+501 ресурсосберегающий метод решения задач математической физики



Скачать 38.97 Kb.
Дата03.05.2016
Размер38.97 Kb.
УДК 518.3+501

РЕСУРСОСБЕРЕГАЮЩИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Пеньков В.Б., Иванычев Д. А.

Россия, г. Липецк, ЛГТУ
Метод граничных состояний оценен с позиций ресурсосбережения. В качестве объекта рассмотрено напряженно-деформированное состояние многосвязной пластины, нагруженной по границам полостей. Решение сведено к рутинным вычислениям.
The method of boundary states is estimated from the positions of the resource saving. As the object is considered the stress-strain state of manifold plates, loaded on the limits of the cavities. The solution is reduced to routine calculation.
В машиностроении немалое внимание уделяется прочностным и жесткостным расчетам деталей узлов и механизмов, особенно, если эти детали работают с большими нагрузками и имеют вырезы. Данные расчеты сложны и требуют высоких «энергетических» затрат, снижение которых требует создания новых или развития существующих методов решения краевых задач уравнений математической физики. Наибольшее распространение получили метод конечных элементов, метод граничных элементов, вариационные методы механики и др.

Метод граничных состояний (МГС) является новым, эффективным, компьютерно-ориентированным методом решения краевых задач уравнений математической физики. Он обеспечивает возможность построения решения основных задач механики для тел разнообразных конфигураций простыми средствами.

Эффективность МГС в задачах статики изотропных тел определена рядом присущих методу черт [1]:

1) исходный базис пространства состояний строится для класса топологически эквивалентных тел: ограниченных односвязных, неограниченных односвязных, двусвязных и т.п.;

2) «тело в смысле МГС», под которым понимается ортонормированный базис пространства внутренних состояний, строится однократно, и может использоваться для решения различных краевых задач: первой, второй, основных контактной и смешанной и др.;

3) в случае основных задач «скелет» задачи (матрица коэффициентов бесконечной системы уравнений) представляет собой единичную матрицу, и решение сводится к рутинному вычислению квадратур (ресурсосбережение);

4) граничные условия содержатся в результирующем граничном состоянии, что служит основой проверки адекватности решения;

5) решение имеет аналитическую форму, что позволяет легко проводить анализ.

Рассмотрим изотропную пластинку. По краю пластинки равномерно распределены усилия. Формулы комплексного представления Г.В. Колосова – Н.И. Мусхелишвили [2] дают общее решение плоской задачи:

(1)

где – комплексная переменная; – функции Колосова – Мусхелишвили; модуль сдвига; ; – компоненты вектора перемещений; – компоненты тензора напряжений; функции и – аналитические по своим переменным, - коэффициент Пуассона.

Пусть на внутреннем контуре многосвязной области определен главный вектор приложенных сил (рис. 1).



Рис. 1. Многосвязная область


В этом случае представление для функций и таково [2]:

(2)

где и – составляющие главного вектора внешних усилий, действующих на внутреннем контуре n-ого отверстия.

Внутреннее состояние определяется наборами компонент вектора перемещений, тензоров деформаций и напряжений. Базисный набор пространства внутренних состояний можно конструировать в соответствии с (1), генерируя возможные варианты для аналитических функций. Для многосвязной области они имеют вид:





.

Дальнейший ход построения решения аналогичен тому, что и для односвязной области и подробно описан [3].

Решение основных задач проводилось для тела круговой формы с круговыми же вырезами (рис. 2). Использовалась безразмерная форма определяющих соотношений. На рис. 3 приведены изолинии различных компонент напряженно-деформируемого состояния пластинки, находящейся в обобщенном плоско-напряженном состоянии.

Разработанные программные алгоритмы в системе Wolfram Mathematica позволяют проводить решение для тел с различной геометрией границы и вырезов с высокой точность (10-6 и выше). Точность решения определяется количеством используемых элементов базиса.


Рис. 2. Нагружение тела (слева) и контур деформированного тела (справа)




а б в

Рис. 3. Изолинии компонент: а – вектора перемещения u, б – компонента напряжения, в – компонента напряжения

Построение математической модели технологических процессов существенно повышает точность инженерных расчетов и уменьшает затраты времени на подготовку производства. Направленное варьирование параметров геометрии и нагружения позволяет добиваться оптимальных показателей технологического процесса или прочностных свойств деталей.
Литература

1. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики // Дальневосточный математический журнал. – 2001. – Т.2, №2. – С.115-137.

2. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. – М.: Наука, 1966. – 707 с.

3. Иванычев Д.А. Решение плоских задач анизотропной упругости методом граничных состояний // Вестник высших учебных заведений Черноземья. Научно-технический и производственный журнал. – Липецк: ЛГТУ. – №2 (20) – 2010. – С.31–35.


Пеньков Виктор Борисович, д.ф-м.н, профессор. ЛипецкийГТУ, почтовый адрес: 398035, г. Липецк, ул. Звездная, д.13, кв.41. Тел. 8-920-240-36-19. E-mail: vbpenkov@mail.ru

Иванычев Дмитрий Алексеевич, к.ф-м.н, доцент. ЛипецкийГТУ, почтовый адрес: 398020, г. Липецк, ул. Шкатова, д.4, кв.53, тел. 8-950-803-27-96, е-mail: Lsivdmal@mail.ru


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница