5 класс. №1. Один из возможных вариантов показан на рисунке. №2



Скачать 41.57 Kb.
Дата11.11.2016
Размер41.57 Kb.
Городская олимпиада по математике, 2006/2007 учебный год.

Решения задач второго тура.
5 класс.
1. Один из возможных вариантов показан на

рисунке.

2. Ответ: за 4 минуты. Решение: за то время,

которое Вася и Гена ели торт вместе, Гена

съел вдвое больше Васи. Чтобы им в итоге

досталось поровну, Вася должен был за минуту,

пока он ел торт в одиночку, съесть столько же,

сколько в компании с Геной. Получается, что

Вася вместе с Геной пировал столько же,

сколько в одиночку, то есть 1 минуту. Стало быть, половину торта он съедает за 2 минуты, а весь торт – за 4 минуты.

3. Чтобы увеличить число в 10 раз, надо справа приписать к нему нуль. Понятно, что рассматривать имеет смысл только те варианты, когда сумма чисел, к которым нули не приписаны, или, что то же самое, сумма их последних цифр, оканчивается на 9. Поскольку 1+2+3+4+5=15<19, сумма их последних цифр должна просто равняться 9. Нетрудно убедиться, что девятку можно получить тремя способами: 2+3+4, 1+3+5 и 4+5. Проверяя эти варианты, убеждаемся, что все эти три предложенные варианта подходят: 1) 1110+222+333+444+5550=7659; 2) 111+2220+333+4440+555=7659; 3) 1110+2220+3330+444+55=7659.

4. Ответ: 70.



Первое решение: каждый распил увеличивает число брёвен на 1. В начале брёвен 30, в конце их должно стать 100. Значит, распилов потребуется 100-30=70 (зависит только от количества брёвен).

Второе решение: выложим брёвна в ряд, вплотную друг к другу, и отметим места распилов. Всего таких мест будет 99, причём в 29 из них (там, где стыкуются соседние брёвна) распилы уже есть. Отсюда получаем ответ.

5. Разделим доску на четыре квадрата 2×2. В каждом из них есть три клетки, покрашенные в три разные цвета: угловая клетка исходной доски и две, имеющие с ней общие стороны. Поэтому клеток каждого цвета не меньше четырёх.


6 класс.
1. Ответ: нет.

Решение: допустим, две последние цифры суммы были нулями. Тогда: Д+Ь=10, Л+О=9, и из второго разряда суммы в третий идёт единица переноса. Но если Л+О=9, то Л+Е9, и нули в третьем разряде суммы не получится.

2. Ответ: без одной минуты три. Решение: между часами, которые показывают без шести минут три и часами, которые показывают три минуты четвёртого, разница в 9 минут. Это возможно только в случае, если одни из них ошибаются на 5 минут, а другие – на 4 минуты (иначе разница в показаниях была бы меньше). Понятно, что часы, которые показывают три минуты четвёртого, спешат. Допустим, они спешат на 5 минут. Тогда сейчас без двух минут три, и часы, которые показывают без трёх минут три, отстают на одну минуту, что невозможно по условию. Если же часы, которые показывают три минуты четвёртого, спешат на четыре минуты, то сейчас без одной минуты три; часы, которые показывают без трёх минут три, отстают на две минуты, а часы, которые показывают две минуты четвёртого, спешат на три минуты, и условие задачи выполнено.

3. Вместо того чтобы сравнивать половину маленькой банки с третью большой, можно умножить обе величины на 6 и сравнивать три маленьких банки с двумя большими. Для этого будем наполнять маленькую банку и переливать её содержимое в большую, выливая воду из большой банки, если та наполнилась. Если мы дважды выльем воду из большой банки до того, как трижды опорожнили маленькую, треть большой банки меньше половины маленькой банки. Если мы уже трижды опорожнили маленькую банку, а большая ещё не наполнилась дважды, треть большой банки больше половины маленькой. Наконец, если в момент, когда маленькая банка опустела в третий раз, большая как раз наполнилась во второй раз, треть большой банки равна половине маленькой.

4. Выразим цены всех товаров через цену конфеты. Апельсин стоит как две конфеты, пирожное – как 4 конфеты, шоколадка – как 224:32=7 конфет, а книга – как 14 конфет. Общая цена подарка равна цене 1+2+4+7+14=28 конфет, а племянников у дяди 224:28=8. Ответ: 8 племянников.

5. Пронумеруем арбузы от 1 до 11. Взвешивать будем так: 1) 1+2+3; 2) 4+5+6; 3) 7+8+9; 4) 7+10+11; 5) 8+10+11; 6) 9+10+11. Сложив результаты трёх последних взвешиваний, получим общий вес арбузов 7, 8, 9 плюс утроенный общий вес арбузов 10 и 11. Разделив на 3 разность между этой суммой и общим весом арбузов 7, 8 и 9, получим общий вес арбузов 10 и 11. Прибавив к нему результаты взвешиваний 1), 2) и 3), получим общий вес всех арбузов.


7 класс.
№1. Ответ: 30о. Решение: заметим, что углы, вертикальные пяти пронумерованным, не пронумерованы. Поскольку сумма всех 10 углов равна 360о, то сумма пронумерованных углов равна 180о, а сумма четвёртого с пятым – 180о-50о-2×20о=90о. Эта сумма втрое больше пятого угла, откуда и получается ответ.

2. Допустим, внук не ошибся. Если бабушке 59 лет или меньше, то вместе с внуками ей не больше 59+5+9=73 лет. Если ей от 60 до 69 лет, то вместе с внуками ей 66+2х лет, где х – цифра в разряде единиц её возраста. Но число 66+2х чётное, а число 75 нечётное. Если же бабушке 70 лет или больше, то вместе с внуками ей не меньше 77 лет. Выходит, что во всех трёх возможных случаях 75 лет в сумме получиться не могло.

3. Алёша лжёт: иначе получилось бы, что он лжец, но говорит правду. Таким образом, среди мальчиков есть и лжецы, и честные. Значит, лжёт и Боря. А слова Вани противоречат словам Гены, так что хотя бы один из них тоже лжёт. Получается, что лжецов, по крайней мере, трое. Поскольку среди мальчиков есть и хотя бы один честный, то лжецов ровно трое, а честный ровно один, то есть Ваня говорит правду, а Гена лжёт.

4. Ответ: 223. Решение: разложим число 2007 на простые множители. Получим 2007=3×3×223. Поскольку х2+2х=х(х+2), либо х, либо х+2 должно делиться на 223. Поэтому х221. Проверка показывает, что х=221 и х=222 не подходят, а х=223 подходит, так как х+2=225 делится на 9.



5. Ответ: нет. Решение: заметим, что в коробке не меньше трёх синих шариков – иначе можно было бы отбросить один синий шарик, и среди 6 оставшихся двух синих не нашлось бы. По аналогичной причине в коробке, по крайней мере, два красных и два зелёных шарика. Поскольку 3+2+2=7, места для жёлтого шарика не остаётся.


База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница