«Аппроксимация числа на множестве рациональных чисел»



Скачать 131.28 Kb.
Дата16.11.2016
Размер131.28 Kb.


МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА

УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА МУНИЦИПИЯ БЭЛЦЬ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ ИМЕНИ ДМИТРИЯ КАНТЕМИРА

Научно-практическая конференция

«Spre viitor să păşim cu siguranţă - 2013»


Тема: «Аппроксимация числа на множестве рациональных чисел»
Автор: Гайдаржи Екатерина, 10 «А» класс

т.л. им. Д. Кантемира

Научный руководитель: Паскин С.П.,

учитель математики,

высшая дидактическая степень.


Муниципия Бэлць

2013 год
Содержание:

1. Цели исследования...................................................с.3

2. Понятие числа Пи…………………………….........с.3

3. История числа Пи..................................................с.3-6

4.Формулы числа Пи………………………………....с.6

5.Число Архимеда………………………………….....с.7

6.Дробь 335/113……………………………………….с.8

7. Нахождение самой приближенной дроби вида


abcd/xezw к числу Пи……………………….…..…с.9

8.Число Пи в наши дни………………………….с.10-12

8.1.Вычисление знаков после запятой…………………………………………..с.10

8.2.Число Пи


(первые 1000 знаков после запятой)…………..с.11

8.3.Празднование числа Пи………………………………………………..с.12

8.4.Мировые рекорды, связанные с числом Пи………………………………………………..с.12

8.5. Число Пи в современной математике…….с.12


9.Выводы…………………………………………….с.13

10.Библиография…………………………………….с.13



1.Цели исследования:


    • Исследование истории числа Пи

    • Проверить, является ли число Архимеда 22/7 самой приближенной десятичной дробью к числу

    • Доказать, что дробь 335/113 является самым приближенным рациональным числом к числу

    • Найти дробь вида abcd/xyzw, которая является самой приближенной дробью к числу



2.Понятие числа Пи:

(Число Пи)  - это самое загадочное число математики. Число Пи - это отношение длины окружности к длине диаметра.
- это константа постоянна, но бесконечна. Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом - английский математик У. Джонсон в 1706 г. Общеупотребительным введённое Джонсоном обозначение стало после работ Л. Эйлера, который воспользовался этим символом впервые в 1736 г.
3. История числа Пи:
Письменная история числа начинается с египетского папируса, датируемого примерно 2000 годом до нашей эры, но оно было известно еще древним людям. Число p обратило на себя внимание людей ещё в те времена, когда они не умели письменно излагать ни своих знаний, ни своих переживаний, ни своих воспоминаний. С тех пор как первые натуральные числа 1,2,3,4,… стали неразлучными спутниками человеческой мысли, помогая оценивать количества предметов либо их длины, площади или объёмы, люди познакомились с числом p. Тогда оно ещё не обозначалось одной из букв греческого алфавита и его роль играло число 3.
Предполагается, что число Пи было открыто вавилонскими магами и использовалось при строительстве знаменитой Вавилонской башни. Но недостаточно точное исчисление значения Пи привело к краху всего проекта. Если бы они точно знали чему равно число Пи, то возможно их замысел бы удался. Также предполагают, что эта математическая константа лежала в основе строительства легендарного Храма царя Соломона.

В глубокой древности считалось, что окружность ровно в 3 раза длиннее диаметра. Эти сведения содержатся в клинописных табличках Древнего Междуречья. Такое же значение можно извлечь из текста Библии: «И сделал литое из меди море, — от края его и до края его десять локтей, — совсем круглое… и шнурок в тридцать локтей обнимал его кругом».


Однако уже во 2 тысячелетии до н.э. математики Древнего Египта находили более точное отношение. Важным достижением геометрической науки египтян было очень хорошее приближение числа , которое получается из формулы площади круга диаметра d:


S=(d-d/9)2
Из приведенного выражения можно заключить, что в то время число  считали равным дроби (16/9)2, или 256/81, т.е.  = 3,160...

Однако каким образом египтяне получили саму формулу, остается неясным.


Замечательно то, что на всём Древнем Востоке при вычислениях использовалось значение = 3. В этом отношении египтяне намного опередили другие народы.
С VI века до н.э. математическая наука стремительно развивалась в Древней Греции. Древние греки Евдокс Книдский, Гиппократ и др. сводили измерение окружности к построению соответствующего отрезка, а измерение круга — к построению равновеликого квадрата.
Архимед в III веке до н.э., возможно первый предположил математический способ вычисления числа .
Для этого он вписывал в окружность и описывал около нее правильные многоугольники. Принимая d окружности за 1, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Рассматривая правильный 96-угольник, он получил оценку, что периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком.


По расчетам Архимеда, число заключено между числами 3 и 10/71 и 3 и 1/7. Таким образом, он указал границы числа .


3,1408 <  < 3,1428



Значение 3 и 1/7 до сих пор считается вполне хорошим приближением числа для прикладных задач. Полученный результат, был поистине изумительным достижением для того времени.
Значение 3 1/7 до сих пор считается вполне хорошим приближением числа ∏ для прикладных задач. Более точное приближение 3 17/120(∏ =3,14166) во II веке до н.э., нашёл знаменитый астроном, создатель тригонометрии Клавдий Птолемей, но оно не вошло в употребление.

В VII веке, индийский математик Брахмагупта указал в священной книге джайнизма (одной из древнейших религий Индии), что число Пи в то время принимали как число, равное , равным 3,162…


Китайские учёные в III в. н.э. использовали для  значение 3 7/50, которое хуже приближения Архимеда. В конце 5 века китайский математик Цзу Чунчжи получил приближение 355/113 ( = 3,1415927). Оно осталось неизвестно европейцам и было вновь найдено нидерландским математиком Адрианом Антонисом лишь в 1585 г.
В первой половине XV в. в обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик Аль-Каши вычислил с 16 десятичными знаками. Спустя полтора столетия после Аль-Каши в Европе Ф. Виет нашёл число только с 9 правильными десятичными знаками, но при этом он сделал открытие, позволившее вычислять с какой угодно точностью. В начале XVII в. голландский математик из Кёльна Лудольф ван Цейлен (1540–1610) — нашёл 32 знака. С тех пор значение числа  с 32 знаками получило названиечисла Лудольфа.
В 1766 г. немецкий математик Иоганн Ламберт строго доказал иррациональность числа . Он смог доказаь, что число Пи не может быть представлено простыми дробями, как бы ни были велики числитель и знаменатель. И, тем не менее, история числа  на этом не закончилась.
В конце XIX в. профессор Мюнхенского университета Карл Фердинанд Линдеман нашёл строгое доказательство того, что  — число не только иррациональное, но и трансцендентное, т.е. не может быть корнем никакого алгебраического уравнения. Его доказательство поставило точку в истории древнейшей математической задачи о квадратуре круга. В память об открытии трансцендентности числа  в зале перед математической аудиторией Мюнхенского университета был установлен бюст Линдемана. На постаменте под его именем изображён круг, пересечённый квадратом равной площади, внутри которого начертана буква .
В современной математике число  — это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число
различных формул, в том числе и в формулы геометрии.

Входит она и в замечательную формулу Л. Эйлера, которая устанавливает связь числа Пи с числом е. Это позволило математикам ещё глубже выяснить природу числа  .



4.Формулы числа Пи:


  • Франсуа Виет:




  • Формула Валлиса:




  • Ряд Лейбница:



  • Тождество Эйлера:




5. Число Архимеда

Архимед доказал, путем долгих исследований, что дробь 22/7 является самой приближенной дробью к числу . В наше время, при помощи языка программирования Pascal, можно легко и быстро проверить, был ли прав Архимед. Я составила программу по нахождению самой приближенной дроби к числу , где числитель изменяется от 10 до 99, а знаменатель – от 1 до 99.


program pArhimed;

uses crt;

var min:real;

i,j,i1,j1:integer;

begin clrscr;

min:=99999999;

For i:= 10 to 99 do

begin


For j:= 1 to 99 do

begin


if (abs(i/j - pi )< min) then begin

i1:=i;


j1:=j;

min:=abs(i/j-pi);

end;

end;


end;

write ('числитель=',i1);

writeln;

write('знаменатель=',j1);

writeln;

writeln('x/y=',i1/j1);

write ('пи=', pi:16);

readln;


end.
Программа выдает результат, подтверждающий, что Архимед оказался прав в своих вычислениях.


Х=Числитель = 22

Y=Знаменатель = 7

X/У = 3,142857


Число Пи отличается от числа Архимеда на 0,001.

Таким образом, число Архимеда, 22/7 является самой приближенной дробью к числу Пи.



6. Дробь 335/113

Эта дробь является самой приближенной дробью к числу Пи. Проверим, так ли это на самом деле:




program p254;

uses crt;

var min:real;

k,l,k1,l1:integer;

begin clrscr;

min:=99999999;

For k:= 100 to 999 do

begin

For l:= 1 to 999 do



begin

if (abs(k/l - pi )< min) then begin

k1:=k;

l1:=l;


min:=abs(k/l-pi);

end;


end;

end;


write ('числитель=',k1);

writeln;


write('знаменатель=',l1);

writeln;


writeln('x/y=',k1/l1);

write ('пи=', pi:16);

readln;

end.


Результат программы:
Х=Числитель = 355

Y=Знаменатель = 113

X/У = 3,14159292
Число Пи отличается от данной дроби на 0,0000001.

Таким образом, математик Цзу Чунчжи оказался прав, утверждая, что дробь 355/113,  является самым приближенным значением к числу Пи.


7. Нахождение самой приближенной дроби вида abcd/xyzw, к числу Пи.

Использовав язык программирования Pascal:




program p254;

uses crt;

var min:real;

m,n,m1,n1:integer;

begin clrscr;

min:=99999999;

For m:= 1000 to 9999 do

begin

For n:= 1 to 9999 do



begin

if (abs(m/n - pi )< min) then begin

m1:=m;

n1:=n;


min:=abs(m/n-pi);

end;


end;

end;


write ('числитель=',m1);

writeln;


write('знаменатель=',n1);

writeln;


writeln('x/y=',m1/n1);

write ('пи=', pi:20);

readln;

end.
Мы получаем результат:


Х=Числитель = 1065

Y=Знаменатель = 339

X/У = 3,14159292035398
Число Пи отличается от данной дроби на 0,0000001.

8. Число Пи в наши дни.



8.1.Вычисление знаков после запятой

С появлением ЭВМ значения числа π было вычислено с достаточно большой точностью. В США, например, был получен результат с более 30 млн. знаков. Если распечатать значение числа, полученное в США, то оно займёт 30 томов по 400 страниц в каждом.

   Вычисление такого числа знаков для π не имеет практического значения, а лишь показывает огромное преимущество и совершенство современных средств и методов вычисления по сравнению со старыми.

Так за полвека вырастала запись точного значения числа π с помощью компьютера:



  • 1949 год — 2037 десятичных знаков

  • 1958 год — 10000 десятичных знаков

  • 1961 год — 100000 десятичных знаков

  • 1973 год — 10000000 десятичных знаков

  • 1986 год — 29360000 десятичных знаков

  • 1987 год — 134217000 десятичных знаков

  • 1989 год — 1011196691 десятичный знак

  • 1991 год — 2260000000 десятичных знаков

  • 1994 год — 4044000000 десятичных знаков

  • 1995 год — 4294967286 десятичных знаков

  • 1997 год — 51539600000 десятичных знаков

  • 1999 год — 206 158 430 000 десятичных знаков.


В 2009 году французский программист Фабрис Беллар поставил рекорд вычисления числа π с точностью до 2,7 трлн знаков после запятой.
2 августа 2010 года американский студент Александр Йи и японский исследователь Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в   с точностью в 10 триллионов цифр после запятой.


8.2.Число ПИ(первые 1000 знаков после запятой)
= 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Повторяющиеся 6 девяток в числе Пи называются Точкой Фейнмана. Это последовательность из шести девяток, начинающаяся с 762 цифры числа пи. Носит имя американского физика Ричарда Фейнмана (1918—1988), который сказал на одной лекции, что хотел бы запомнить цифры числа пи до этой позиции, чтобы заканчивать рассказ кому-либо словами «девять, девять, девять, девять, девять, девять и так далее», как бы предполагая, что значение π рационально.

Из случайно выбранных чисел частота встречаемости шести цифр подряд равна приблизительно 0,08 %.
Следующая комбинация шести цифр подряд, опять девяток, в числе пи встречается на позиции 193 034. На позиции 222 299 можно найти шесть восьмёрок. Ноль повторяется шесть раз в позиции 1 699 927. Последовательность же «12345678» встречается уже в позиции 186 557 266. Последовательность цифр «141592», которая находится сразу после запятой, повторяется в позиции 821 582. Последовательность «123456789» на данный момент не установлена или не встречается.

Точкой Фейнмана также называют первое возникновение последовательности четырёх или пяти идентичных цифр. Например, точка Фейнмана для цифры 7 — 1589, позиция в числе пи, где семёрка впервые повторяется четыре раза подряд.



8.3.Празднование числа Пи

Неофициальный праздник «День числа Пи» отмечается 14 марта, которое в американском формате дат записывается как 3.14, что соответствует приближенному значению числа π. Отмечают также день приближённого значения пи — 22 июля (22/7).


8.4.Мировые рекорды, связанные с числом Пи

Мировой рекорд по запоминанию знаков числа π принадлежит японцу Акира Харагути (Akira Haraguchi). Он запомнил число π до 100-тысячного знака после запятой. Ему понадобилось почти 16 часов, чтобы назвать всё число_целиком.


Его рекорд смог побить украинец Андрей Слюсарчук, который запомнил 30 миллионов знаков числа после запятой. Поскольку простое перечисление этого заняло бы целый год, то судьи проверяли Слюсарчука следующим образом - они просили его назвать произвольные последовательности числа π с любого из 30 миллионов знака. Сверялся ответ по 20-томной распечатке.
8.5.Число Пи в современной математике

В современной математике  число π   - это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул, в том числе и в формулы геометрии. Входит она и в замечательную формулу Л.Эйлера, которая устанавливает связь числа “пи” и числа “е”.



Эта и другие взаимосвязи позволили математикам ещё глубже выяснить природу числа π.

В цифрах после запятой нет цикличности и системы, то есть в десятичном разложении π присутствует любая последовательность цифр, какую только можно себе представить (включая очень редко встречающуюся в математике последовательность из миллиона нетривиальных нулей, предсказанную немецким математиком Бернгардтом Риманом еще в 1859-м). Это значит, что в Пи, в закодированном виде, содержатся все написанные и ненаписанные книги, и вообще любая информация, которая существует.

 Через число π может быть определена любая другая константа, включая постоянную тонкой структуры (альфа), константу золотой пропорции (f=1,618...), не говоря уж о числе e - именно поэтому число пи встречается не только в геометрии, но и в теории относительности, квантовой механике, ядерной физике и т.д. Более того,  недавно учёные установили, что именно через π можно определить местоположение элементарных частиц в Таблице элементарных частиц (ранее это пытались сделать через Таблицу Вуди), а сообщение о том, что в недавно расшифрованном ДНК человека число Пи отвечает за саму структуру ДНК (достаточно сложную, надо отметить), произвело эффект разорвавшейся бомбы.



9.Выводы:

  • Число Пи является самым загадочным числом математики, с которым связано много областей математики

  • В III веке до нашей эры, Архимед смог найти самую приближенную десятичную дробь, путем долгих и трудных исследований

  • Почти через 800 лет, китайский математик, нашел значение, более приближенное к числу Пи, чем число Архимеда.


10.Библиография

1. Глейзер Г.И.  История математики в школе  IV- VI классы. – М.:                          Просвещение,  1982.

   2. Депман И.Я., Виленкин Н.Я.  За страницами учебника математики -  М.:  Просвещение, 1989.

  3.  Жуков А.В.Вездесущее число «пи». -  М.: Едиториал УРСС, 2004.

  4. Кымпан Ф.   История числа «пи».  -  М.: Наука, 1971.

  5. Свечников А.А. путешествие в историю математики – М.: Педагогика – Пресс, 1995.

  6. Энциклопедия для детей. Т.11.Математика – М.: Аванта +, 1998.

  7. Интернет ресурсы:

    - http://crow.academy.ru/dm/materials_/pi/history.htm

- http://www.genon.ru/GetAnswer.aspx?qid=c4424472-323c-415c-b10b-e06be630423b

- http://mathc.chat.ru/hist/pihist.htm






База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница