Б. Б. Лампси статика сооружений учебное пособие



страница3/5
Дата22.04.2016
Размер1.36 Mb.
1   2   3   4   5
ГЛАВА 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В

СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ
Если для расчета на прочность достаточно знания внутренних усилий, то расчет на жесткость требует умения определять перемещения системы. Это необходимо и для расчета на прочность статически неопределимых систем.

Напомним, что в сопромате мы находили линейные v и угловые  перемещения балок с помощью интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки. Применить этот метод для определения перемещений в рамах практически невозможно: даже для простейшей П-образной рамы, показанной на рис. 2.6, это потребует решения трех дифференциальных уравнений – по одному для каждого участка рамы и последующей стыковки полученных решений с учетом условий сопряжения в ее узлах. С увеличением числа стержней у рамы трудности будут быстро нарастать.

К счастью, для решения большинства задач в механике есть два подхода: первый основан на решении дифференциального уравнения, а второй – часто более эффективный – связан с использованием понятий работа и энергия, к рассмотрению которых мы сейчас и приступаем.

3.1. Работа сил, приложенных к твердому телу
Рассмотрим точку M, которая перемещается по кривой АВ. Пусть P – сила, приложенная к точке, а ds – вектор элементарного перемещения, направленный по касательной к ее траектории (рис. 3.1).

Рис.3.1
Определение. Элементарной работой силы P называется скалярное произведение вектора силы и вектора элементарного перемещения:
dA(P) = (P ds) = Pcos ds, (3.1)
где  – угол между векторами P и ds.

Работа силы на конечном перемещении определяется как интеграл от элементарной работы силы:
A(P) = (Pds) = Pcos ds . (3.2)

Рассмотрим частные случаи применения этих формул.


Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении. Пусть вектор силы P остается постоянным по модулю и по направлению и приложен к телу, перемещающемуся поступательно на расстояние S (рис. 3.2).

Рис.3.2
В соответствии с формулой (3.2) работа силы будет равна:
A (P) =Pcos ds = PS cos . (3.3)
Очевидно, что:

 > 0, если 0  < /2;



A (P)  = 0, если  = /2;

 < 0, если /2 <   .


Отметим, что работа силы равна нулю, если сила перпендикулярна к перемещению точки ее приложения.
Работа силы при вращении тела. Рассмотрим тело, закрепленное на оси, перпендикулярной к плоскости чертежа и проходящей через центр О. Элементарная работа силы P, приложенной в точке А этого тела, при его повороте на угол d (рис. 3.3) будет равна:
dA(P) = Pcos ds = PcosOAd = M0 (P) d.
Если вместо силы P к вращающемуся телу приложить момент M, результат не изменится. В самом деле, этот момент можно заменить парой сил (P, P) с плечом h = OA cos, равных по модулю P = P= M/h, где сила P приложена в точке A, а P– в центре О. Итак, элементарная работа сил при вращении тела равна:
dA = M0 dj, (3.4)
где M0 – главный момент сил, приложенных к этому телу.

Рис.3.3
Примечания:

1. В самом общем случае можно рассмотреть движение в плоскости чертежа незакрепленного тела, загруженного произвольной системой сил. Приводя эти силы к произвольному центру O этого тела, то есть, заменяя их главным вектором R0 и главным моментом M0, мы получим, что элементарная работа сил, приложенных к диску, при его перемещении будет равна:



dA = ( R0ds0) + M0 d,
где ds0 – элементарное перемещение центра О, а d – элементарный поворот тела.

2. Работа момента (или пары сил), приложенных к твердому телу, движущемуся поступательно, то есть без вращения, равна нулю.

3. Размерность работы в соответствии с (3.3) равна произведению размерности силы на размерность перемещения:
A = P S = Н м = Дж.
3.2. Работа сил, приложенных к деформируемому телу



Работа упругой силы. Простейшей моделью деформируемого тела является обыкновенная пружина. Пусть ее левый конец закреплен, а правый – совпадает с началом системы координат Ox (рис. 3.4, а). Чтобы растянуть пружину с жесткостью c на величину x, надо приложить внешнюю упругую силу P = cx , которая равна по модулю и направлена противоположно внутренней упругой силе пружины FУПР = P (рис. 3.4, б).

Вообще, в механике упругой называется сила, модуль которой пропорционален величине смещения точки ее приложения.

В нашем случае работа упругой силы P будет равна:
A (P) = Pdx = cxdx = cx2/2 = Px/2.

Итак, работа упругой силы равна половине произведения максимального значения силы на величину вызванного ею перемещения:


A (P) = Px/2. (3.5)

Рис.3.4
Отметим, что работа внешней упругой силы положительна, а работа внутренней упругой силы FУПР =  P отрицательна: A (FУПР) =  A (P).

В дальнейшем работу внутренних сил деформируемого тела будем обозначать буквой W, а букву A сохраним для обозначения работы приложенных к нему внешних сил. При этом A =  W.



Работа сил при деформации упругого тела. Рассмотрим в качестве такого тела простую двухопорную балку с зафиксированными на ней точками i и j (рис. 3.5, а).

Рис.3.5
Приложим в точке i упруго или статически силу Pi – эти термины означают, что в процессе загружения балки сила изменяет свою величину от нуля до максимального значения, которому соответствует изогнутая ось балки, показанная на рис. 3.5, а пунктиром. Обозначим через ii и ji перемещения точек i и j , вызванные силой Pi.

Зафиксируем силу Pi и дополнительно приложим к балке в точке j – также статически силу Pj. Под действием последней точка i получит дополнительное перемещение ij, а точка j – дополнительное перемещение jj (рис. 3.5, б).

Подсчитаем работу, совершенную этими силами при деформации балки:
A (Pi) =1/2 PiDii+ PiDij; (3.6)
A (Pj) =1/2 Pjjj. (3.7)
Отметим, что на первом этапе загружения сила Pi является упругой, а балка играет роль пружины, поэтому первое слагаемое в (3.6) вычисляется по формуле (3.5). На втором этапе загружения Pi = const и ее работа вычисляется по формуле (3.3).

Таким образом, работа постоянной силы Pi на перемещении ij , вызванном «чужой» силой Pj вычисляется без коэффициента 1/2.



Примечания:

1. При деформации балки точки, лежащие на ее оси, получают не только линейные перемещения i (совпадающие с прогибами vi), но угловые i, поэтому если вместо упругой силы Pi в этой точке приложить упругий момент Mi, формула (3.6) примет вид:



A(Mi) = 1/2Miii +Miij ,
где ii – угол поворота сечения в точке i, вызванного упругим моментом Mi, а ij – угол поворота сечения в точке i, вызванного силой Pj.

2. Напомним, что в общем случае перемещение всякой точки стержневой системы определяется тремя компонентами: ui, vi, i – смотри уравнения 1.11 в §1.3. Обозначения i , введенные в этом параграфе являются традиционными в строительной механике и применяются как для линейных, так и для угловых перемещений. Таким обобщенным перемещениямi соответствуют обобщенные силы: обычные P для линейных перемещений и моменты M – для угловых. При этом произведение обобщенной силы на обобщенное перемещение имеет размерность работы.

3. Как известно из курса физики, работа, совершенная внешними силами при деформировании упругого тела, равна потенциальной энергии, приобретенной этим телом.
3.3. Общие теоремы строительной механики
Теорема Бетти (о взаимности работ). Рассмотрим два состояния упругой системы (рис. 3.6). Соответствующие им силы назовем силами первой и второй группы. Представим себе два варианта загружения балки:

1) Вначале статически приложим силы первой группы, затем их зафиксируем и добавим – также статически – силы второй группы. Очевидно, что процедура, показанная на рис. 3.5, является частным случаем рассматриваемой, поэтому по аналогии с формулами (3.6) и (3.7) суммарную работу нагрузки можно представить в следующем виде:


AI = A11 + A12 + A22,
где A11 – работа первой группы сил на вызванных ими перемещениях;

A12 – работа первой группы сил на перемещениях, вызванных силами второй группы;

A22 – работа второй группы сил на вызванных ими перемещениях.


Рис.3.6
2) Во втором варианте загружения вначале статически приложим силы второй группы, затем их зафиксируем и добавим силы первой группы. В этом случае суммарная работа сил будет равна:
AII = A22 + A21 + A11.
Работа сил, приложенных к идеально упругому телу, не зависит от истории загружения и определяется только начальным и конечным состоянием системы, поэтому, приравнивая AI и AII, получим:
A12 = A21 . (3.8)
Итак, теорема Бетти утверждает, что работа первой группы сил на перемещениях, вызванных силами второй группы, равна работе второй группы сил на перемещениях, вызванных силами первой группы.

Поскольку работа внешних сил равна и противоположна по знаку работе внутренних сил: A =  W, теорема Бетти справедлива и для них:



W12 = W21 .
Отметим, что эта теорема является основной среди общих теорем строительной механики – две другие можно рассматривать как следствия теоремы Бетти.

Теорема Максвелла (о взаимности удельных перемещений). Рассмотрим два состояния упругой системы. Пусть первое из них представлено силой Pi = 1 , приложенной в точке i , а второе – силой Pj = 1, приложенной в точке j (рис. 3.7).

Рис.3.7
Здесь и в дальнейшем удельные перемещения мы будем обозначать не заглавными буквами i, а строчными – i .

Поскольку перемещение всякой точки упругой системы, пропорционально приложенной силе, между ji на рис. 3.5, а и ji на рис. 3.7 существует зависимость: ji = Piji или, сменив последовательность индексов на более привычную:

ij = Pj ij. (3.9)
Воспользуемся теоремой Бетти, записав формулу (3.8) в виде:
Pi ij = Pjji .
Учитывая, что в последнем выражении Pi = Pj = 1, получим:
ji = ij (3.10)
Итак, теорема Максвелла утверждает, что перемещение точки i от единичной силы, приложенной в точке j , равно перемещению точки j от единичной силы, приложенной в точке i.
Теорема Релея (о взаимности удельных реакций). Для СНС в качестве внешних сил, фигурирующих в теореме Бетти, могут выступать реакции, вызванные кинематическими воздействиями.

Рассмотрим два состояния упругой системы, где первое соответствует единичному смещению i – ой моментной связи на левом конце балки, а второе – единичному смещению j – ой линейной связи на ее правом конце. Обозначим через ij и ij линейное перемещение и угол поворота i – ой связи от единичного смещения j – ой связи (рис. 3.8).



Рис.3.8
Работа первой группы сил на перемещениях второго состояния системы будет равна:

A12 = riiij + rjijj = rii 0 + rji 1 = rji.
Аналогично находим работу второй группы сил на перемещениях первого состояния:

A21 = rij ii + rjj ji = rij 1 + rjj 0 = rij.
Подставляя полученные выражения в (3.8), получим:
rij = rji . (3.11)
Таким образом, теорема Релея утверждает, что реакция i-ой связи от единичного смещения j-ой связи равна реакции j-ой связи от единичного смещения i-ой связи.

Примечания:

1. Если вместо единичной силы в точке i приложить единичный момент, зависимость (3.10) примет вид:

ij = ij .

Как видим, удельные перемещения ij могут иметь различную размерность. Проще всего ее найти из (3.9), принимая в этом выражении Dij за обобщенное перемещение, а Pj - за обобщенную силу. Тогда ij =  Dij  /  Pj  и мы получим:

а) для силы, приложенной в точке j:

– ij = м/Н, если ij - линейное перемещение;

– ij = 1/Н, если ij - угловое перемещение.

б) для момента, приложенного в точке j:

– ij = м/(Нм) = 1/Н, если ij - линейное перемещение;

– ij = 1/(Нм), если ij - угловое перемещение.

2. Приведенное доказательство теоремы Релея может показаться неубедительным. В самом деле, мы ссылаемся в нем на теорему Бетти, в которой рассматриваются два состояния одной и той же системы, загруженной различной нагрузкой. Можно ли это утверждать в отношении двух балок, изображенных на рис. 3.8, а и 3.8, б? Ответ на этот вопрос будет положительным, если учесть следующее:

а) принцип освобождаемости от связей справедлив в отношении как СОС, так и СНС;

б) если реакции связей СОС вторичны, то есть появляются только в ответ на действие активных сил и образуют с ними уравновешенную систему, то реакции связей СНС, вызванные кинематическими воздействиями, образуют самоуравновешенную систему сил;

в) напряженно-деформированное состояние в заданной СНС, вызванное смещением i-ой связи, тождественно НДС в эквивалентной упругой системе, полученной из заданной путем устранения этой i-ой связи и загруженной активной силой, равной ее реакции.

Поскольку в нашем примере на рис. 3.8 речь идет о двух связях, для получения одной и той же системы нужно удалить обе. Если при этом число лишних связей заданной СНС будет меньше или равно двум, полученная система будет, очевидно, статически определимой или даже подвижной.

Итак, действительно две балки на рис. 3.8, а и 3.8, б можно интерпретировать как два состояния одной и той же системы (рис. 3.9, а, б).



Рис.3.9

3.4. Работа внутренних сил плоской стержневой системы
Рассмотрим два состояния плоской стержневой системы, в качестве представителя которой выберем раму.

Обозначим через M1, Q1, N1 внутренние силы первого, а через M2, Q2, N2 – внутренние силы второго состояния. Последним будут соответствовать деформации κ2, g2, e2 и перемещения u2, v2, q2 , связанные зависимостями из §1.3:


dN2/dx = – qx; ü

dQ2/dx = qy; ý (1.10¢)

dM2/dx = Q2 . þ

κ 2 = dq2/dx; ü

g2 = q2dv2/dx; ý (1.11¢)

e2 = du2/dx . þ

κ 2 = M2/EJ; ü

g2 = mQ2/GF; ý (1.12¢)

e2 = N2/EF. þ
Напомним, что по отношению к элементу рамы длиной dx внутренние силы, несмотря на название, являются такими же внешними, как и равнодействующая распределенной нагрузки (рис. 3.10, а).

Вычислим работу внутренних сил M1, Q1, N1 на перемещениях второго состояния системы (рис. 3.10, б):



dA12 =  N1u2 + (N1+ dN1)(u2 + du2) + Q1v2  (Q1+ dQ1)(v2 + dv2)  M1q2 +

+(M1+ dM1)( q2+dq2) +qxdx(u2 + du2/2) + qydx(v2 + dv2/2) = N1u2 + N1u2 +

+ N1du2 + dN1u2 + dN1du2 + Q1v2 Q1v2 Q1dv2 dQ1v2 dQ1dv2 M1q2+

+ M1q2 + M1dq2 + dM1q2 +dM1 dq2 + qxdx(u2+du2/2) + qydx(v2+dv2/2). (3.12)




Рис.3.10
Пренебрегая в (3.12) слагаемыми, подчеркнутыми сплошной чертой, как бесконечно малыми второго порядка и воспользовавшись (1.10) для членов, подчеркнутых волнистой линией, получим:

dA12 = N1du2 - Q1dv2 + M1dq2 qxdxu2 + qxdxu2 + qxdxdu2/2 qydxv2 +

+ qydxv2 + qydxdu2/2 + Q1dxq2. (3.13)


Снова, отбрасывая в последнем выражении слагаемые подчеркнутые сплошной чертой как бесконечно малые второго порядка и используя (1.11) для второго члена, подчеркнутого волнистой линией, будем иметь:

dA12 = N1e2dx + M1κ 2dx - Q1(q2-g2)dx + Q1dxq2 =

= (M1κ 2 + Q1g2 + N1e2)dx. (3.14)

Наконец, выражая в (3.14) деформации через внутренние усилия с помощью (1.12), найдем для элемента рамы длиной ds:
dA12 = ( M1M2/EJ + mQ1Q2/GF + N1N2/EF ) ds.
Полная работа получается интегрированием по длине стержня и суммированием по всем участкам рамы. С учетом знака получим окончательное выражение работы внутренних сил первого состояния на перемещениях второго состояния:
W12 =  A12 =   ( M1M2/EJ + mQ1Q2/GF + N1N2/EF ) ds. (3.15)


3.5. Интеграл Мора-Максвелла
С помощью (3.15) нетрудно получить формулу для определения перемещения i-ой точки упругой системы от приложенной нагрузки.

Рассмотрим два состояния системы: первое – от заданной нагрузки и второе – от единичной силы или единичного момента, приложенных в точке i в направлении искомого линейного или, соответственно, углового перемещения – (рис. 3.11). Обычно первое из этих состояний называют действительным, а второе – возможным или виртуальным.



Рис.3.11
Обозначим через ip искомое перемещение точки i – в нашем примере на рис. 3.11, а – это вертикальное линейное перемещение.

Пусть Mp, Qp, Np – внутренние усилия первого состояния, а`Mi, `Qi, `Ni – внутренние силы второго состояния.

Воспользовавшись теоремой Бетти:
A12 = A21,

где


A21 = Piip = 1ip = ip,

а

A12 = – W12,

получим с помощью (3.15) искомую формулу для определения перемещений, которая называется интегралом Мора-Максвелла:
ip =  ( Mp`Mi /EJ + mQp`Qi /GF + Np`Ni /EF )ds. (3.16)

Таким образом, для определения линейного (углового) перемещения точки i упругой системы в заданном направлении от заданной нагрузки необходимо:



– построить эпюры Mp, Qp, Np в заданной системе от заданной нагрузки;

– построить эпюры `Mi, `Qi, `Ni от единичной силы (единичного момента), приложенной в точке i в направлении искомого перемещения;

– вычислить интеграл (3.16).

Отметим, что перемещения в балках и рамах определяются в основном изгибными деформациями, поэтому для таких систем вместо (3.16) можно воспользоваться формулой:


ip =  ( MpMi /EJ)ds . (3.17)
Наоборот, в фермах отсутствуют изгибающие моменты и поперечные силы, поэтому перемещения здесь полностью определяются продольными деформациями:
Dip = ò (Np`Ni /EF ) ds=S(Npk `Nik /EFk)lk, (3.18)
где lk и EFk – соответственно длина и продольная жесткость k-го стержня фермы.
Примечания:

  1. Вычисление интеграла (3.17) условно называют перемножением эпюр Mp иMi и записывают это в виде: ip = (MpMi).

  2. При вычислении перемещений, как правило, пренебрегают деформациями сдвига.

  3. При выводе формулы (3.16) нигде не предполагалось, что заданная система является статически определимой, поэтому эта формула верна как для СОС, так и для СНС. Тем не менее, в названии главы фигурируют только СОС поскольку, во-первых, пока в нашем распоряжении нет удобного метода определения внутренних усилий в СНС, а во-вторых, для последних систем формулу (3.16) можно упростить.


3.6. Формула Верещагина
Интеграл (3.17) можно вычислить аналитически, однако если жесткости стержней постоянны, удобнее воспользоваться другим способом, который обычно и применяют на практике.

Учитывая, что эпюра`Mi от единичного силового фактора является кусочно-линейной, можно выбрать промежутки a,b, где она будет просто линейной. Тогда выбирая начало локальной системы отсчета так, как показано на рис. 3.12, б, ее уравнение можно записать в виде: `Mi(x) = tgx. При этом интеграл в (3.17) примет вид:


( MpMi /EJ)dx = (tg/EJ) x Mp dx. (3.19)

Рис.3.12

Обозначая через  площадь эпюры Mp:

 = d = Mp dx ,

и учитывая, что ее статический момент относительно оси Oy равен:


Sy =xd = xc,
представим (3.19) в виде:
(tg/EJ) x Mp dx = (tg/EJ) xd= (tg/EJ) xc = (yc)/EJ,
где yc = tgxc.

Возвращаясь к формуле (3.17), получим:


ip =  (kyck)/(EJk). (3.20)
Таким образом, чтобы перемножить две эпюры, из которых хотя бы одна является линейной, нужно вычислить площадь криволинейной эпюры – и умножить ее на ординату yc в линейной эпюре, вычисленную под центром тяжести криволинейной.

Для реализации формулы (3.20) остается рассмотреть геометрические характеристики стандартных эпюр (рис. 3.13), где две последние соответствуют эпюрам от равномерно распределенной нагрузки. Поскольку любую нестандартную эпюру можно представить комбинацией стандартных, с помощью последних можно перемножить произвольные эпюры.



Рис.3.13
Примечания:

1. При выводе формулы (3.20) криволинейная эпюра Mp с площадью w предполагается однозначной. Если это условие не выполнено, ее представляют комбинацией двух или большего числа стандартных эпюр.

2. Для вычисления интеграла (3.17) можно применять формулы численного интегрирования, в том числе – формулу Симпсона:
=  (b a)/6 f(a) + 4f  (a + b)/2 + f(b),
которая позволяет получить точный результат, если функция f (x) является многочленом до третьей степени включительно.

Таким образом, если на всем промежутке a,b эпюра `Mi линейна, а эпюра Mp является квадратичной параболой, интеграл (3.17) можно вычислить по формуле:


Dip=(lk/6EJk) Mp(ak) `Mi(ak) +4 Mp (ak +bk)/2 `Mi (ak+bk)/2+Mp(bk)  `Mi(bk) . (3.21)
При этом однозначности эпюры Mp на промежутке a,b не требуется, а формулу можно, конечно, применять и для линейной функции Mp(x).
3.7. Примеры определения перемещений
Рассмотрим примеры определения перемещений в СОС от действующей нагрузки. Во всех случаях изгибная жесткость элементов системы – EJ и их продольная жесткость – EF предполагаются известными.
Пример 3.1. Определить максимальные прогибы балки (рис. 3.14, а).

Рис.3.14
Решение. В соответствии с формулой (3.17) строим эпюру Mp от заданной нагрузки (рис. 3.14, б) и эпюру Mi от единичной силы, приложенной в середине балки (рис. 3.14, в).

Вычислим интеграл (3.17) по формуле Верещагина. На всем промежутке 0,l эпюра Mp является однозначной, то есть отвечает предъявляемым к ней требованиям, а эпюраMi на всем промежутке 0,l будет нелинейной. Поэтому область интегрирования делим на два участка: 0, l/2 и l/2, l, на каждом из которых Mi(x) будет линейной. С учетом симметрии получим:



vmax = ip = 2 (w1yc1)/EJ = 2 (2/3)( l/2)(ql2/8)(5/8)(l/4) = 5ql4/384EJ.

Для того чтобы получить тот же результат с помощью интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки, нужно затратить примерно втрое больше усилий – хотя бы потому, что придется находить угол поворота балки в ее начальном сечении – 0.

Формально воспользовавшись для всего промежутка 0,l формулой Симпсона (3.21), и учитывая, что значения Mp иMi на его концах равны нулю, получим:
vmax = (l/6EJ)4(ql2/8)(l/4) = ql4/48EJ.
Найденный результат оказался неверным, поскольку на всем промежутке 0,l подынтегральная функция f(x) = Mp(x)  Mi (x) не отвечает требованиям, предъявляемым к ней этой формулой. 
Пример 3.2. Найти линейное и угловое перемещения точки A на конце Г-образной консольной рамы, у которой жесткость стойки вдвое больше жесткости ригеля (рис. 3.15, а).

Рис.3.15
Решение. Строим эпюру Mp от заданной нагрузки и эпюрыMi от единичных сил и моментов, приложенных в точке A (рис. 3.15, б-д).

Определяем вертикальное перемещение точки А, перемножая эпюры Mp иM в:


в = (Mp M в) = (1/EJ) w1y1 + (1/2EJ) w2y2 = (1/EJ)(1/3)l (ql2/2)(3/4)l +

+ (1/2EJ) l(ql2/2)l = (3/8)(ql4/EJ).

Находим горизонтальное перемещение точки А:
г = (Mp M г) = (1/2EJ) l(ql2/2)(l/2) = (1/8)(ql4/EJ).
Полное перемещение точки А составит:

___________ __

А =  (в)2 + (г)2 = (10 ql4)/8EJ.
Угол поворота сечения в точке А будет равен:
А = (Mp M у) = (1/EJ) w1×1 + + (1/2EJ) w2×1 = (1/EJ)(1/3)l (ql2/2)1 +

+ (1/2EJ) l(ql2/2)1 = (5ql3/12EJ ). 

Рассмотренный пример наглядно показывает, почему при определении перемещений в рамах мы пренебрегаем продольными деформациями. Вертикальное перемещение точки А от заданной нагрузки в основном определяется изгибом ригеля, изгибом стойки и только в очень незначительной степени – ее сжатием.
Пример 3.3. Найти угол поворота сечения на правой опоре рамы, рассмотренной в примере 2.5, полагая EJ = const (рис. 2.9, а).

Рис.3.16
Решение. Воспользуемся уже построенной ранее эпюрой Mp от заданной нагрузки (рис. 2.9, б) и (рис. 3.16, а), и умножим ее на эпюру`Mi от единичного момента (рис. 3.16, б). На левой стойке и ригеле эпюра Mp представлена тремя треугольниками с равной площадью wтр = (1/2)l (ql2/4), которые умножаются на три одинаковых треугольника в эпюре `Mi.

Нестандартную эпюру Mp на правой стойке с площадью wпар представим суммой стандартных эпюр: параболы с площадью w1 и треугольника с площадью w2 (рис. 3.16, в).

Поскольку перемножаемые эпюры расположены на разных волокнах, результат получится со знаком минус. Как и при определении опорных реакций, это означает, что действительное направление угла поворота будет противоположно направлению, указанному на рисунке:
В = (Mp Mi) = (1/EJ) (–3) wтр yтр - wпар yпар = – (1/EJ) 3wтр yтр+w1 y1+

+w2 y2 = – (1/EJ) 3 (1/2) l (ql2/4) (2/3)(1/2) + (2/3)  l (ql2/8) [(1/2)(1/2+1) + (1/2) l (ql2/4) [(2/3)(1/2) + (1/3)×1] = – (11ql3) / (48EJ). 


1   2   3   4   5


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница