§ Ранг матрицы



Скачать 40.54 Kb.
Дата03.05.2016
Размер40.54 Kb.

§ 3. Ранг матрицы


Пусть – матрица размера . Выпишем все миноры этой матрицы порядка (где ):

, , ,

, , ,



, , ,

Часть этих миноров будут нулевые, остальные – ненулевые.



ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка , , , равны нулю.

Замечание. Очевидно, что матрица может иметь несколько базисных миноров, но все они имеют один порядок.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется порядок ее базисного минора.

Иначе говоря, ранг матрицы – это максимальный порядок ее миноров, отличных от нуля. А базисный минор – это минор, отличный от нуля максимального порядка.

Ранг матрицы обозначают обычно или .

Существуют два метода нахождения ранга матрицы.



1) Метод окаймляющих миноров.

Пусть – минор порядка . Окаймляющим минором для минора называется любой минор порядка , содержащий минор .

Справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. Если в матрице есть минор -го порядка отличный от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то ранг матрицы равен .

Эта теорема является основанием для применения при нахождении ранга матрицы следующей схемы: находим в матрице минор порядка , отличный от нуля (где ). Если все его окаймляющие миноры равны нулю, то ранг матрицы равен . Если найдется окаймляющий минор , то рассматриваем окаймляющие миноры для . Если среди них нет ненулевых, то ранг матрицы равен . Если найдется окаймляющий минор , то рассматриваем окаймляющие миноры для и т.д. Этот процесс продолжаем до тех пор, пока не будет найден ранг матрицы, или не дойдем до окаймляющего минора , где – максимальный порядок миноров в матрице. Последнее будет означать, что ранг матрицы равен . Такая схема нахождения ранга матрицы получила название метода окаймляющих миноров.

ПРИМЕР. Методом окаймляющих миноров найдем ранги матриц



и .

1) Заметим, что матрица имеет миноры не выше третьего порядка. Следовательно, ее ранг .

Среди миноров второго порядка легко находим отличный от нуля. Например, . Вычислим его окаймляющие миноры:

, , .

Так как все окаймляющие миноры для равны нулю, то , а – базисный минор матрицы .

2) Заметим, что матрица имеет миноры не выше третьего порядка. Следовательно, ее ранг .

Среди миноров второго порядка имеется отличный от нуля. Например, . Вычислим его окаймляющие миноры:



, , .

Так как среди окаймляющих миноров нашелся минор отличный от нуля и это минор максимально возможного порядка, то и  – базисный минор.



2) Метод элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования следующего вида:

1) умножение строки (столбца) на число ;

2) прибавление к -й строке (столбцу) -й строки (столбца), умноженной на число ;

3) перестановка -й и -й строки (столбца);

4) вычеркивание одной из двух пропорциональных или равных строк (столбцов);

5) вычеркивание нулевых строк (столбцов).

Матрица называется эквивалентной матрице , если она может быть получена из элементарными преобразованиями.

Если матрицы и эквивалентны, то пишут: .

Справедливы следующие две теоремы.

ТЕОРЕМА 2. Эквивалентные матрицы имеют равные ранги.

Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что элементарные преобразования матрицы сохраняют ее ненулевые миноры (они могут лишь изменить их знаки).

ТЕОРЕМА 3. Любая матрица эквивалентна некоторой треугольной или трапециевидной матрице, не содержащей нулевых и пропорциональных строк. Причем эта треугольная или трапециевидная матрица может быть получена из элементарными преобразованиями только строк.

Так как ранг треугольной и трапециевидной матрицы легко найти (в них легко находятся базисные миноры), то приходим к следующей схеме нахождения ранга матрицы:

1) с помощью элементарных преобразований строк получаем для матрицы эквивалентную треугольную или трапециевидную матрицу ;

2) находим в матрице базисный минор и определяем ранг матрицы и матрицы .

Такая схема нахождения ранга матрицы получила название метода элементарных преобразований.

ПРИМЕР. Методом элементарных преобразований найдем ранг матрицы

.

Умножим первую строку матрицы на и прибавим ко второй; затем умножим первую строку на и прибавим к третьей. Получим:



.

Матрица – трапециевидная, (базисный минор ). Следовательно, ранг матрицы тоже равен двум.


Замечание. Очевидно, что ранг треугольной или трапециевидной матрицы, не содержащей нулевых и пропорциональных строк, равен количеству строк.






База данных защищена авторским правом ©bezogr.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница