Б. Б. Лампси статика сооружений учебное пособие



страница1/5
Дата22.04.2016
Размер1.36 Mb.
  1   2   3   4   5

И.С. Куликов, Б.Б. Лампси



СТАТИКА

СООРУЖЕНИЙ

Учебное пособие

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
И.С. Куликов, Б.Б. Лампси

СТАТИКА СООРУЖЕНИЙ
Утверждено редакционно-издательским советом

университета в качестве учебного пособия


Нижний Новгород

ННГАСУ

2012


ББК


Куликов И.С., Лампси Б.Б.

Статика сооружений: Учебное пособие. – Н.Новгород, Нижегород. гос. архитект. - строит. ун-т, 2012г. – 94 с.


Сжато и доступно изложены основы строительной механики в рамках, не выходящих за пределы требований ГОС. В популярной форме авторы знакомят с основными понятиями и методами этой дисциплины, необходимыми для изучения статически определимых и статически неопределимых плоских стержневых систем. Рассматривается методика построения эпюр внутренних усилий и определения перемещений. Изложен метод сил и метод перемещений, даны сведения о методе конечных элементов. Изложение сопровождается примерами, необходимыми для успешного овладения теорией и приобретения минимальных навыков в решении задач.

Предназначено для студентов направления 521700 - Архитектура, но будет полезно и студентам других специальностей, изучающим основы строительной механики по сокращенной программе. Например – студентам строительного направления, специализирующимся по профилям «Теплогазоснабжение и вентиляция» или «Водоснабжение и водоотведение».

Илл. 66, библиогр. назв.7.


ББК


ISBN ãКуликов И.С., 2012

ãЛампси Б.Б., 2012

ãННГАСУ, 2012

ПРЕДИСЛОВИЕ




Переход к многоуровневой системе образования проходит в условиях гуманитаризации процесса обучения и создания новых информационно-вычислительных систем. Это сопровождается значительным сокращением времени, отводимого на изучение механики у студентов традиционных специальностей, и появлением новых специальностей с одним или двухсеместровым курсом по этой дисциплине.

К их числу относится и курс основ строительной механики для студентов направления 521700 - «Архитектура», который состоит из трех разделов:

- статика твердого тела,

- статика деформируемого тела,

- статика сооружений.

Отметим, что студенты строительных специальностей изучают эти разделы механики в соответствующих курсах: теоретической механики, сопротивления материалов и строительной механики. Поэтому нетрудно понять, что успешное овладение основами механики в рамках сокращенной программы представляет непростую задачу, как для лектора, так и для студентов. И первым шагом на пути её решения является определение целей этого курса. Для студентов-архитекторов они сформулированы так:

- научить анализировать существующие конструктивные решения, понимать работу сооружения в целом и оценивать ту роль, которую играют отдельные элементы ансамбля, устанавливать функциональную связь между воздействиями, внутренними усилиями и формой сооружения;

- способствовать осознанному, свободному и целенаправленному решению основной задачи архитектурного проектирования – поиску новых форм и совершенных решений;

- ознакомить с основными понятиями и методами строительной механики и помочь формированию рационального и логического мышления.

Достижение намеченных целей требует тщательной подготовки учебной программы и её методического обеспечения.

Настоящее пособие является попыткой содействовать решению этой задачи для третьего раздела курса – статики сооружений. Его содержание не претендует на полноту и отражает точку зрения авторов на то, каким должен быть начальный курс этой дисциплины для архитекторов.

В частности, было принято решение ограничиться изучением плоских стержневых систем, которые в пособии представлены балками, рамами, фермами и арками. Изложена методика построения эпюр и определения перемещений, рассмотрены метод сил и метод перемещений. Даны понятия о расчете статически неопределимых систем методом конечных элементов.

Замечания в конце ряда параграфов предназначены для критически настроенных читателей и могут быть оставлены без внимания при первом чтении.

Авторы благодарят студентку факультета архитектуры и градостроительства С. Смирнову за выполненные для этого пособия рисунки.


ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
1.1. Предмет строительной механики и ее задачи
Термин «строительная механика» применяют в широком и узком смысле этого слова.

В широком смысле – строительная механика это раздел механики, в котором ее выводы и методы применяют для решения задач проектирования, строительства и эксплуатации сооружений. В этом значении она объединяет такие науки и дисциплины как:

– теоретическая механика;

– сопротивление материалов;

– теория упругости;

– статика и динамика сооружений;

– металлические и железобетонные конструкции

и многое другое. При этом термин «строительная механика» близок к понятиям «прикладная» или «техническая механика».

В узком смысле слова строительная механика – это, прежде всего, статика сооружений, в дальнейшем именно так мы и будем понимать этот термин.

Напомним, что если предметом теоретической механики является абсолютно твердое тело (или система таких тел), а предметом сопромата – деформируемое тело, то предметом строительной механики является система деформируемых тел.

Основная задача строительной механики – проектирование сооружений, находящихся в определенных условиях с учетом требований прочности, жесткости, устойчивости, надежности, экономичности, эстетики и других ограничений. Для решения этой задачи нужно построить модель сооружения, выделив основные несущие элементы и определив действующую на них нагрузку. Такая модель в виде совокупности деформируемых тел, соединенных друг с другом и с землей определенными связями, и называется расчетной схемой или системой.

В зависимости от геометрических особенностей элементов системы их делят на три класса: стержневые, тонкостенные и массивы. В общем случае расчетная схема может включать в себя каждый из этих элементов. Мы ограничимся в дальнейшем рассмотрением плоских стержневых систем.


Примечания:

1. Помимо основной задачи – проектирования в строительной механике, как и в сопромате, может возникнуть необходимость расчета сооружения, уже находящегося в эксплуатации. Например – при его реконструкции.

2. Решение основной задачи строительной механики сводится, прежде всего, к определению внутренних усилий. Последующий подбор сечений элементов конструкции выполняется методами сопромата либо, в зависимости от вида материала, – по теории железобетонных, металлических конструкций и т.д.
1.2. Кинематический анализ сооружений
Прежде чем приступить к расчету модели сооружения, необходимо проверить: способна ли она воспринимать приложенную нагрузку, оставаясь в равновесии? При этом расчетная схема рассматривается как совокупность не деформируемых, а абсолютно жестких тел – дисков, и в отдельный класс выделяются системы, элементы которых обладают подвижностью, то есть могут смещаться относительно друг друга или относительно земли. Такое исследование структуры модели называется ее кинематическим анализом.

Поскольку подвижность системы зависит, очевидно, от вида связей, соединяющих ее элементы, вернемся к рассмотрению и уточнению этих понятий – уже встречавшихся в теоретической механике.


1.2.1. Связи и их реакции
Напомним, что под связью понимают тело, ограничивающее свободу перемещения выбранного рассматриваемого тела, а реакцией связи называют силу, с которой связь действует на это тело.

Будем называть связь линейной, если соответствующая ей реакция – сила и моментной, если соответствующая ей реакция – момент.

Для плоских стержневых систем можно ограничиться рассмотрением следующих видов связей.

Подвижная опора (рис. 1.1) помимо обозначения по ГОСТу (рис. 1.1, а) может на схемах изображаться так, как показано на рис. 1.1, б и 1.1, в. Она соответствует одной линейной связи, а ее реакция перпендикулярна заштрихованной опорной площадке (рис. 1.1, г).

Рис.1.1
Неподвижная опора (рис. 1.2) также допускает на схемах изображения, отличные от стандартного – на рис. 1.2, а. Очевидно, что она эквивалентна двум линейным связям (рис. 1.2, в – г).

Рис.1.2

Жесткое защемление (рис. 1.3, а) исключает не только перемещения закрепленной точки балки, но и ее поворот вокруг этой точки. Оно эквивалентно двум линейным связям и одной моментной (рис. 1.3, б), либо трем линейным связям при   0 (рис. 1.3, в).

Рис.1.3
Скользящее защемление (рис. 1.4, а – б) в отличие от жесткого не препятствует смещению закрепленной таким образом точки в одном из направлений и эквивалентно линейной и моментной связям (рис. 1.4, в) либо двум линейным при   0 (рис. 1.4, г).

Рис.1.4
Кратный шарнир, соединяющий N дисков, (рис. 1.5, а) эквивалентен (N – 1) простому шарниру (рис. 1.5, б).


Рис.1.5
Примечания:

1. Результаты расчета можно улучшить, если учесть податливость соединений элементов системы.

2. Построение расчетной схемы действующего сооружения может оказаться непростой задачей, соизмеримой по сложности с самим расчетом.
1.2.2. Степени свободы и статическая определимость системы
Все системы в механике можно разделить на два класса: неизменяемые системы (НС) и изменяемые системы (ИС).

Определение 1.1. Неизменяемыми или неподвижными будем называть системы, элементы которых не могут перемещаться относительно друг друга или относительно земли, если они являются абсолютно твердыми, то есть недеформируемыми.

Изменяемыми или подвижными будем называть системы, элементы которых могут перемещаться относительно друг друга или относительно земли, оставаясь абсолютно твердыми

НС могут воспринимать любую нагрузку, ИС – только определенные виды нагрузок.

Например, рама на рис. 1.10, а является НС и может воспринимать как горизонтальную, так и вертикальную нагрузку, оставаясь в положении равновесия. А раму на рис. 1.10, б можно загрузить вертикальной нагрузкой, но она не способна воспринимать горизонтальную нагрузку, под действием которой она придет в движение – подобно незакрепленному на рельсах монтажному крану под действием ветра.

Нетрудно догадаться, что в строительстве в основном применяют неизменяемые системы – изменяемые здесь используют довольно редко и с большой осторожностью (в отличие от машиностроения, где наоборот  интерес представляют изменяемые или подвижные системы).

Все неизменяемые системы делятся на статически определимые (СОС) и статически неопределимые системы (СНС).

Напомним, что СОС – это системы, для которых число неизвестных реакций внешних и внутренних связей не превышает максимально допустимого числа уравнений статики, которые можно составить для их определения.



Если число неизвестных больше максимально допустимого числа уравнений, система называется СНС. При этом разность между числом неизвестных и числом уравнений называется степенью статической неопределимости системы.

Чтобы описать изменяемые системы введем следующее



Определение 1.2. Под степенью свободы системы – W будем понимать минимальное число параметров, определяющих ее положение в пространстве.

Очевидно, что для неподвижных систем W = 0, а для подвижных W ³ 1. Для точки на плоскости W = 2, и в качестве параметров можно выбрать ее декартовы координаты. Чтобы однозначно определить положение твердого тела (диска) на этой плоскости нужно задать уже три параметра. Например – координаты фиксированной точки A этого диска  xA , yA и угол наклона j принадлежащего ему отрезка AB (рис. 1.6). Таким образом, для диска W = 3, а система N дисков на плоскости будет иметь 3N степеней свободы.

Если два свободных диска на плоскости (W = 6) соединить одной линейной связью C1C2, получим систему с пятью степенями свободы (рис. 1.7), поскольку к трем параметрам для первого диска добавятся углы j1 и j2, определяющие положение стержня C1C2 относительно диска Д1 и диска Д2 относительно точки C2. Аналогично, система двух дисков, соединенных двумя линейными связями (или шарниром) будет иметь 4 степени свободы.


Рис.1.6


Рис.1.7
Естественно предположить, что всякое наложение дополнительной связи уменьшает степень свободы системы на единицу, поэтому для произвольной плоской системы ее можно найти по формуле:

W* = 3Д  2Ш  СО , (1.1)
где W* – предполагаемая или условная степень свободы системы;

Д – число дисков;

Ш – число простых шарниров, соединяющих диски друг с другом;

СО – число опорных связей.


Как видим, при рассмотрении любой системы возможны три варианта:

1) W* > 0 – система заведомо подвижна;

2) W* = 0 – система имеет минимальное число связей, необходимых для ее неизменяемости;

3) W* < 0 – система содержит избыточные связи.


На самом деле наше предположение о том, что в формуле (1.1) W* = W неверно. Дело в том, что не всякая дополнительная связь уменьшает степень свободы системы – нетрудно представить связь, которая просто дублирует наложенную ранее, не меняя степени свободы системы.

Итак, условие W* £ 0 является необходимым, но недостаточным для образования неподвижной системы.

Если все же при условии W* < 0 система окажется неподвижной, то она одновременно будет и статически неопределимой, а число ее лишних связей можно найти по формуле:
Л =  W* = СО + 2Ш  3Д (1.2)
Пример 1.1. Определить число лишних связей рамы (рис. 1.8).

Рис.1.8
Решение. 1) Методом теоретической механики: общее число неизвестных реакций в опорах А, В, С и соединительном шарнире D равно восьми, максимально допустимое число уравнений для их определения – 6 (по три для каждого из дисков AD и DBC), число лишних связей Л = 8 – 6 = 2.

2) По формуле (1.2):


Л = 6 + 2×1 – 3×2 = 2. 

Для плоских ферм применять формулы (1.1) и (1.2) неудобно: если С – число стержней фермы, а У – число ее узлов, то во-первых будет слишком много дисков Д = С, а во-вторых почти все шарниры будут кратными.

Гораздо проще найти степень ее свободы из следующих соображений: каждый узел имеет две степени свободы, а каждый стержень, как линейная связь, уменьшает общее число степеней свободы на единицу, откуда получим:
W* = 2У – С – СО (1.3)
Л =  W* = С + СО  2У. (1.4)

Пример 1.2. Определить степени свободы системы (рис. 1.9).

Рис.1.9
Решение. По формуле (1.3) находим:
– для схемы а): W* = 2×6 – 8 – 4 = 0;

– для схемы б): W* = 2×6 – 9 – 3 = 0.


Таким образом, необходимое условие неизменяемости выполняется для каждой из ферм, но только первая из них будет неподвижной. Система на рис. 1.9, б является изменяемой, и не может воспринимать показанную нагрузку, оставаясь в состоянии равновесия. 

Примечания:

1. Мы выяснили, что степень свободы зависит не только от того, какие элементы образуют систему, но и как они соединяются друг с другом. При неправильном образовании в одной части системы связи дублируют друг друга, а в другой – их недостаточно и система в целом оказывается изменяемой, как в примере на рис. 1.9, б. Вопрос о том, какие системы будут неподвижными, остается открытым.

2. Полезно рассмотреть еще одно

Определение 1.3. Степень свободы системы W равна минимальному числу дополнительно введенных связей, превращающих ее в неизменяемую систему.

1.2.3. Изменяемые системы
Ограничимся в дальнейшем рассмотрением систем, у которых условная степень свободы W* = 0.

Мы выяснили, что такие системы, могут быть как изменяемыми, так и неизменяемыми, причем в последнем случае они будут статически определимыми. Для таких систем справедливо следующее



Определение 1.4. Изменяемыми называются системы, которые получаются из неизменяемых систем при определенных критических значениях параметров.

Например, НС на рис. 1.10, а при  = 0 переходит в ИС на рис. 1.10, б. Это сопровождается превращением статически определимой системы (СОС) в СНС, поскольку число линейно-независимых уравнений для определения опорных реакций уменьшается на единицу. При этом ранг матрицы этих уравнений становится равным двум, а ее определитель равным нулю:


detA  = 0. (1.6)
Изменяемые системы (W > 0, W* = 0) подразделяются на:

геометрически изменяемые системы (ГИС);

мгновенно изменяемые системы (МИС).

Рис.1.10
Мгновенно изменяемые отличаются от ГИС тем, что допускают не конечные – как рама на рис. 1.10, б, – а только бесконечно малые перемещения. При этом значения параметров, о которых идет речь в определении 1.4, у ГИС остаются постоянными, а у МИС – изменяются при перемещении.

Кроме того, переход неподвижных статически определимых систем в МИС может сопровождаться появлением бесконечно больших опорных реакций.

Рассмотрим, например, НС на рис. 1.11, а. Для определения опорной реакции RB составим уравнение равновесия: МА = 0, откуда найдем: RB = Pa/. Эта рама переходит в МИС на рис. 1.11, б при критическом значении параметра  = 0. Нетрудно видеть, что предел RB при   0 равен бесконечности.

Это может привести к разрушению реальной конструкции, поэтому такие МИС не применяют в строительстве.

Термин «мгновенно изменяемая система», подчеркивает, что под действием приложенной нагрузки реальная деформируемая система может занять новую конфигурацию, для которой значение параметра станет отличным от критического. При этом в рассматриваемом примере (рис. 1.11, б) точка В сместится вниз и реакция RB примет конечное значение.

Рис.1.11
Итак, мы выяснили, что принадлежность системы к классу МИС крайне нежелательна. Поэтому перечислим некоторые признаки МИС:

1) Два диска, соединенные шарниром, связаны с остальной частью системы или с землей при помощи двух других шарниров, лежащих на одной прямой с первым (рис. 1.12).

2) Диск, прикреплен к системе или к земле при помощи трех линейных связей, у которых линии действия реакций параллельны (рис. 1.13) или пересекаются в одной точке (рис. 1.14).

Рис.1.12


Рис.1.13


Рис.1.14
Примечания:

1. МИС на рис. 1.11, б соответствует первому из приведенных признаков, роль второго диска выполняет подвижная опора В. Диск Д1 на рис. 1.14 выполняет роль третьей линейной связи по отношению к диску Д2.

2. Приведенные признаки МИС не являются исчерпывающими, то есть если исследуемая модель не отвечает им, то это не означает, что она не будет принадлежать к этому классу. Самым общим является аналитический метод исследования систем, основанный на рассмотрении уравнений равновесия для определения их опорных реакций.

3. Поскольку кинематический анализ связан с рассмотрением системы абсолютно твердых тел, он мог бы изучаться в курсе теоретической, а не как традиционно – строительной механики. Кстати, в 5 на стр. 26-28 можно найти несколько МИС, ошибочно включенных в задание, где требуется определить опорные реакции составной конструкции.


1.2.4. Способы образования и структурный анализ


Рассмотрим два способа образования стержневых систем, которые будут неизменяемыми и статически определимыми. Другими словами, выясним, при каких условиях соотношение:
W* = 3Д  2Ш  СО = 0 (1.5)
будет не только необходимым, но и достаточным для образования таких систем.

1. Соединение диска с землей (соединение двух дисков). Диск прикреплен к земле при помощи шарнира и линейной связи, линия действия реакции которой не проходит через этот шарнир (рис. 1.15, а).

Шарнир А можно заменить двумя линейными связями, линии действия которых пересекаются в точке, через которую не должна проходить линия действия реакции третьей линейной связи (рис. 1.15, б).



Рис.1.15
Если диск Д2 присоединяется не к земле, а к диску Д1, получим систему, которую можно принять за новый диск, имеющий ту же степень свободы, что и диск Д1.

Этот способ образования систем называется диадным – от названия простейшей фермы, образованной из двух стержней, соединенных шарниром В. Роль первого стержня выполняет незагруженный диск АВ (рис. 1.15, а).



2. Соединение двух дисков с землей (соединение трех дисков). Два диска соединены друг с другом и с землей при помощи трех шарниров, не лежащих на одной прямой (рис. 1.16, а).

Аналогично соединяются три диска, при этом каждый шарнир можно заменить двумя линейными связями, у которых точки пересечения линий действия реакций также не должны лежать на одной прямой (рис. 1.16, б).




Рис.1.16

Этот способ образования систем называется способом трехшарнирной арки. Очевидно, что он является более общим и сводится к диадному, если диски Д1 и Д2 незагружены и , значит, их можно заменить стержнями АС и ВС, соединенными в точке С (рис. 1.16, а).

Нетрудно заметить, что ограничения, налагаемые на способы образования системы, нужны для того, чтобы избежать появления МИС.

Структурный анализ. Заключается в исследовании уже существующей системы с точки зрения возможности ее образования двумя рассмотренными способами.

При этом:

– системы, образованные из нескольких дисков, образуют один новый диск;

– при условии (1.5) ни один из присоединенных дисков не должен иметь лишних связей;

– вновь образованная система будет неподвижной (НС) и статически определимой (СОС).
Пример 1.3. Выполнить структурный анализ рамы (рис. 1.17).


Рис.1.17



Решение. Система состоит из пяти дисков, соединенных простыми шарнирами E, G, F и кратным шарниром D, эквивалентным двум простым.

Условная степень свободы по формуле (1.5):


W* = 3  5  2  5  5 = 0.
Диски Д1 и Д2 образуют по способу трехшарнирной арки новый диск Д1-2, жестко связанный с землей. К диску Д1-2 диадным способом при помощи шарнира D и линейной связи C присоединяется диск Д3, который образует новый и неподвижный относительно земли диск Д1-3. Наконец, к диску Д1-3 присоединяется диада Д4, Д5, образуя диск Д1-5. Таким образом, заданная система является СОС и НС. 

Следует отметить, что системы могут быть образованы и другими способами – отличными от диадного и способа трехшарнирной арки, поэтому основанный на них структурный анализ не является универсальным методом исследования системы. Например, с его помощью нельзя дать ответ на вопрос об изменяемости рамы на рис. 1.18, поскольку ее нельзя образовать двумя указанными способами.


1.2.5. Аналитическое исследование системы
Как уже отмечалось, этот метод исследования систем является самым общим.

Суть метода. Уравнения равновесия для определения опорных реакций исследуемой системы можно представить в виде:

[A] {X} = {B}, (1.6)


где [A] – матрица коэффициентов при неизвестных;

{X} – вектор-столбец неизвестных опорных реакций;

{B} – вектор-столбец нагрузки.

При этом для СОС любому вектору {B} однозначно соответствует единственный вектор {X}, что возможно только при условии: det [A]  0.

Учитывая, что в силу (1.5) СОС одновременно являются НС, можно сделать вывод, что необходимым и достаточным условием неподвижной системы будет:

det [A]  0. (1.7)
Наоборот, необходимым и достаточным условием подвижной системы является:

det [A] = 0. (1.8)
Таким образом, для кинематического анализа системы достаточно вычислить определитель матрицы соответствующей системы алгебраических уравнений. Но можно избежать даже этой процедуры, учитывая некоторые сложности которые она вызывает уже при четвертом порядке определителя.

Метод нулевой нагрузки. Рассмотрим однородную систему уравнений, соответствующую (1.6):
[A] {X} = {0}. (1.9)
Известно, что она имеет только нулевое решение, если det [A]  0, и наоборот – условием ненулевого решения будет: det [A] = 0.

Отсюда – следующее правило:

1) Если система (1.9) имеет решение {X} = {0}, то соответствующая механическая система является неподвижной;

2) Если система (1.9) имеет решение {X}  {0}, то соответствующая механическая система является подвижной.


Пример 1.4. Выполнить кинематический анализ рамы (рис. 1.18).

Решение. Воспользуемся методом нулевой нагрузки, применив графический способ решения (рис. 1.19).

Из условия равновесия диска АЕ следует, что реакции RA и RE направлены по прямой АЕ (аксиома 2).




Рис.1.18


Рис.1.19
Из условия равновесия диска EBF следует, что реакция RF проходит через точку K, где пересекаются линии действия RE =  RE и RB (теорема о трех силах).

Из условия равновесия диска FCG аналогично находим линию действия реакции RG, проходящей вдоль прямой GL.

Наконец, рассмотрим диск DG . По аксиоме 2 реакция RG =  RD должна быть направлена вдоль прямой GD, соединяющей точки их приложения. С другой стороны, RG =  RG действует по прямой GL. Одновременно удовлетворить этим требованиям можно, лишь полагая RG = 0, откуда следует, что все реакции равны нулю, а, значит, {X} = {0} и система будет неподвижной. 

Примечания:

1. Подобно тому, как СНС, которые мы рассмотрим в 4 главе, могут быть статически неопределимыми внешним и внутренним образом, можно говорить о системах, изменяемых аналогично. Поэтому в общем случае вектор {X} в системе (1.6) должен содержать компоненты реакций не только внешних, но и внутренних связей.

2. Отметим, что в последнем примере 1.4 мы остаемся в рамках аналитического метода анализа геометрической изменяемости системы, несмотря на то, что при реализации метода нулевой нагрузки применялся графический способ определения реакций связей. Такой прием вполне оправдан, поскольку формальный подход потребовал бы вычисления определителя десятого порядка.

3. Анализ системы уравнений (1.6), независимо от условия (1.5), позволяет получить полную характеристику механической системы, включая степени ее свободы и статической неопределимости.

4. При построении модели сооружения ее параметры определяются с некоторой степенью точности, поэтому опасность на практике представляют не только МИС, но и близкие к ним – у которых det [A]  0.
1.3. Основные уравнения строительной механики
Математическая сторона основной задачи строительной механики основана на зависимостях, полученных в сопромате. Напомним их на примере напряженно-деформированного состояния элемента рамы, для которого – в отличие от балки – поперечный изгиб сопровождается дополнительным растяжением или сжатием.

Пусть такой элемент длиной dx расположен в локальной системе координат Oxy, где ось Ox направлена по оси стержня, и загружен распределенной нагрузкой интенсивностью qx и qy вдоль Ox и Oy соответственно (рис. 1.20).

Напряженно-деформированное состояние стержня определяется девятью компонентами:

– внутренними усилиями (M, Q, N,);

– перемещениями (u, v, );

– деформациями (κ, , ).

Уравнения для определения этих функций можно разделить на три группы:

Статические уравнения – связывают внутренние усилия (рис. 1.20, б) с заданной нагрузкой:

dN/dx = – qx; 

dQ/dx = qy; ý (1.10)

dM/dx = Q . 
Геометрические уравнения – выражают деформации через перемещения, показанные на рис. 1.20, б, в:

κ = d/dx; 

 =   dv/dx;  (1.11)

 = du/dx. 



Физические уравнения – представляют собой зависимости между внутренними усилиями и деформациями:
κ = M/EJ; 

 = Q/GF;  (1.12)

 = N/EF; 
где E – модуль Юнга;

G – модуль сдвига;

F – площадь поперечного сечения стержня;

J – момент его инерции;

 – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений в поперечном сечении стержня.



Рис.1.20
Отметим, что выражения EJ и EF в (1.12) называются жесткостями стержня при изгибе и растяжении (сжатии) соответственно.

При решении системы уравнений (1.10) – (1.12) возможны два варианта:

1) внутренние усилия M, Q, N, удается найти из системы уравнений (1.10), не обращаясь к остальным уравнениям – это СОС;

2) внутренние усилия можно найти только путем совместного решения всех девяти уравнений – это СНС.

В последнем случае при решении этих уравнений возможны два подхода:

– в качестве основных неизвестных выбирают усилия M, Q, N, выражая все остальные через них – это решение в форме метода сил;

– в качестве основных неизвестных выбирают перемещения u, v,  – это решение в форме метода перемещений.

Системы, описываемые линейными уравнениями (1.10)  (1.12), называются линейно деформируемыми. Для них справедлив принцип суперпозиции, в соответствии с которым:



Внутренние усилия, перемещения и деформации от заданной нагрузки (или иного воздействия) можно найти как сумму соответствующих величин от каждой нагрузки в отдельности.
Примечания:

1. Первое из статических уравнений (1.10) получается из условия равновесия рассматриваемого элемента рамы. Полагая в его пределах qx = const, и составляя уравнение X = 0, получим:

N + qxdx + (N +dN) = 0,
откуда и следует искомая зависимость. Два других уравнения из (1.10) – это дифференциальные зависимости Журавского.

2. Первое из физических уравнений (1.12) представляет собой дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:


κ = d/dx = d 2v/dx 2 = M /EJ.
Второе уравнение в предпосылке равномерного распределения касательных напряжений в поперечном сечении стержня ( =1) выражает закон Гука при сдвиге:
 = Q/F = G.
При этом мы не уточняем смысл коэффициента  по причине, которая будет указана в § 3.5. Последнее из физических уравнений (1.12) – это закон Гука при ЦРС:
 = N/F = E.
3. В дальнейшем, если не будет оговорено особо, мы будет по-прежнему применять обозначение Oxy для глобальной системы координат, связанной с конструкцией в целом.

  1   2   3   4   5


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница