X1, X2, X3, P) = 0, ü

D2 (X1, X2, X3, P) = 0, ý (4.2)

D3 (X1, X2, X3, P) = 0, þ
где Di (X1, X2, X3, P) – перемещение точки приложения Xi в направлении Xi от всех перечисленных факторов: X1, X2, X3 и от заданной нагрузки. На основании принципа суперпозиции запишем последние уравнения в виде:
11 X1 + 12 X2 + 13 X3 + D1p0 = 0, ü

d21 X1 + d22 X2 + d23 X3 + D2p0 = 0, ý (4.3)

31 X1 + 32 X2 + 33 X3 + D3p0 = 0, þ

где ij – перемещение точки приложения Xi в направлении Xi от Xj = 1, а

Dip0– перемещение точки приложения Xi в направлении Xi от заданной нагрузки в основной системе.

Рис.4.4
Напомним, что для балок и рам эти перемещения определяются по формулам:

ij = (`Mi0 ´`Mj0) =  (Mi0Mj0 /EJ)ds, (4.4)

Dip0= (`Mi0 ´`Mp0)=  (Mi0Mp0 /EJ)ds, (4.5)
где `Mi0 и`Mp0 – эпюры от Xi = 1 и от заданной нагрузки в основной системе метода сил.

При этом, как в силу теоремы Максвелла – (3.10), так и непосредственно из выражения (4.4) следует, что удельные перемещения симметричны:


ij = ji .
Уравнения (4.3) называются каноническими уравнениями метода сил. Они справедливы не только для рам, но и для любых статически неопределимых стержневых систем. Каждое из уравнений этой системы имеет геометрический смысл – оно выражает отсутствие перемещения в основной системе в направлении отброшенной лишней связи. В качестве неизвестных выступают силы: X1, X2, X3, откуда – название метода.

Для n неизвестных систему канонических уравнений МС можно записать в следующем виде:


 dij Xj + Dip0= 0; (i = 1,2,…, n). (4.6)
Решив эту систему уравнений и определив неизвестные X1, X2, …, Xn, мы сведем дальнейший расчет СНС к расчету статически определимой основной системы, загруженной заданной нагрузкой и найденными реакциями дополнительных связей.

Рассмотрим еще один пример определения опорных реакций статически неопределимой рамы. Здесь и в дальнейшем изгибные жесткости элементов системы будем считать известными и равными EJ, если в условии не оговаривается иное.


Пример 4.2. Определить опорные реакции рамы (рис. 4.5, а), полагая жесткость EJ постоянной.

Решение.

1) Определяем число лишних связей системы: Л = 3К – Ш = 31 – 1 = 2 и выбираем основную систему, отбрасывая две линейные связи шарнира В и заменяя их неизвестными реакциями X1 и X2 (рис. 4.5, б).

Система канонических уравнений (4.4) для данной системы примет вид:
d11 X1 + d12 X2 + D1p0 = 0, (а)

d21 X1 + d22 X2 + D2p0 = 0.

2) Строим эпюры изгибающих моментов от единичных значений неизвестных и от заданной нагрузки в основной системе (рис. 4.5, в-д).

3) Вычисляем коэффициенты и свободные члены системы (а):


d11 = 8/3EJ;

d12 =  4/EJ;

d22 = 32/3EJ;

D1p0= 2/EJ;

D2p0 =  8/3EJ.
4) Решая систему уравнений (а):
(8/3)X1 – 4X2 =  2;

 4 X1 + (32/3) X2 = 8/3;


находим: X1 =  (12/14) кН; X2 =  (1/14) кН.

5) Определяем опорные реакции основной системы от одновременного действия распределенной нагрузки и найденных неизвестных:


MA = 0;  MA = 3/7кНм;

X = 0;  XA =  8/7кН;

Y = 0;  YA = 2/7кН.
Одновременно эти реакции вместе с найденными ранее X1 и X2 дают ответ на вопрос, чему равны опорные реакции заданной статически неопределимой рамы (рис. 4.5, е):

MA = 3/7кНм; XA =  8/7кН; YA = 2/7кН; XB =  6/7кН; YB =  1/14кН. 
Примечания:

1.Термин «основная система» применяют как в отношении системы, полученной из заданной устранением лишних связей и заменой их неизвестными реакциями, так и для системы, полученной формальным отбрасыванием этих связей.

2. Из формул (4.4) и (4.5) следует, что dij при i j и Dip0 могут быть меньше, больше или равными нулю. Коэффициенты dii, лежащие на главной диагонали матрицы системы (4.3), должны быть неотрицательными.

3. Строго говоря, основную систему можно называть статически определимой только после того, как найдены реакции дополнительных связей.

4. При расчете на силовые воздействия решение задачи зависит от соотношения жесткостей отдельных участков рамы, но не от конкретного значения EJ  это следует непосредственно из формулы (4.6).
4.3. Определение внутренних усилий
После решения системы канонических уравнений (4.6) и определения реакций лишних связей X1, X2, …, Xn, внутренние усилия можно найти как в любой статически определимой системе, загруженной заданной нагрузкой и найденными реакциями этих связей. Однако, учитывая, что в процессе решения задачи мы построили эпюры `M10, `M20,…, `Mn0 – от единичных значений неизвестных и эпюру Mp0 – от заданной нагрузки, удобнее воспользоваться принципом суперпозиции и вычислить эти внутренние усилия по формулам:
Mp = Mp0 + `Mi0Xi; ü

Qp = Qp0 + `Qi0Xi ; ý (4.7)

Np = Np0 + `Ni0Xi; þ
где Mp, Qp, Np – соответствующие эпюры в заданной СНС от заданной нагрузки; Mp0, Qp0, Np0– те же эпюры в ОС МС от заданной нагрузки; `Mi0, `Qi0, `Ni0 – эпюры тех же усилий в ОС МС от Xi = 1.


Рис.4.5
Поскольку при расчете рам учитываются только изгибные деформации, которым соответствуют изгибающие моменты, по формулам (4.7) определяют лишь первое из внутренних усилийMp. Эпюру Qp удобнее построить по эпюре Mp, используя дифференциальную зависимость Qp = dMp/dx, а эпюру Np – по эпюре Qp, рассматривая равновесие вырезанных узлов рамы.

Рассмотрим такую процедуру на примере фрагмента рамы, приведенного на рис. 4.6, а.

Пусть на вертикально расположенных участках k-i и j-l эпюра Mp линейна и знакопостоянна, а на горизонтальном участке i-j, загруженном равномерно распределенной нагрузкой,  представляет собой параболу.

Очевидно, что на последнем участке рамы эпюра Mp не отличается от эпюры моментов в простой двухопорной балке соответствующего пролета, загруженной равномерно распределенной нагрузкой и концевыми моментами (рис. 4.6, б) и ее в общем случае можно представить в виде суммы:



Mp (x) = Mp0 (x) + Mpк(x), (4.8)
где Mp0 (x) – эпюра от собственной нагрузки внутри пролета, а Mpк(x) – эпюра от концевых моментов, показанная пунктиром на рис. 4.6, в.

Рис.4.6
Дифференцируя (4.8), и рассматривая полученное выражение на концах участка, получим:
Qij = Qij0 + (M прM лев)/lij, (4.9)
где Qij и Qij0 – поперечные силы от заданной и от местной нагрузки в i-ом узле рамы на участке i-j (рис. 4.6, г-д), а М пр и М лев – значения моментов на концах соответствующей балки, взятые с учетом знаков из сопромата. Аналогично под Qji будем понимать поперечную силу в j-ом узле этого участка. Тогда в нашем примере М пр = – Mj, а М лев = – Mi, поэтому

Qij = ql/2 + (MiMj)/lij;

Qji = – ql/2 + (MiMj)/lij.
Применяя соответствующие обозначения для продольных сил, и рассматривая равновесие i-го узла рамы, получим (рис. 4.6, е):
SX = 0; _ Nij = – Qik;

SY = 0; _ Nik = – Qij.


Аналогичные уравнения, получаемые из условия равновесия рассматриваемого j-го узла рамы, или ригеля i-j в целом, можно использовать для проверки найденных результатов.

Вернемся теперь к рассмотрению рамы на рис. 4.5, а.


Пример 4.3. Построить эпюры внутренних усилий для заданной рамы (рис. 4.5, а).

Решение.

1) Находим изгибающие моменты по формуле (4.7):


Mp = Mp0 + `M10X1 + `M20X2,
воспользовавшись найденными ранее значениями X1 и X2 – см. пример 4.2.

На ригеле эта эпюра совпадает с эпюрой`M10X1 (рис. 4.5, ж), поскольку на этом участке эпюры Mp0 и`M20 равны нулю. Для построения Mp на стойке достаточно вычислить ее значения в 1-ом узле (рис. 4.5, и): M1 = 2 + (1/7) – (12/7) = 3/7кНм.

2) При построении эпюры на стойке будем, для определенности, считать первый узел – левым, а второй – правым. Тогда по формуле (4.9) получим:

Q12 = ql12/2 + (M прM лев)/l12 = (12)/2 + (–1/7) – (–3/7)/2 = 1 + 1/7 = 8/7;

Q21 =  ql12/2 + (M прM лев)/l12 =  1 + 1/7 =  6/7кН.

На ригеле местная нагрузка отсутствует, поэтому (рис. 4.5, к):


Q23 = Q32 = (1/7)/2 = 1/14кН.
3) Для построения эпюры Np достаточно рассмотреть равновесие 2-го узла рамы:

SX = 0; _ N23 = – Q21 = – 6/7 кН;

SY = 0; _ N21 = – Q23 = – 1/14 кН.
Для проверки правильности построения эпюр можно рассмотреть равновесие части рамы (рис. 4.5, м), расположенной выше сечения, проведенного вблизи опор A и B где известны значения всех трех эпюр:
SX = 2 – 6/7 – 8/7 = 0;

SY = 2/7 – 2/7 = 0;

SMA= 3/7 – 21 + (6/7)2 – (1/14) 2 = 0. 

4.4. Проверка правильности решения
При расчете статически неопределимых балок и рам эпюра Mp имеет решающее значение. Чтобы убедиться, что реакции лишних связей X1, X2, …, Xn найдены без ошибок и эпюра Mp построена правильно, выполняют кинематическую проверку.

На втором этапе расчета – при построении эпюр Qp и Np – выполняют статическую проверку правильности построения этих эпюр.



Кинематическая проверка. Для проверки эпюры Mp ее надо умножить на каждую из эпюр от единичных значений неизвестных –`Mi0. Результат должен быть равен нулю. Эта проверка имеет наглядный геометрический смысл и означает, что мы определяем перемещение Dip точки приложения Xi в направлении Xi от заданной нагрузки, которое как это следует из сути метода сил, должно равняться нулю. В самом деле, учитывая, что формулу (4.7), сменив индекс суммирования i на j, можно записать в виде
Mp = Mp0 + Sj`Mj0Xj, (4.7¢)
и принимая во внимание формулы (4.4) – (4.6), получим:

Dip = Sk(Mp`Mi0/EJ)ds = Skò( Mp0 + Sj`Mj0Xj) (`Mi0 /EJ) ds =

= Sk(Mp0`Mi0/EJ)ds + SjSkò (`Mi0`Mj0 /EJ)ds Xj =Dip0 +jdij Xj = 0.
Статическая проверка. Позволяет проверить правильность построения эпюр Qp и Np по эпюре Mp и принципиально не отличается от такой же проверки эпюр, построенных для СОС. При этом рассматривается равновесие части рамы, расположенной по одну сторону от сечения, проведенного через точки, где известны значения всех трех эпюр – Mp , Qp и Np. Соответствующая процедура для СНС уже была рассмотрена в примере 4.3.
Пример 4.4. Выполнить кинематическую проверку правильности построения эпюры Mp для рамы на рис. 4.5, а в примере 4.3.

Решение. Умножая эпюру Mp (рис. 4.5, и) на единичные эпюры`M10 и`M20 (рис. 4.5, в, г) по правилу Верещагина, получим:
D1p = (Mp ´`M10) = (1/EJ)(1/2)2(1/7)(1/3)2+(1/2)2(3/7)(2/8)1 –

– (2/3)21 = 0;

D2p = (Mp ´`M20) = (1/EJ) – (1/2) 2(1/7) 2 – (1/2) 2(3/7) 2 +

+ (2/3)2(1/2)2 – (1/2) 2(1/7)(2/3)2 = 0.


Таким образом, кинематическая проверка выполняется. 

Переходить к построению эпюр Qp и Np по эпюре Mp целесообразно лишь после того, как выполнена кинематическая проверка и есть уверенность, что эпюра Mp построена правильно.

Если ошибку найти не удается, можно попробовать решить задачу, выбрав другую основную систему.

Окончательно можно быть уверенным в правильности решения задачи лишь при одновременном выполнении кинематической и статической проверок. Отметим, что при этом возможны следующие варианты:

1) Кинематическая проверка выполняется, а статическая – нет. Скорее всего, это свидетельствует о правильности построения эпюры Mp и ошибке при построении эпюр Qp или Np.

Гораздо реже, но встречается ситуация, когда эпюра Mp соответствует не заданной, а какой-либо другой возможной нагрузке.

2) Кинематическая проверка не выполняется, а статическая – выполняется. Это возможно в случае, если правильно построены эпюры `Mi0 и Mp0, но неверно найдены реакции лишних связей Xi. Ошибка возможна при вычислении коэффициентов, свободных членов системы канонических уравнений, ее решении или при построении эпюры Mp по формуле (4.7).

В студенческих работах нельзя исключать и варианта, когда все эпюры построены правильно, а ошибка – в самой кинематической проверке.

3) Не выполняются как кинематическая, так и статическая проверки. Ошибка может быть допущена уже на стадии построения эпюр`Mi0 и Mp0 либо – при построении эпюры Mp по формуле (4.7). При этом в последнем случае реакции Xi могут быть найдены правильно.
Примечания:

1. В кинематической проверке речь идет о вычислении перемещения Dip в системе, полученной из заданной СНС удалением, по крайней мере, одной i-ой связи и заменой ее соответствующей реакцией Xi .

2. Эпюру `Mi0 для кинематической проверки можно взять в ОС, отличной от той, которая применялась при построении эпюры Mp.

В системах с одной лишней связью все эпюры`M10, независимо от выбора ОС, с точностью до множителя будут равны.

3. Очевидно, если для рамы с двумя лишними связями D1p = 0, а D2p  0, то, скорее всего, неправильно найдено значение X2, поэтому ошибку следует искать в вычислении D2p0 или d22.

4. Вместо того чтобы умножать эпюру Mp на каждую из единичных эпюр`Mi0 , ее можно умножить на их сумму`Ms0 = i`Mi0, однако в этом случае будет труднее локализовать ошибку, если окажется, что Dsp = (Mp ´`Ms0)  0.



4.5. О выборе ОС МС. Признаки ортогональности эпюр
Напомним, что ОС МС получается из заданной СНС удалением лишних связей и их заменой неизвестными реакциями. Выясним, насколько мы свободны в выборе ОС, и как оценить качество нашего выбора.

Отметим, прежде всего, следующие моменты:

1) ОС выбирается не единственным способом и более того, ее можно выбрать бесчисленным множеством способов. Например, для рамы на рис. 4.4, а в качестве ОС, помимо уже рассмотренной на рис. 4.4, б, могут быть выбраны системы, приведенные на рис. 4.4, в-д.

2) Главным и безусловным требованием, предъявляемым к ОС, является требование ее неподвижности, то есть в качестве ОС нельзя выбрать геометрически изменяемую систему (рис. 4.4, е) или мгновенно изменяемые системы (рис. 4.4, ж, з).

3) Надо стремиться к выбору рациональной основной системы, чтобы соответствующая ей система канонических уравнений:
d11 X1 + d12 X2 + d13 X3 + D1p0 = 0, ü

d21 X1 + d22 X2 + d23 X3 + D2p0 = 0, ý (4.3¢)

d31 X1 + d32 X2 + d33 X3 + D3p0 = 0, þ
имела как можно более простую структуру.

Для рамы на рис. 4.4, а такой будет ОС, приведенная на рис. 4.4, в. Нетрудно убедиться, что для нее d12 = d21 = 0, d23 = d32 = 0 и система трех линейных алгебраических уравнений (4.3) распадается на систему двух уравнений для определения X1 и X3 и одно независимое от них уравнение для определения X2:


d11 X1 + d13 X3 + D1p0 = 0,

d22 X2 + D2p0 = 0,

d31 X1 + d33 X3 + D3p0 = 0.
Чтобы выяснить, почему данная ОС оказалась удобнее остальных и почему для нее d12 = d23 = 0 , введем понятие ортогональности функций или ортогональности эпюр.

Термин «ортогональность» является обобщением понятия «перпендикулярность» и в отношении двух векторов a и b из трехмерного пространства означает, что скалярное произведение этих векторов равно нулю:

(a×b) = a b cos (a,b) = axbx + ayby + azbz == 0.

Аналогично ортогональность двух векторов a и b из n-мерного пространства означает равенство нулю суммы произведений их одноименных компонент:

(a×b) = = 0. (4.8)

Определение. Две функции f(x) и g(x) ортогональны на промежутке 0,l , если выполняется соотношение:
f(x) g(x) dx = 0. (4.9)

Классическим примером функций, ортогональных на промежутке 0, являются функции sin x и cos x .

Понятие ортогональности функций является естественным обобщением ортогональности векторов в n-мерном пространстве.

В самом деле, разбивая промежуток 0,l на n частей длиной x = l/n узловыми точками xi = i(x), где i = 0,1, … , (n – 1), и переходя в (4.9) к численному интегрированию, получим:


f(x) g(x) dx = f (xi) g (xi) x.

Полагая в (4.8) ai = f (xi), bi = g (xi) x и переходя к пределу при x  0, а n  , мы и придем к (4.9).

Наконец, подставляя в (4.9) f(x) = `Mi0 и g(x) = `Mj0/EJ или g(x) =`Mp0/EJ и обобщая на случай n участков рамы, мы получим условие ортогональности этих эпюр в виде:
dij = (`Mi0´`Mj0) = Sò (`Mi0×`Mj0 /EJ)ds = 0, (4.10)

ip0= (`Mi0´ Mp0)= Sò (`Mi0× Mp0/EJ)ds = 0. (4.11)


Из последних выражений можно получить признаки ортогональности эпюр:

1) Две эпюры с взаимно нулевыми участками ортогональны. Примером служат эпюры `M10 и`M20 на рис. 4.7, в, и 4.7, г, соответствующие выбранной на рис. 4.7, б основной системе, для которой d12 = 0.

2) Две эпюры ортогональны, если центр тяжести нелинейной эпюры лежит против нулевой точки линейной.

В качестве примера вернемся к раме на рис. 4.5, а  (рис. 4.8, а). Выберем вместо прежней ОС, показанной на рис. 4.5, б, новую ОС, в которой реакция X2

не перпендикулярна к X1, а направлена к ней под углом  = arctg (2/3) (рис. 4.8, б). На стойке рамы центр тяжести эпюры`M10 (рис. 4.8, в) расположен против точки, где ордината эпюры`M20 равна нулю (рис. 4.8, г), поэтому по правилу Верещагина на этом участке их произведение равно нулю. На ригеле наоборот – эпюре`M20 соответствует нулевой участок эпюры`M10, поэтому в целом для выбранной основной системы d12 = 0.



Рис.4.7


Рис.4.8
3) Симметричная и обратносимметричная эпюры ортогональны. Возвращаясь к раме на рис. 4.4, а  (рис. 4.9, а), видим, что для ОС, показанной на рис. 4.4, в  (рис. 4.9, б), эпюры`M10 и`M30 будут симметричны (рис. 4.9, в, д), а эпюра`M20 – обратно симметрична (рис. 4.9, г). При этом на левой половине рамы произведение эпюр`M10 и`M20 положительно, а на правой – отрицательно и равно по модулю предыдущему значению, откуда и следует, что d12 = 0. Аналогичное замечание касается d23 = d32 = 0.

Рис.4.9
Примечания:

1. Напомним, что обратносимметричная (в литературе также встречается термин кососимметричная) эпюра получается из симметричной, если сменить на противоположный знак для части эпюры расположенной по одну сторону от оси симметрии.

Очевидно, что понятия симметричная и обратносимметричная эпюры являются обобщением понятий четная и нечетная функции в математике. Для первых f (x) = f (–x), для вторых f (x) = – f (–x).

2. О симметричных и обратносимметричных эпюрах можно говорить лишь в отношении систем, обладающих свойством симметрии. При этом симметричными должны быть не только геометрические очертания, но и жесткости элементов конструкции.

3. Для системы с одной лишней связью вопрос о рациональном выборе основной системы, с учетом примечания 2 из предыдущего параграфа, целиком определяется видом эпюры Mp0.
4.6. Расчет симметричных систем
При расчете симметричных систем можно упростить структуру системы канонических уравнений за счет обращения в ноль как коэффициентов dij, так и свободных членов Dip0.

В первом случае соответствующий прием носит название группировки неизвестных, во втором – результат достигается с помощью разложения нагрузки на симметричную и обратносимметричную.



Группировка неизвестных применяется для рам, у которых реакции лишних связей представлены только симметричными неизвестными. Примером служит рама на рис. 4.10, а для выбранной на рис. 4.10, б основной системы, где в канонических уравнениях:
d11 X1 + d12 X2 + D1p0 = 0;

d21 X1 + d22 X2 + D2p0 = 0;


все коэффициенты отличны от нуля.

Чтобы упростить эту систему, перейдем от неизвестных X1 и X2 к новым неизвестным X1 и X2 по формулам:


X1¢ = (X1 + X2)/2; (4.12)

X2¢ = (X1 - X2)/2;
где обратное преобразование:
X1 = X1¢+ X2¢; (4.13)

X2 = X1 X2;

имеет наглядный смысл. При этом неизвестные X1 и X2 соответствуют новой основной системе (рис. 4.10, в), для которой эпюры`M10 и`M20 ортогональны (рис. 4.10, г, д), а d12 = 0, поэтому соответствующая система канонических уравнений распадается на два независимых уравнения:


d11 X1 + D1p0 = 0,

d22 X2 + D2p0 = 0.


Определив групповые или обобщенные неизвестные X1и X2, можно с помощью (4.13) вернуться к старым переменным X1 и X2.

Разложение нагрузки на симметричную и обратносимметричную рассмотрим на следующем примере (рис. 4.11, а), где в соответствии с принципом суперпозиции в такой форме представлена заданная нагрузка (рис. 4.11, б, в). Для выбранной основной системы (рис. 4.11, г) d12 = 0 и расчет от симметричной нагрузки приводит к системе канонических уравнений:
d11 X1(1) + D1p0(1) = 0, (4.14)

d22 X2(1) = 0.


При этом D2p0(1) = (`M20 ´ Mp0(1)) = 0 в силу ортогональности обратносимметричной эпюры `M20 и симметричной эпюры Mp0(1) от первого загружения (рис. 4.11, б). Поэтому решением (4.14) будет X1(1)  0, X2(1) = 0.

Расчет рамы от второго варианта загружения (рис. 4.11, в) приводит к системе канонических уравнений:


d11 X1(2) = 0; (4.15)

d22 X2(2) + D2p0(2) = 0,


так как в этом случае равен нулю свободный член D1p0(2) = (`M10 ´ Mp0(2)). Ее решением будет X1(2) = 0, X2(2)  0.

Рис.4.10
Искомые реакции от заданной первоначальной нагрузки равны сумме соответствующих реакций от каждого варианта загружения:

X1 = X1(1) + X1(2) = X1(1); (4.16)

X2 = X2(1) + X2(2) = X2(2).

Рис.4.11

Полученный результат можно сформулировать в виде следующей теоремы:



Теорема. В симметричных системах, загруженных симметричной нагрузкой, обратносимметричные неизвестные равны нулю и, наоборот – в симметричных системах, загруженных обратносимметричной нагрузкой равны нулю симметричные неизвестные.

Примечания:

1. Очевидно, что суть рассмотренных методов одинакова: в первом случае суммой симметричных и обратносиметричных сил представляют реакции, во втором – приложенную нагрузку.

2. Рассмотренные приемы расчета удобны для сравнительно простых систем с небольшим числом неизвестных, когда они имеют наглядную интерпретацию. Однако такая идея симметризации неизвестных может быть обобщена на решение произвольных систем алгебраических уравнений.

3. Пример рамы на рис. 4.10, б носит иллюстративный характер – в данном случае решение можно было упростить за счет выбора рациональной основной системы (рис. 4.10, е), для которой d12 = (`M10´`M20) = 0. Отметим, что основная система при этом остается несимметричной.


4.7. Расчет неразрезных балок
Неразрезной балкой называется статически неопределимая система, образованная из простой двухопорной балки введением дополнительных промежуточных опор. Эти опоры добавляют в целях уменьшения изгибающих моментов в пролете, и их число равняется степени статической неопределимости полученной системы (рис. 4.12, а).

В отличие от неразрезной балки разрезная или шарнирно-консольная балка является статически определимой системой, она образована из первой введением шарниров во всех пролетах кроме одного и расчет такой составной системы принципиально не отличается от расчета статически определимых рам рассмотренного во второй главе.

Для расчета неразрезных балок можно применить метод сил, выбрав в качестве основной систему, полученную из заданной системы устранением всех промежуточных опор (рис. 4.12, б). Однако такая система не является рациональной, поскольку для нее каждая из эпюр `Mi0 и эпюра Mp0 отличны от нуля на всей длине балки, а значит, ни один из коэффициентов dij и свободных членов Dip0 не равен нулю.

Гораздо эффективнее будет основная система, которая получается из заданной системы введением шарниров над каждой из промежуточных опор (рис. 4.12, в). Она представляет собой цепочку простых двухопорных балок, поэтому каждая из эпюр `Mi0 не выходит за пределы двух смежных пролетов (рис. 4.12, г-е). Аналогичное замечание можно сделать и в отношении эпюры Mp0, которая также будет иметь локальную структуру (рис. 4.12, ж).

Нетрудно заметить, что независимо от числа промежуточных опор уравнение для i-ой опоры неразрезной балки будет иметь вид:
d i1, i Xi1 + di,i Xi + d i+1, i X i+1+ D i p0 = 0. (4.17)

Это уравнение называется «уравнением трех моментов», поскольку в качестве неизвестных выступают изгибающие моменты над i-ой опорой неразрезной балки и еще над двумя опорами смежными с ней.



Рис.4.12
Примечание.

В качестве исходной балки для получения неразрезной помимо простой двухопорной балки можно взять балку с одним или двумя жесткозащемленными концами.



1   2   3   4   5


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница